離散化原理及要求和常用的幾種數(shù)值積分法-文檔資料

1、3/19/20221第三章 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分仿真方法學23.1 離散化原理及要求離散化原理及要求 n（1）離散化原理）離散化原理n（2）離散化建模方法的要求）離散化建模方法的要求3（1）離散化原理n“數(shù)字數(shù)字”計算，引入舍入誤差；計算，引入舍入誤差；n按指令一步一步進行，必須將時間按指令一步一步進行，必須將時間離散化。離散化。 在數(shù)字計算機上對連續(xù)系統(tǒng)進行仿真時，在數(shù)字計算機上對連續(xù)系統(tǒng)進行仿真時，首先遇到的問題是：數(shù)字計算機的數(shù)值及時間首先遇到的問題是：數(shù)字計算機的數(shù)值及時間均具有離散性，而被仿真系統(tǒng)的數(shù)值及時間均均具有離散性，而被仿真系統(tǒng)的數(shù)值及時間均具有連續(xù)性，后者如何用前者來實現(xiàn)。具有

2、連續(xù)性，后者如何用前者來實現(xiàn)。4n連續(xù)系統(tǒng)仿真：連續(xù)系統(tǒng)仿真：n從時間、數(shù)值兩個方面對原系統(tǒng)進行離散從時間、數(shù)值兩個方面對原系統(tǒng)進行離散化，并選擇合適的數(shù)值計算方法來近似積化，并選擇合適的數(shù)值計算方法來近似積分運算，由此得到離散模型來近似原連續(xù)分運算，由此得到離散模型來近似原連續(xù)模型。模型。5相似原理相似原理 n設系統(tǒng)模型為：設系統(tǒng)模型為：)()( kktutu)()( kktyty0)()( )(kkkytytyte0)()( )(kkkututute),(tuyfy 離散后的輸入變量：離散后的輸入變量：)( ktu系統(tǒng)變量：系統(tǒng)變量：khttykk其中)( 如果：如果：即：即：仿真時間間隔

3、為：仿真時間間隔為：h兩模型等價。兩模型等價。6u(t)圖圖2.1 2.1 相相 似似 原理原理原連續(xù)模型原連續(xù)模型仿真模型仿真模型h y(t)+),(tuyfy ), , (ktuyfy )( kty)( ktu0)(kyte7（2）離散化建模方法的要求n穩(wěn)定性穩(wěn)定性n準確性：準確性：n最基本的準則是：最基本的準則是： n絕對誤差準則：絕對誤差準則：)()( )(kkkytytyte)( )()( )(kkkkytytytyten 相對誤差準則：相對誤差準則：系統(tǒng)時間間隔系統(tǒng)時間間隔hk=tk+1-tk計算每一步間隔計算每一步間隔Tk若若hk Tk ，實時仿真實時仿真若若Tkhk ，離線仿真

4、離線仿真快速性快速性8明確幾個概念明確幾個概念9差分方程已知表示某系統(tǒng)一階向量微分方程及初已知表示某系統(tǒng)一階向量微分方程及初值為：值為：00)(),(YtYYtFY) 1 (ttdtYtFtYtY0),()()(0對上式兩邊積分，則對上式兩邊積分，則10) 2 (), ()(), ()()(11001mmmttmttmdtytFtYdtYtFtYtY)3(),(1mmttmdtYtFQ) 4()()(1mmmQtYtY)5(1mmmQYY110,mtttt在在 時的連續(xù)解為：時的連續(xù)解為：令令則則或表示為或表示為 11數(shù)值解法數(shù)值解法mmtth1相鄰兩個離散點的間距相鄰兩個離散點的間距常用的基

5、本方法有三類：常用的基本方法有三類：單步法、多步法、預估校正法。單步法、多步法、預估校正法。 并可分為顯式公式和隱式公式。并可分為顯式公式和隱式公式。121,mmtttt121,mmYYYY就是尋求初值問題式就是尋求初值問題式(1)的解在一系列離散點的解在一系列離散點的近似解的近似解（即數(shù)值解）。（即數(shù)值解）。稱為計算步長或步距稱為計算步長或步距12單步法與多步法單步法與多步法n單步法單步法n只由前一時刻的數(shù)值只由前一時刻的數(shù)值 ym就可求得后一時刻就可求得后一時刻的數(shù)值的數(shù)值ym+1n能自動啟動能自動啟動n多步法多步法n計算計算ym+1需要用到需要用到 tm,tm-1,tm-2,時刻時刻y的

6、數(shù)的數(shù)據(jù)據(jù)n不能自動啟動不能自動啟動13顯式與隱式顯式與隱式n顯式顯式n計算計算 ym+1時所用數(shù)值均已計算出來時所用數(shù)值均已計算出來n隱式隱式n計算中隱含有未知量計算中隱含有未知量n預估校正法預估校正法 使用隱式公式時，需用另一顯式公式估計使用隱式公式時，需用另一顯式公式估計一個初值，然后再用隱式公式進行迭代運算。一個初值，然后再用隱式公式進行迭代運算。 14截斷誤差n假設前一步得到的結果假設前一步得到的結果ym是準確的是準確的,則用泰勒級則用泰勒級數(shù)求得數(shù)求得tm+1處的精確解為處的精確解為)()(!1)(! 21)()()(1)(2rmrrmmmmhotyhrtyhtyhtyhty n若

7、從以上精確解中取前兩項之和來近似計若從以上精確解中取前兩項之和來近似計算算ym+1,由這種方法單獨引進的附加誤差通由這種方法單獨引進的附加誤差通常稱作常稱作局部截斷誤差局部截斷誤差.15舍入誤差n舍入誤差與舍入誤差與h成反比成反比,若計算步長小，計若計算步長小，計算次數(shù)就多算次數(shù)就多,則舍入誤差就大。則舍入誤差就大。163.2 常用的幾種數(shù)值積分法n建立系統(tǒng)數(shù)學模型的目的是研究系統(tǒng)的建立系統(tǒng)數(shù)學模型的目的是研究系統(tǒng)的運動規(guī)律運動規(guī)律00)(),(ytyytfy17（一）單步法18（1）歐拉法（一階龍格庫塔法）nTaylor級數(shù)展開n矩形近似解法n切線近似19（a)Taylor展開假定假定00)

8、(),(ytyytfy ),()(ytgty為其解析解為其解析解將將y(t)展開成展開成Taylor級數(shù)級數(shù)htytyhty)()()(從而從而),()()(ythftyhty將上式寫成差分方程將上式寫成差分方程),(1nnnnythfyy20（b）矩形近似解法00)(),(ytyytfy 在區(qū)間在區(qū)間tn,tn+1上積分，得上積分，得1),()()(1nnttnndtytftytyf誤差誤差近似矩形近似矩形f(t)0tntn+1t于是于是11),()()(nnnnnyythftytynnnhfyy121（c)切線近似y(t)在在tn處得切線方程為處得切線方程為)(,(nnnnttytfyy則

9、得則得11),()()(nnnnnyythftytynnnhfyy1y(t)y0tntn+1tynyn+1(t0,y0)(t1,y1)t22例例1 1 設系統(tǒng)方程為：設系統(tǒng)方程為：1)0(, 02yyy 試用歐拉法求其數(shù)值解（取步長試用歐拉法求其數(shù)值解（取步長h=0.1，0t1）解：原方程為：解：原方程為：22),(,yytfyy遞推公式為：遞推公式為：4628. 0)1 . 01 (, 0 . 1819. 0)1 . 01 (, 2 . 09 . 0)1 . 01 (, 1 . 01, 0)1 . 01 (),(99101011220011001yyytyyytyyytytyyythfyyn

10、nnnnn23已知方程的解析解為ty11精確解與數(shù)值解比較精確解與數(shù)值解比較t00.10.20.30.40.51.0精確解精確解y(t) 10.9091 0.83330.76920.66670.6250.5數(shù)值解數(shù)值解yn10.90.8190.75190.65940.6470.4628誤差在誤差在102數(shù)量級數(shù)量級24（2）改進的歐拉法（梯形法）n又稱二階龍格庫塔法又稱二階龍格庫塔法f誤差誤差f(t)0tntn+1t)()(),(111nntttytydtytfSnn直邊梯形的面積直邊梯形的面積),(),(11212nnnnytfytfhS當當h比較小時，以直邊梯形代替曲邊梯形的面積，可得比較

11、小時，以直邊梯形代替曲邊梯形的面積，可得),(),()()(11211nnnnnnytfytfhtyty其差分方程其差分方程),(),(11211nnnnnnytfytfhyy或或121nnhnnffyy曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積251.用歐拉法求出初值，算出用歐拉法求出初值，算出)(1nty的近似值的近似值pny12.計算導函數(shù)計算導函數(shù)1nf近似值近似值),(111pnnpytffn3.然后用梯形法求出修正后的然后用梯形法求出修正后的eny1261.用歐拉法預估一個初值用歐拉法預估一個初值)0(1ny)1(1ny2.用下式求出用下式求出),(),()()0(121)1 (11nnytfy

12、tfhtyynnnn3.再用再用)1(1ny求求)2(1ny),(),()()1 (121)2(11nnytfytfhtyynnnn如此反復下去直到如此反復下去直到相差很小時為止。與) 1(1)(1mnmnyy迭代運算：迭代運算：27),(),(),()(121)()(111pnnnncnnnpnnnytfytfhyyythfyy預估公式預估公式校正公式校正公式預估校正法預估校正法28(3)龍格庫塔法n基本思想基本思想n間接利用泰勒展開式，即用幾個點上的間接利用泰勒展開式，即用幾個點上的y(t)的一階導函數(shù)值的線性組合來近似代替的一階導函數(shù)值的線性組合來近似代替y(t)在某一點的各階導數(shù)，然后

13、用泰勒級數(shù)展在某一點的各階導數(shù)，然后用泰勒級數(shù)展開式確定線性組合中各加權系數(shù)開式確定線性組合中各加權系數(shù)29（a)龍格庫塔數(shù)值積分公式推導一階微分方程：一階微分方程：00)(),(ytyytfy 假定假定y(t)是上式的解析解。將是上式的解析解。將y(t)展開成泰勒級數(shù)展開成泰勒級數(shù).)()()()(22tytyhtyhtyh 其中：其中：yfytftythyftftyyftfdtdfytffffffythftyhtyytfytftyytfty),(,)(),()()(),(),()(),()(22其中： 30將將y(t+h)寫成線性組合形式寫成線性組合形式riiikbhtyhty1)()(其

14、中其中r稱為階數(shù)，稱為階數(shù)，bi待定系數(shù)，待定系數(shù)，ki由下式?jīng)Q定由下式?jīng)Q定rikahtyhctfkijjjii,.3 , 2 , 1),)(,(11且定義且定義C1=031 r=1，此時，此時c1=0，a1=0，k1=f(t,y)，則，則),()()(1ytfhbtyhty取取b1=1，即得一階龍格庫塔法，即得一階龍格庫塔法 r=2)(,(),(11221hkatyhctfkytfk將將)(,(112hkatyhctf在點在點(t,y)展開泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)),(),(),()(,(112112ytfhkaytfhcytfhkatyhctfyt32tyyftftyytiiihbahcbyt

15、hfbbtyytfhkaytfhcytfhbythfbtyhkbhkbtykbhtyhty2112222111221221121),()()(),(),(),(),()()()()(令令21bb ，得，得11, 5 . 0, 1211cbba所以所以),(),(),()(111112121211hkytfytffkytffkkkhyynnnnnnnnnn改進歐拉法改進歐拉法33 r=4)22()(4321611kkkkyytyhnnn其中：其中：),(),(),(),(3422213122121hkyhtfkkyhtfkkyhtfkytfknnhnnhnnnn四階龍格庫塔法四階龍格庫塔法34為

16、方便，將上式具體列為：為方便，將上式具體列為：),(),(),(),()22(32321314221222121221123121212121121122211432161,1,nnmmmmiinnmmmhmiinnmmmhmiinmmmmiiiiiimimikykykyhthfkkykykythfkkykykythfkyyythfkkkkkyy其中：其中：為遞推下標。，即一階微分方程的個數(shù)為系統(tǒng)系數(shù)系數(shù)，個個方程的第第是微分方程組中mnjnikijRKji)4 , 3 , 2 , 1;,.,2 , 1(35龍格庫塔法的特點n在計算在計算yn+1時只用到時只用到y(tǒng)n，而不直接用，而不直接用yn-1,yn-2等等項項;n步長步長h在整個計算中并不要求固定；在整個計算中并不要求固定；n精度取決于步長精度取決于步長h的大小及方法的階次的大小及方法的階次n一階龍格庫塔公式一階龍格庫塔公式歐拉公式歐拉公式36優(yōu)點n編制程序容易編制程序容易n改變步長方便改變步長方便n穩(wěn)定性較好穩(wěn)定性較好n是一種自啟動的數(shù)值積分法是一種自啟動的