數(shù)學：2.2《等差數(shù)列》教案（新人教A版必修5）

1、 22 等差數(shù)列（一）教學目標1知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系。2. 過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。3情態(tài)與價值:培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學生的應用意識。（二）教學重、難點重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質，探索并掌握等差數(shù)列的通

2、項公式；會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法。（三）學法與教學用具學法：引導學生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。教學用具：投影儀（四）教學設想創(chuàng)設情景 上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。探索研究 由學生觀察分析并

3、得出答案：（放投影片）在現(xiàn)實生活中，我們經常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，_,_,_,_,2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利

4、，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。思考：同學們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63

5、18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看這些數(shù)列有什么共同特點呢？（由學生討論、分析）引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到： 對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ； 對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ； 對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2.5 ； 對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 72 ； 由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。 等差數(shù)列的概念 對于以上幾組數(shù)列我們稱

6、它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們根據我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。提問：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A 所以就有 由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項

7、起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則 等差數(shù)列的通項公式對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。、我們是通過研究數(shù)列的第n項與序號n之間的關系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。由學生經過分析寫出通項公式： 這個數(shù)列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=

8、5+5+5+5），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是102

9、16（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是、那么，如果任意給了一個等差數(shù)列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？ 引導學生根據等差數(shù)列的定義進行歸納： （n-1）個等式 所以 思考：那么通項公式到底如何表達呢？ 得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為： 也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項就可以表示出來了。選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：（迭加法）

10、： 是等差數(shù)列，所以 兩邊分別相加得 所以 （迭代法）：是等差數(shù)列，則有 所以 例題分析例1、求等差數(shù)列8，5，2，的第20項.-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項？如果是，是第幾項？分析：要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差； 這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使

11、得-401=-4n-1成立。 解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。（放投影片）例2某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每

12、增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費. 令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費 答：需要支付車費23.2元。例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實際問題。（放投影片）思考例題：例3 已知數(shù)列的通項公式為其中p、q為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n1）是不是一個與n無關的常數(shù)。解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項（n1），求差得 它是一個與n無關的數(shù).所

13、以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。探究引導學生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關系。分析：n為正整數(shù)，當n取1，2，3，時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當x在正整數(shù)范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應的點的集合。