復(fù)利現(xiàn)值、終值、年金現(xiàn)值終值公式、實(shí)例

1、某投資項(xiàng)目預(yù)測(cè)的凈現(xiàn)金流量見下表(萬元)，設(shè)資金基本貼現(xiàn)率為10%,則該項(xiàng)目的凈現(xiàn)金值為()萬元年份012345678910各年末凈現(xiàn)金流量-50060100100100100100100100100100解:本例因?yàn)樯婕暗侥杲甬?dāng)中的遞延年金，所以將年金系列一起先介紹，然后解題年金，是指一定時(shí)期內(nèi)每次等額收付款的系列款項(xiàng)， 通常記作A。如保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)老金、折舊、租金、等額分期收款、等額分期付款以及 零存整取或整存零取儲(chǔ)蓄等等。年金按每次收付發(fā)生的時(shí)點(diǎn)不同， 可 分為普通年金、即付年金、遞延年金、永續(xù)年金等。結(jié)合本例，先介 紹普通年金與遞延年金，其他的在后面介紹。一、普通年金，是指從第一期起，在一

2、定時(shí)期內(nèi)每期期末等額發(fā)生的 系列收付款項(xiàng)，又稱后付年金。1 .普通年金現(xiàn)值公式為：_12P A (1 i) A (1 i)A (1 i) (n 1)A (1 i)n Ai式中的分式1 (1 i) n稱作“年金現(xiàn)值系數(shù)”，記為(P/A, i, n), i可通過直接查閱“1元年金現(xiàn)值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作:P=A (P/A, i, n).2.例子：租入某設(shè)備，每年年末需要支付租金 120元，年復(fù)利利率為10%,則5年內(nèi)應(yīng)支付的租金總額的現(xiàn)值為:P A 1（1 i） 120 1（1 10%）120 3.7908 455 （元）i10%二、遞延年金，是指第一次收付款發(fā)生時(shí)間與第一期無關(guān)，而隔

3、若干期（假設(shè)為S期，SA1）,后才開始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)。它是 普通年金的特殊形式，凡不是從第一期開始的年金都是遞延年金。2 .遞延年金現(xiàn)值公式為：1 (1 i) n 1 (1 i) siiA (P/A,i,n) (P/A,i,s)(1)A (P/A,i, n s) (P/F,i,s)(2)1 (1 i) (n s)A 1 (1i)(1 i)i上述（1）公式是先計(jì)算出n期的普通年金現(xiàn)值，然后減去前 期的普通年金現(xiàn)值，即得遞延年金的現(xiàn)值，公式（2）是先將些遞延年金視為（n-s）期普通年金，求出在第 s 期的現(xiàn)值，然后再折算為第零期的現(xiàn)值。3 .例子：某人在年初存入一筆資金，存滿5年后每年年末

4、取出1000 元，至第10年末取完，銀行存款利率為10%。則此人應(yīng)在最初一次 存入銀行的錢數(shù)為： 方法一：1 (1 i) n 1 (1 i) sP A ( A (P/A,i,n) (P/A,i,s)ii10001 (1 10%) 10 1 (1 10%) 510%10%1000 (P/A,10%,10) (P/A,10%,5)= 1000X(6.1446-3.7908產(chǎn)2354 (元)方法二：是先將些遞延年金視為（n-s）期普通年金，求出在第s期 的現(xiàn)值，然后再折算為第零期的現(xiàn)值。A 1 (1 i) (n s) (1 i) sA (P/A,i,n s) (P/F,i,s)1000 1 (1 1

5、0%)(105)(1 10%)5 10 (P/A10%,10 5) (P/F,10%5)= 1000X 3.7908X 0.6209= 2354 (元)三、本例的分析及解答:從表中可以看出，現(xiàn)金流量是每年年末的凈現(xiàn)金流量，從第 2年開始到第10年，每年年末的凈現(xiàn)金流量相等，這符合遞延年金的定義，那么從第2年到第10年的每年年末的凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值要按遞延年金來計(jì)算。第0年的年末凈現(xiàn)金流量為-500,說明是第1年年初一次性投入500萬元，第1年年末的凈現(xiàn)金流量為60萬元，按復(fù)利現(xiàn)值的公式來計(jì)算。從本例中，建設(shè)期為 0年，經(jīng)營(yíng)期為10年,年利率為10%,那么本例的投資的凈現(xiàn)值計(jì)算為:NPVm Ntn

6、Ptt 1 (1 R)t n t 1 (1 R)t 160(10 1)(1 10%) 1 100 1 (1 10%) (1 10%) 1 500i60 (P/F,10%,1) 100 (P/A,10%,10 1) (P/F,10%,1) 500=60 X 0.9091 + 100X 5.7590 X 0.9091-500= 578.09669-50078.09669 (萬元)四、其他年金普通年金1.終值公式為：(1 i)n 1 i式中的分式(1 i)n 1稱作“年金終值系數(shù)”，記作為(F/A, i, n), i可通過直接查閱“1元年金終值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作:F=A (F/A, i

7、, n)例：假設(shè)某項(xiàng)目在5年建設(shè)期內(nèi)每年年末從銀行鰭100萬元，借款年利率為10%,則該項(xiàng)目竣工時(shí)就付本息的總額為：5,F 100 (1 10%)-1 =100X (F/A, 10%, 5) =100X6.1051=610.5110%(萬元)2 .年償債基金的計(jì)算(已知年金終值，求年金 A)償債基金是指為了在約定的未來某一時(shí)點(diǎn)清償某筆債務(wù)或者積聚 一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。它的計(jì)算實(shí)際上是年金終值的逆運(yùn)算。A F n(1 i) 1式中的分式一稱作”償債基金系數(shù)”，記為(A/F, i, n), (1 i) 1可通過直接查閱“償債基金系統(tǒng)表”或通過年金終值系數(shù)的倒數(shù)推算出來，上

8、式也可寫作：A=F (A/F, i, n)或者A=F1/ (F/A, i, n)例：假設(shè)某企業(yè)有一筆4年后到期的借款，到期值為1000萬元。若存款年復(fù)利率為10%,則為償還該借款應(yīng)建立的償債基金應(yīng)為：10%A 1000 =1000X0.2154= 215.4 (萬兀)(1 10%)4 1或 A=1000X1/ (F/A, 10%, 4)尸1000X(1/4.6410)=215.4(萬元)3 .年資本回收額的計(jì)算(已知年金現(xiàn)值P,求年金A)1 (1 i) n式中的分式 in稱作“資本回收系數(shù)”記為記為(A/P, i, n), 1 (1 i)可通過直接查閱“資本回收系統(tǒng)表”或通過年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)

9、推算出來，上式也可寫作：A=P (A/P, i, n)或者A=P1/ (P/A, i, n)例：某企業(yè)現(xiàn)在借得1000萬元的貸款，在10年內(nèi)以年利率12%等額償還，則每年應(yīng)付的金額為：12%A 1000 =1000X0.1770=177 (萬兀)1 (1 12%) 10或 A=1000X1/ (P/A, 12%, 10) =1000X (1/5.6502)=177 (萬元)即付年金即付年金，是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，又稱先付年金，它與普通年金的區(qū)別僅在于付款時(shí)間的不 同。1 .由于付款時(shí)間的不同，n期即付年金終值比n期普通年金的終值 多計(jì)算一期利息。因此，在n期普

10、通年金終值的基礎(chǔ)上乘上(1+i)就是 n期即付年金的終值。(1 i)n 1(1 i)n 1 1F A ()(1 i) A A ) 1iin 1式中 U1 1稱作“即付年金終值系數(shù)”，它是在普通年金終 i值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)加1,系數(shù)值減1所得的結(jié)果。通常記為(F/A, i, n+1) -1,這樣，通過查閱“一元年金終值表”得到 n+1期的值， 然后減去1便可得對(duì)應(yīng)的即付年金終值系數(shù)的值。上式也可寫作：F=A (F/A, i, n+1) -1例：某公司決定連續(xù)5年于每年年初存入100萬元作為住房基金，銀行存款利率為10%。則該公司在第5年末能一次取出本利和為：F= A (F/A, i, n+1)

11、 -1=100X (F/A, 10%, 5+1) -1= 100X(7.7156-1)=672 (萬元)2 .由于付款時(shí)間的不同，n期即付年金現(xiàn)值比n期普通年金的現(xiàn)值 少折現(xiàn)一期。因此，在n期普通年金現(xiàn)值的基礎(chǔ)上乘上(1+i)就是n期 即付年金的現(xiàn)值。1 (1 i) n1 (1 i) (n 1)P A ( ) (1 i) A ( )1ii式中1 (1 i) (n 1) 1稱作“即付年金現(xiàn)值系數(shù)”，它是在普通年金 i現(xiàn)值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)減1,系數(shù)值加1所得的結(jié)果。通常記為(P/A, i, n-1) +1,這樣，通過查閱“一元年金現(xiàn)值表”得到 n-1 期的值，然后加上1便可得對(duì)應(yīng)的即付年金現(xiàn)值系

12、數(shù)的值。上式也可寫作：P=A (P/A, i, n-1) +1永續(xù)年金永續(xù)年金，是指無限期等額收付的特種年金，可視為普通年金的特殊形式，即期限趨于無窮的普通年金。存本取息可視為永續(xù)年金的 例子。也可將利率較高、持續(xù)期限較長(zhǎng)的年金視同永續(xù)年金。由于永續(xù)年金持續(xù)期無限，沒有終止時(shí)間，因此沒有終值，只有現(xiàn)值。公式為：1t i (1 i)t例：某人持有的某公司優(yōu)先股，每年每股股利為 2元，若此人想長(zhǎng)期持有，在利率為10%的情況下，請(qǐng)對(duì)該股票投資進(jìn)行估價(jià)。這是一個(gè)求永續(xù)年金現(xiàn)值的問題，即假設(shè)該優(yōu)先股每年股利固定 且持續(xù)較長(zhǎng)時(shí)期，計(jì)算出這些股利的現(xiàn)值之和，即為該股票的估價(jià)。P=A/i=2/10%=20 (

13、元)五、名義利率與實(shí)際利率的換算當(dāng)每年復(fù)利次數(shù)超過一次時(shí)，這樣的年利率叫做名義利率，而每年只復(fù)利一次的利率才是實(shí)際利率。公式：i=(1+r/m)m-1式中：i為實(shí)際利率，r為名義利率，m為每年復(fù)利次數(shù)。例：某企業(yè)于年初存入10萬元，在年利率為10%,半年復(fù)利一次 的情況下，到第10年末，該企業(yè)能得到多少本利和？依題意，P=10, r=10%, m=2, n=10則：i=(1+r/m)m-1= i=(1+10%/2)2-1 = 10.25%F=P(1+i)n=10X (1+10.25%)10=26.53 (萬元)這種方法的缺點(diǎn)是調(diào)整后的實(shí)際利率往往帶有小數(shù)點(diǎn)，不便于查 表?？梢园牙首?yōu)閞/m,期數(shù)相應(yīng)變?yōu)閙xn,則有:F=P(1+r/m) m n=10X(1+10%/2)20=10X (F/P,5%,20)=26.53 (萬元)復(fù)利終值公式；F=P(1+i) n現(xiàn)值公式：P=F/(1+i) n = p=s/(1+i)An=s*(1+i)A- n普通年金終值公式：(1 i)n 1F A i現(xiàn)值公式：_12P A (1 i) A (1 i)A (1 i) (n 1) A (1i)1 (1 i) nA - i即付年金的終值。(1