高中數(shù)學：2[1].9《導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用3》教案(北師大版選修2-2)

1、.第九課時 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（三）一、教學目標：1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用；2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。二、教學重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合四、教學過程（一）、創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學習，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題（二）、新課探究導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、

2、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案（三）、典例分析例1、磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁

3、道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域（1）是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2）為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度

4、必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量× （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大（2）為求的最大值，計算令，解得當時，；當時，因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例2、汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高

5、”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：k

6、m/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點處速度約為90因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L例3、在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。（1）、如果C(x)，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊

7、際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x10000，產(chǎn)品的單價P1000.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤解：收入，利潤令，即，求得唯一的極值點答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大（四）、課堂練習：在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km

8、，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？解析根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則BD=40,AC=50x, BC=又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50x=20(km)供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 （五）回顧總結(jié)建立數(shù)學模型：1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本

9、思路：解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案2解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。（六）布置作業(yè)：1、一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？【解】假設(shè)每次進書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y ×30×40，y20，令y0，得x 15，且y，f(15)0，所以當x 15時，y取得極小值，且極小值唯一，故 當x 15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)為10（次）即該書店分10次進貨，每次進15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少2、有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最??？【解】設(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元，則CD y 500（50x）700250005