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1、第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 機(jī)械設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是研究機(jī)械零部件的應(yīng)力和變形問(wèn)題,為強(qiáng)度和剛度等的設(shè)計(jì)計(jì)算提供依據(jù)。 1. 材料力學(xué)材料力學(xué)介紹了拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲內(nèi)力、彎曲強(qiáng)度、彎曲變形、應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析、強(qiáng)度理論、組合變形、靜不定系統(tǒng)、動(dòng)載荷、交變應(yīng)力、壓桿穩(wěn)定、平面曲桿、厚壁圓筒和旋轉(zhuǎn)圓盤等內(nèi)容。主要是傳授機(jī)械設(shè)計(jì)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等方面的知識(shí),并用來(lái)解決在機(jī)械設(shè)計(jì)中桿、梁、圓筒、圓盤等特殊構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性方面的分析問(wèn)題,且要求材料各向同性。由于機(jī)械構(gòu)件的復(fù)雜性(包括幾何復(fù)雜性、邊界與載荷的復(fù)雜性、材料的復(fù)雜性),顯然材料力學(xué)對(duì)于機(jī)械設(shè)
2、計(jì)來(lái)說(shuō)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。 彈性力學(xué)1.1 有限單元法產(chǎn)生的背景第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 2. 彈性力學(xué)彈性力學(xué):彈性力學(xué)的任務(wù)與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)類似,也是研究構(gòu)件在外部因素(如載荷、溫度變化等)作用下,在彈性變形階段的應(yīng)力和位移,校核構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度。 彈性力學(xué)方程的建立:眾多的機(jī)械零部件通??梢钥醋魇怯蓷U件、板塊、殼體、塊體等組合而成的。彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件、桿件系統(tǒng)、板、殼、塊體等構(gòu)件。彈性力學(xué)研究構(gòu)件應(yīng)力和變形時(shí),對(duì)變形狀態(tài)和應(yīng)力的分布規(guī)律等不作假設(shè),彈性力學(xué)解決問(wèn)題的方法是:假想物體內(nèi)部為無(wú)數(shù)個(gè)平行六面體單元,表面(表層)由無(wú)數(shù)個(gè)四面體單元組成??紤]這些單元體的平衡
3、,根據(jù)靜力平衡條件可以寫出一組平衡微分方程,但由于未知應(yīng)力數(shù)多于微分方程數(shù),因此彈性理論問(wèn)題是超靜定的,必須考慮變形協(xié)調(diào)條件。由于物體在變第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論形之后仍保持連續(xù),所以單元之間的變形必須是協(xié)調(diào)的,由此可以產(chǎn)生一組表示變形連續(xù)性的微分方程,此外還要用廣義胡克定律表示應(yīng)力與形變之間的關(guān)系(物理方程)。另外,在彈性體表面上還需考慮體內(nèi)應(yīng)力與外載荷之間的平衡,稱為邊界條件。這樣就可以列出足夠的微分方程以求解未知應(yīng)力、形變和位移。因此,彈性力學(xué)的研究方法是從受力體中取出一無(wú)限小的微元體,從靜力平衡條件、幾何變形條件和本構(gòu)關(guān)系(物理方程)等方面,建立彈性體內(nèi)各點(diǎn)的
4、位移和應(yīng)力之間的基本的、普遍的關(guān)系式,再根據(jù)邊界條件求得解答。 彈性力學(xué)方程組的求解:上述這些微分方程還可以綜合簡(jiǎn)化為以應(yīng)力為基本未知函數(shù)的微分方程,或以位移為基本未知函數(shù)的微分方程,但這些都是偏微分方程,往往第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論不能求得通解。所以彈性力學(xué)常用所 謂的“逆解法”,即先假設(shè)一解答,如這個(gè)解能滿足所有的偏微分,同時(shí)滿足邊界條件,則這個(gè)解答就是正確的解答,同時(shí)也是唯一的?;蛴谩鞍肽娼夥ā?,即先假設(shè)一部分解答,另一部分在解題過(guò)程中求出。 引申一步來(lái)講,從數(shù)學(xué)角度看,一個(gè)工程問(wèn)題往往可以通過(guò)系列偏微分方程來(lái)描述,如彈性力學(xué)基本方程組、塑性力學(xué)基本方程組、流體
5、力學(xué)基本方程組等。但是由于方程本身的復(fù)雜程度和求解域及邊界條件的復(fù)雜性,常很難或根本得不到上述偏微分方程組的精確求解(解析解)。在這種情況下,尋求上述問(wèn)題的數(shù)值解法以獲得滿足上述工程精度要求的近似解,就顯得十分重要和必要。 數(shù)值分析法 第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 3.數(shù)值分析法數(shù)值分析法 在有限單元法產(chǎn)生以前,近似數(shù)值分析方法基本上可以分為兩大類:一類是以有限差分為代表的方法;一類是是首先建立與原問(wèn)題基本方程和定解條件相等效的積分方法,然后按此建立近似解法。例如加權(quán)殘值法、最小二乘法、加遼金法、里茲法、力矩法等。雖然這兩類方法在不同領(lǐng)域上均獲得成功的應(yīng)用實(shí)例(如有限差分
6、在流體場(chǎng)分析方面),但由于它們均是在整個(gè)求解區(qū)域上假設(shè)近似函數(shù),因此對(duì)結(jié)構(gòu)幾何形狀復(fù)雜的問(wèn)題仍然不能給出滿足近代工程技術(shù)精度要求的近似解,另外對(duì)于復(fù)雜幾何形狀問(wèn)題甚至求解發(fā)生困難。 隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和普遍應(yīng)用,開發(fā)了另一種近似數(shù)值分析法有限單元法(Finite Element Method,簡(jiǎn)稱FEM)。有限單元法的出現(xiàn),是數(shù)值分析方法研究領(lǐng)域內(nèi)重大突破性進(jìn)展。第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 有限單元是一種適用性很強(qiáng)的數(shù)值方法,它可以用于求解多種類型的偏微分方程。有限元法的概念淺顯,容易掌握。 對(duì)于像結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析的這樣問(wèn)題,以往人們總是試圖尋找一個(gè)或多個(gè)連續(xù)光滑的函
7、數(shù),在整個(gè)求解域上滿足控制方程和全部邊界條件,以便得到精確的解析解。但是由于物體的幾何形狀及邊界條件復(fù)雜,控制方程的條件苛刻,要尋找這樣的解析函數(shù)非常困難,甚至根本不可能。有限元法避開在整個(gè)求解區(qū)域上尋找連續(xù)解析函數(shù)這一難點(diǎn),轉(zhuǎn)為尋求在各個(gè)子域(單元)上適應(yīng)控制方程,并滿足整個(gè)物體邊界條件和連續(xù)條件的分塊近似的插值函數(shù)。1.2 有限元單元法的基本解題思想與應(yīng)用領(lǐng)域第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 1. 有限單元法的基本思想 先將整體假想地分成有限的小單元,單元與單元之間僅通過(guò)節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)在一起,對(duì)于每個(gè)單元都用節(jié)點(diǎn)未知量通過(guò)插值函數(shù)來(lái)近似地表示單元內(nèi)部的多種物理量,并使其在單元內(nèi)
8、部滿足該問(wèn)題的控制方程,即單元特性分析,從而將各單元對(duì)整體的影響通過(guò)單元的節(jié)點(diǎn)傳遞;然后再將這些單元組裝成一個(gè)整體,并使他們滿足整個(gè)物體的邊界條件和連續(xù)條件,得到一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量的聯(lián)立方程,即整體分析;解出方程后,再用插值函數(shù)和有關(guān)公式求得物體內(nèi)部各點(diǎn)所要求的多種物理量,即求解運(yùn)算。單元節(jié)點(diǎn)未知量可以選取力、位移,根據(jù)節(jié)點(diǎn)未知量選取的不同,有限單元法分為力型有限單元法、位移型有限單元法和混合型有限單元法。常用的是位移型有限單元法。 第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 如果插值函數(shù)選取合適,單元分得越多、越細(xì),得到的計(jì)算結(jié)果就越精確。當(dāng)單元數(shù)趨于無(wú)窮時(shí),計(jì)算結(jié)果就收斂于精確解。
9、但是單元數(shù)增加,節(jié)點(diǎn)數(shù)就大大增加,計(jì)算工作量和存儲(chǔ)信息量就會(huì)迅速增加,這就要求計(jì)算機(jī)具備較好的性能。因此一般都是根據(jù)具體問(wèn)題對(duì)精度的要求,只取一定數(shù)量的(有限個(gè))的單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析。 有限元法的解題步驟是固定模式的,其主要研究工作就集中在構(gòu)造計(jì)算簡(jiǎn)單、精度高、適用性強(qiáng)的單元模式上,即單元特性分析。一旦有了各種單元,如梁?jiǎn)卧?、桿單元、殼單元、平面單元、環(huán)單元、多面體單元等,就可以用來(lái)分析各種形狀復(fù)雜的問(wèn)題。第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論2. 有限單元法的特點(diǎn) (1)概念清晰,深入淺出 理論上進(jìn)行深入研究和探索,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和理論框架,進(jìn)而擴(kuò)大其應(yīng)用領(lǐng)域,提高數(shù)值分析精
10、度,同時(shí)也可以通過(guò)非常直觀的物理解釋去理解,并可方便而現(xiàn)實(shí)地求解各類工程問(wèn)題。 ( 2)具有統(tǒng)一、規(guī)范的表達(dá)形式 它采用矩陣形式表達(dá),由于各單元的計(jì)算程式都相同,解題有固定的模式,所以有限元法的解題步驟已經(jīng)系統(tǒng)化、標(biāo)準(zhǔn)化,因此十分便于計(jì)算機(jī)編程。有限元理論與應(yīng)用的發(fā)展,完全離不開有限元軟件的發(fā)展。重要的大型商業(yè)化有限元軟件有ANSYS、MARC、NASTRAN、ABAQUS等。 (3)有限元法整體分析得到的大型聯(lián)立方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)稀疏矩陣,其中所有元素都分布在矩陣的主對(duì)角線附近,且是對(duì)稱的正定矩陣,方程間的聯(lián)系較弱,這種方程可以降低計(jì)算規(guī)模和存儲(chǔ)規(guī)模,且穩(wěn)定性好。第1章 有限單元法概述第
11、01篇 有限單元法基本理論(4)具有很強(qiáng)的適用性,應(yīng)用范圍極其廣泛 不受物體幾何形狀限制,可以計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)的場(chǎng)問(wèn)題:這是因?yàn)閱卧馨锤鞣N不同的連接方式組合在一起,且單元本身又可以有不同的幾何形狀,因此可以模擬幾何形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。 有限單元法是在20世紀(jì)50年代中期,最早以解決結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)問(wèn)題發(fā)展起來(lái)的,后來(lái)研究發(fā)現(xiàn),它的理論基礎(chǔ)就是變分原理。于是關(guān)于這個(gè)方法的穩(wěn)定性、收斂性就得到了證明。后來(lái)進(jìn)一步研究表明,它不是計(jì)算某個(gè)特殊問(wèn)題的專用解法,而是一種通用的數(shù)值方法,可以推廣到其它領(lǐng)域。 目前,有限單元法已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原有的應(yīng)用范疇,已從彈性力學(xué)擴(kuò)展到了彈塑性力學(xué)、巖石力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、流體力
12、學(xué)、熱傳學(xué)、氣動(dòng)力學(xué)、計(jì)算物理學(xué)等學(xué)科。以至目前開始向納米級(jí)的分子動(dòng)力學(xué)滲透。廣泛用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械工程、能源、汽車交通、國(guó)防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)領(lǐng)域。第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論3. 有限單元法機(jī)械工程應(yīng)用實(shí)例第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論1.3 結(jié)構(gòu)的分類 結(jié)構(gòu)的種類很多,其幾何特征、受力狀態(tài)和計(jì)算方法也各不相同,可以用不同
13、的角度來(lái)分類。1. 按幾何特征分類按幾何特征分類:桿件結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)和實(shí)體結(jié)構(gòu)桿件結(jié)構(gòu)桿件結(jié)構(gòu):桿件的幾何特征是其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面的寬度桿件的幾何特征是其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面的寬度和高度(或直徑)。由桿件組成的結(jié)構(gòu)稱為桿系結(jié)構(gòu),包括:和高度(或直徑)。由桿件組成的結(jié)構(gòu)稱為桿系結(jié)構(gòu),包括: 桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu) 剛架結(jié)構(gòu)剛架結(jié)構(gòu) 組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 桁架結(jié)構(gòu):由直桿組成,所有桿件之間的連接結(jié)點(diǎn)均由直桿組成,所有桿件之間的連接結(jié)點(diǎn)均為鉸接為鉸接,如圖如圖11所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,通常認(rèn)為載荷只作用所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,通常認(rèn)為載荷只作用于桁架的結(jié)點(diǎn)處,稱為結(jié)點(diǎn)載
14、荷,而將非結(jié)點(diǎn)處作用的載荷于桁架的結(jié)點(diǎn)處,稱為結(jié)點(diǎn)載荷,而將非結(jié)點(diǎn)處作用的載荷轉(zhuǎn)化為結(jié)點(diǎn)載荷,即等效結(jié)點(diǎn)載荷。因此,桁架的桿件只產(chǎn)轉(zhuǎn)化為結(jié)點(diǎn)載荷,即等效結(jié)點(diǎn)載荷。因此,桁架的桿件只產(chǎn)生軸向力。生軸向力。 剛架結(jié)構(gòu):由直桿組成,所有桿件之間的連接結(jié)點(diǎn)均由直桿組成,所有桿件之間的連接結(jié)點(diǎn)均為剛接點(diǎn)為剛接點(diǎn),如圖如圖12所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,認(rèn)為剛架在變形過(guò)所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,認(rèn)為剛架在變形過(guò)程中,各桿之間在連接處的夾角保持不變。因此,組成剛架程中,各桿之間在連接處的夾角保持不變。因此,組成剛架的的桿件除承受軸向力外同時(shí)還承受彎矩和剪力。的的桿件除承受軸向力外同時(shí)還承受彎矩和剪力。圖1-1 桁架結(jié)構(gòu)示
15、意圖第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 組合結(jié)構(gòu):指由桁架與梁、桁架與剛架組合在一起的結(jié)構(gòu),指由桁架與梁、桁架與剛架組合在一起的結(jié)構(gòu),其中有些桿件只承受軸力,另一些桿件同時(shí)還承受彎矩和剪其中有些桿件只承受軸力,另一些桿件同時(shí)還承受彎矩和剪力,如圖力,如圖1 13 3所示。所示。圖1-2 剛架結(jié)構(gòu)第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 板殼結(jié)構(gòu) 板是指厚度遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度和寬度的構(gòu)件。按照中面的幾板是指厚度遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度和寬度的構(gòu)件。按照中面的幾何形狀,板又可分為薄板和薄殼。薄板是中面為平面的板,何形狀,板又可分為薄板和薄殼。薄板是中面為平面的板,薄殼是中面為曲面的板。薄板
16、和薄殼組成板殼結(jié)構(gòu)(又稱薄薄殼是中面為曲面的板。薄板和薄殼組成板殼結(jié)構(gòu)(又稱薄壁結(jié)構(gòu)),如圖壁結(jié)構(gòu)),如圖1 13 3所示。所示。第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論 實(shí)體結(jié)構(gòu) 實(shí)體也稱塊體,是指長(zhǎng)、寬、高各方向都相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。實(shí)體結(jié)構(gòu)應(yīng)實(shí)體也稱塊體,是指長(zhǎng)、寬、高各方向都相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。實(shí)體結(jié)構(gòu)應(yīng)用極為普遍,如地基、擋土墻、水壩、機(jī)架、軸承座用極為普遍,如地基、擋土墻、水壩、機(jī)架、軸承座。如圖。如圖1 14 4所示。所示。1.2.2 按受力狀態(tài)分類按受力狀態(tài)分類 按照桿軸線和外力的空間位置,結(jié)構(gòu)可以分為按照桿軸線和外力的空間位置,結(jié)構(gòu)可以分為平面結(jié)構(gòu)平面結(jié)構(gòu)和和空間結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)。如果
17、結(jié)構(gòu)的各桿軸線及外力(包括載荷和反力)均。如果結(jié)構(gòu)的各桿軸線及外力(包括載荷和反力)均在同一平面內(nèi)則稱為平面結(jié)構(gòu),否則便是空間結(jié)構(gòu)。在同一平面內(nèi)則稱為平面結(jié)構(gòu),否則便是空間結(jié)構(gòu)。圖1-4 實(shí)體結(jié)構(gòu)第1章 有限單元法概述第01篇 有限單元法基本理論1.2.3 按計(jì)算方法分類按計(jì)算方法分類 按照計(jì)算方法分類,結(jié)構(gòu)可以分為按照計(jì)算方法分類,結(jié)構(gòu)可以分為靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)和和靜不定結(jié)靜不定結(jié)構(gòu)構(gòu) 。如果在任意載荷作用下,結(jié)構(gòu)的全部?jī)?nèi)力和反力都可以。如果在任意載荷作用下,結(jié)構(gòu)的全部?jī)?nèi)力和反力都可以由靜力平衡條件確定,這樣的結(jié)構(gòu)便稱為靜定結(jié)構(gòu);若還需考由靜力平衡條件確定,這樣的結(jié)構(gòu)便稱為靜定結(jié)構(gòu);若還需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能確定,這樣的結(jié)構(gòu)便稱為超靜定結(jié)構(gòu)。慮變形協(xié)調(diào)條件才能確定,這樣的結(jié)構(gòu)便稱為超靜定結(jié)構(gòu)。1.3 結(jié)構(gòu)分析的任務(wù) 結(jié)構(gòu)分析的目的:知曉結(jié)構(gòu)在給定載荷作用下回有什么樣的的響應(yīng)。結(jié)構(gòu)分析的目的:知曉結(jié)構(gòu)在給定載荷作用下回有什么樣的的響應(yīng)。 結(jié)
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