高數(shù)可分離變量的微分方程

1、 7. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得y=x2+C. 一般地, 方程y=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y=2xy2 的通解. 因為y是未知的, 所以積分無法進(jìn)行, 方程兩邊直接積分不能求出通解. 為求通解可將方程變?yōu)? 兩邊積分, 得 , 或, 可以驗證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx形式, 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對稱形

2、式的一階微分方程: 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0在這種方程中, 變量x與y 是對稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當(dāng)Q(x,y)0時, 有 . 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當(dāng)P(x,y)0時, 有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個一階微分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎=j(x)y(y)的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1) y=2xy, 是. y-1dy=

3、2xdx .(2)3x2+5x-y=0, 是. dy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是.(4)y=1+x+y2+xy2, 是. y=(1+x)(1+y2).(5)y=10x+y, 是. 10-ydy=10xdx.(6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱

4、為隱式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+C1, 從而 . 因為仍是任意常數(shù), 把它記作C, 便得所給方程的通解 . 例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導(dǎo)數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程, 其中l(wèi)(l0)是常數(shù), l前的曲面號表示當(dāng)t增加時M單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為 M|t=0=M0. 將方程分離變量得 . 兩邊積分, 得, 即 lnM=

5、-lt+lnC, 也即M=Ce-lt. 由初始條件, 得M0=Ce0=C, 所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M=M0e-lt . 例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t). 降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)). 根據(jù)牛頓第二運動定律F=ma, 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 , 初始條件為 v|t=0=0. 方程分離變量, 得 , 兩邊積分, 得, , 即 (), 將初始條件v|t=0=0代入通解得, 于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化為 , 分離變量得 , 兩