動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒

1、守恒定律反映自然界中守恒定律反映自然界中基本對(duì)稱(chēng)性基本對(duì)稱(chēng)性的結(jié)果的結(jié)果1. 應(yīng)用守恒定律應(yīng)用守恒定律: 過(guò)程量過(guò)程量 狀態(tài)量狀態(tài)量2. 守恒定律與不變性密切聯(lián)系守恒定律與不變性密切聯(lián)系重點(diǎn)：重點(diǎn)：牛頓定律及其應(yīng)用；牛頓定律及其應(yīng)用； 動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。難點(diǎn)：難點(diǎn)：變力下沖量的計(jì)算；變力下沖量的計(jì)算； 準(zhǔn)確分析動(dòng)量守恒的條件。準(zhǔn)確分析動(dòng)量守恒的條件。5-1 動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律vmp 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量： iiiiimpPv質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的方向一般并不沿速度矢量和的方向質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的方向一般并不沿速度矢量和的

2、方向 動(dòng)量守恒定律：動(dòng)量守恒定律：大量的實(shí)驗(yàn)表明大量的實(shí)驗(yàn)表明,如果如果系統(tǒng)不受系統(tǒng)以外的物體系統(tǒng)不受系統(tǒng)以外的物體的作用的作用, 則則系統(tǒng)的動(dòng)量保持不變系統(tǒng)的動(dòng)量保持不變, 即動(dòng)量守恒即動(dòng)量守恒常常矢矢量量 iiiiivmpP常矢量常矢量 21pp對(duì)于由兩個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)對(duì)于由兩個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),得得 對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)來(lái)說(shuō)對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)來(lái)說(shuō), 總的動(dòng)量雖然不總的動(dòng)量雖然不變變,但其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量卻是可以改變的但其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量卻是可以改變的滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律0)(dd21 ppt或或tptpd

3、ddd21 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力是成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力是成對(duì)出現(xiàn)的,這一對(duì)這一對(duì)力稱(chēng)為作用力和反作用力力稱(chēng)為作用力和反作用力,它們總是大小相等它們總是大小相等,方方向相反向相反,且沿同一直線且沿同一直線 作用在質(zhì)點(diǎn)上的作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的定義：力的定義：則由則由tptpdddd21 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。即tpFdd tpfdd112 tpfdd212 2112ff 得到得到牛頓第三定律牛頓第三定律 1. 壓力與支持力壓力與支持力2. 張力張力3. 彈簧彈性力彈簧彈性力三、常見(jiàn)的幾種力三、常見(jiàn)的幾種力 （gmP 1. 最大靜摩擦力最大靜摩擦力Nfss

4、 S 2. 滑動(dòng)摩擦力：滑動(dòng)摩擦力：Nfkk k kvfd 一個(gè)物體在流體中和流體有一個(gè)物體在流體中和流體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體時(shí)，物體會(huì)受到流體的阻力。會(huì)受到流體的阻力。方向方向：和物體相對(duì)于流體的速度方向相反：和物體相對(duì)于流體的速度方向相反其中，其中，k決定于物體的大小和形狀以及流體的性質(zhì)。決定于物體的大小和形狀以及流體的性質(zhì)。靜摩擦力系數(shù)靜摩擦力系數(shù)滑動(dòng)摩擦系數(shù)滑動(dòng)摩擦系數(shù)空氣：空氣：221AvCfd 空氣中的終極速率：空氣中的終極速率：ACmgvt 2 1. 1. 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)dtPdfFFfmdtPdfFFfm22221111 dtPddtPdfFfF2121 -

5、 ff dtPddtPdFF2121 2. n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng) iiiiPdtdF以以F 和和P表示系統(tǒng)的合外力和總動(dòng)量，上式可寫(xiě)為：表示系統(tǒng)的合外力和總動(dòng)量，上式可寫(xiě)為：dtPdF 由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以矢量和為零。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以矢量和為零。所以：所以：系統(tǒng)所受外力的矢量和等于系統(tǒng)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率系統(tǒng)所受外力的矢量和等于系統(tǒng)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率 常常矢矢量量 iiiiivmp 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量就保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量就保持不變。： (1) 動(dòng)量守恒條件：動(dòng)量守恒條件： a 外力之和為零外力之和為零

6、 b 外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力 0 0常常矢矢量量 PdtPdF若若則則即即(5) 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系只適用于慣性系。(2) 分量式：分量式：常常量量常常量量 yiyiiyxixiixpvmFpvmF;0;0(3) 定律中的速度應(yīng)是對(duì)定律中的速度應(yīng)是對(duì)同一慣性系同一慣性系的速度，動(dòng)量的速度，動(dòng)量和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。(4) 動(dòng)量守恒定律在動(dòng)量守恒定律在微觀高速微觀高速范圍仍適用。范圍仍適用。例例：炮車(chē)以炮車(chē)以 角發(fā)射一炮彈，炮車(chē)質(zhì)量為角發(fā)射一炮彈，炮車(chē)質(zhì)量為M，炮彈質(zhì)量，炮彈質(zhì)量為為m，炮彈出口速度為，炮彈出口速度為v（對(duì)炮車(chē)）（對(duì)炮車(chē)）求

7、求：炮車(chē)反沖速度炮車(chē)反沖速度V（炮車(chē)與地面摩擦力忽略不計(jì)）（炮車(chē)與地面摩擦力忽略不計(jì)）解解：炮車(chē)與炮彈為一系統(tǒng)，在水炮車(chē)與炮彈為一系統(tǒng)，在水平方向動(dòng)量守恒平方向動(dòng)量守恒Vvu 炮彈對(duì)地速度的炮彈對(duì)地速度的x分量：分量：Vvux cos由動(dòng)量守恒定律（對(duì)地）由動(dòng)量守恒定律（對(duì)地）0)cos( VvmMV 反沖速度反沖速度： cosvMmmV MmXvVu例例：船長(zhǎng)船長(zhǎng)L=4m，質(zhì)量，質(zhì)量M=150kg，靜止浮在水面，有，靜止浮在水面，有質(zhì)量質(zhì)量m=50kg的人從船頭走到船尾的人從船頭走到船尾求求：人和船對(duì)岸各移動(dòng)的距離（水阻力不計(jì)）。人和船對(duì)岸各移動(dòng)的距離（水阻力不計(jì)）。解：解： 與與 分別表示

8、任一時(shí)刻分別表示任一時(shí)刻船和人相對(duì)于岸的速度，船和人相對(duì)于岸的速度，水平方向（水平方向（x）動(dòng)量守恒）動(dòng)量守恒Vv0 MVmv000 ttVdtMvdtmLSsMSms ,(m)3;(m)1 SLsLmMmS可得：可得：OXY21Vxx1x2xCxCLSs考慮時(shí)間過(guò)程考慮時(shí)間過(guò)程 :21tt ppppddtFpptt 122121 21ttdtFI稱(chēng)為力的稱(chēng)為力的沖量沖量（時(shí)間的積累量）。（時(shí)間的積累量）。12ppI 動(dòng)量定理動(dòng)量定理物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力的沖量，等于該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力的沖量，等于該物體動(dòng)量的增量物體動(dòng)量的增量。5-2 動(dòng)量定理動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的沖量一、質(zhì)點(diǎn)的沖量

9、 動(dòng)量定理動(dòng)量定理由由pddtF 說(shuō)明：說(shuō)明：1 動(dòng)量定理表示：力在一段動(dòng)量定理表示：力在一段時(shí)間過(guò)程時(shí)間過(guò)程內(nèi)的累積效果，內(nèi)的累積效果，僅適用于僅適用于慣性系統(tǒng)慣性系統(tǒng)；3 動(dòng)量定理的動(dòng)量定理的矢量方程矢量方程及及分量式分量式j(luò)IiIIyx yyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFI121221212 沖量沖量 是矢量，其大小和方向由微分沖量是矢量，其大小和方向由微分沖量 的的矢量決定，是過(guò)程量，而矢量決定，是過(guò)程量，而 是狀態(tài)量之差；是狀態(tài)量之差；IdtFp 4 當(dāng)物體質(zhì)量改變時(shí)，動(dòng)量定理同樣適用當(dāng)物體質(zhì)量改變時(shí)，動(dòng)量定理同樣適用5 平均沖力平均沖力的概念的概念 21121t

10、txxdtFttF曲線下面積曲線下面積=矩形面積矩形面積代替變力，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于估算。代替變力，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于估算。意味意味著：變力著：變力 的沖的沖量與恒力（平均沖力）量與恒力（平均沖力） 的沖量是的沖量是等效等效的，可用的，可用)(tFxxFkFjFiFFzyx 在研究諸如碰撞、打擊等問(wèn)題時(shí)，在研究諸如碰撞、打擊等問(wèn)題時(shí)， 十分復(fù)雜十分復(fù)雜以以x方向?yàn)槔?，其平均沖力：方向?yàn)槔?，其平均沖力：)(tFFxtO(s)(N)Fxt1t2xF帆對(duì)風(fēng)的作用力帆對(duì)風(fēng)的作用力F風(fēng)對(duì)帆的作用力風(fēng)對(duì)帆的作用力 （ 的反作用力）的反作用力）FF風(fēng)風(fēng)向向航航帆帆船船v0v0vvvFF應(yīng)用例應(yīng)用例:逆風(fēng)揚(yáng)帆

11、逆風(fēng)揚(yáng)帆例：例：圓錐擺運(yùn)動(dòng)圓錐擺運(yùn)動(dòng) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從a點(diǎn)繞行半周到點(diǎn)繞行半周到b點(diǎn)，點(diǎn)，求求此過(guò)程中重力、繩中張力的沖量。此過(guò)程中重力、繩中張力的沖量。解：解：重力的沖量（重力的沖量（恒力恒力的沖量）的沖量）kvRmgdtkmgItP 0jik張力的沖量（張力的沖量（變力變力的沖量）的沖量）由動(dòng)量定理由動(dòng)量定理imvvmvmIIabTP2 kvRmgimvIimvIPT 22vavbab gmTvm2TIPI例例：一沖力作用在質(zhì)量為一沖力作用在質(zhì)量為0.3kg的物體上，物體最初的物體上，物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知F與與t的關(guān)系為：的關(guān)系為：求求：（1）在作用時(shí)間內(nèi)的沖量，平

12、均沖力）在作用時(shí)間內(nèi)的沖量，平均沖力 （2）物體的末速度）物體的末速度 07. 002. 0)07. 0(100 . 202. 00105 . 2)(254tttttF解解：（1） 21)(ttdttFIsNdtttdtI 3 .13)02. 0(100 . 2105 . 207. 002. 02502. 004F(N)t(s)F0.02s0.07so平均沖力：平均沖力：NIttdttFttFtt1903 .13007. 011)(1121221 （2）由：）由：12mvmvI 1123 .44 msmIvv iiiiPdtdF以以F 和和P表示系統(tǒng)的合外力和總動(dòng)量，上式可寫(xiě)為：表示系統(tǒng)的合外

13、力和總動(dòng)量，上式可寫(xiě)為：dtPdF 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：PddtF PPddtFPPtt 2121積分形式積分形式微分形式微分形式由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以矢量和為零。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以矢量和為零。所以：所以：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理解解：由由tdtdsv smv/21 1112 smkgmvp smv/22 1222 smkgmvp VVVVVmmm( )1122A(t1)B(t2)o例例：質(zhì)量質(zhì)量m=1kg的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)M，從，從O點(diǎn)開(kāi)始沿半徑點(diǎn)開(kāi)始沿半徑R=2m的的圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓周運(yùn)動(dòng)，已知M的運(yùn)動(dòng)方程為的運(yùn)動(dòng)方程為求求：從從 到到 這段時(shí)間內(nèi)

14、作用于質(zhì)點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)M的的合力的沖量。合力的沖量。21t22t2/2tS pvmvmI 12121216)()( smkgmvmvI 2212 mvmvarctg 4454 本題若按沖量定義本題若按沖量定義: 計(jì)算計(jì)算,對(duì)變矢量對(duì)變矢量進(jìn)行積分是比較麻煩的進(jìn)行積分是比較麻煩的. 21ttdtFIVVm12Pm例例：兩傳送帶兩傳送帶A、B接力傳送礦砂，接力傳送礦砂，v1=4m/s，與豎直，與豎直方向成方向成30，傳送帶，傳送帶B與水平成與水平成15， v2=2m/s，。，。設(shè)輸運(yùn)量恒定為設(shè)輸運(yùn)量恒定為R=20kg/s求求：礦砂作用在傳送帶礦砂作用在傳送帶B上的平均力。上的平均力。解解：

15、選時(shí)間選時(shí)間 t內(nèi)落在內(nèi)落在B上的質(zhì)量上的質(zhì)量為為m，則，則m=R t落于落于B前：前：1vm落于落于B后：后：2vm增量：增量：12)(vmvmvm smtRsmmmvmvmvmvvm/98. 3/98. 375cos2)()()(2221 301v2v2vm1vm15vm設(shè)設(shè) t內(nèi)的平均作用力為內(nèi)的平均作用力為 ，由動(dòng)量定理：，由動(dòng)量定理：F)(vmtF NttRtvmFF6 .7998. 3)( 其方向與動(dòng)量增量其方向與動(dòng)量增量 相同。相同。)( vm sin75sin)(22mvvm )(29近似垂直向上近似垂直向上 礦砂作用在礦砂作用在B 上的平均力上的平均力 與與 大小相等、大小相

16、等、方向相反。方向相反。F F例例：質(zhì)量為質(zhì)量為m的均質(zhì)柔軟蓮條，長(zhǎng)為的均質(zhì)柔軟蓮條，長(zhǎng)為L(zhǎng)，上端懸掛，上端懸掛，下端恰好與地面接觸，當(dāng)軟鏈自由下落時(shí)，下端恰好與地面接觸，當(dāng)軟鏈自由下落時(shí)，求求：落在地面上的長(zhǎng)度為落在地面上的長(zhǎng)度為 時(shí)對(duì)地面的作用力時(shí)對(duì)地面的作用力)(Lll 末態(tài)靜壓力末態(tài)靜壓力解解：鏈條質(zhì)量線密度鏈條質(zhì)量線密度Lm glLmN 1落地落地 長(zhǎng)時(shí)，未落地部分繼續(xù)長(zhǎng)時(shí)，未落地部分繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，且向下運(yùn)動(dòng)，且lglv2 在在dt內(nèi)，有內(nèi)，有 繼續(xù)落地，繼續(xù)落地，其質(zhì)量為：其質(zhì)量為：vdtdl vdtLmdldm LLll觸地前動(dòng)量為：觸地前動(dòng)量為：)(2向下向下dtvLmvdm 在在dt內(nèi)受地面沖量作用而動(dòng)量變?yōu)榱悖O(shè)地在面內(nèi)受地面沖量作用而動(dòng)量變?yōu)榱?，設(shè)地在面作用于作用于dm的平均沖力為的平均沖力為N2 （向上）（向上）dtvLmdtN220 glLmN22 總作用力：總作用力：（本題可用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程的微分形式求解）（本題可用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程的微分形式求解）地面受平均沖力地面受平均沖力 （等大反向、向下）（等大反向、向下）22NN glLmglLmglLmNNF3221 沖量沖量 是矢量，其大小和方向由微分沖量是矢量，其大小和方向由微分沖量 的的矢量決定，是矢量決定，是過(guò)程量過(guò)程量，而，而 是是狀