第8章 幾何運算

1、DIP用于改變圖像中各物體之間的空間關用于改變圖像中各物體之間的空間關系。系。相當于物體在圖像內移動相當于物體在圖像內移動。空間變換要有約束，否則變換后的圖像會空間變換要有約束，否則變換后的圖像會“支支離破碎離破碎”。定義：定義： 其中：其中： f(x, y)為輸入圖像，為輸入圖像， g(x, y)為輸出圖像。函數(shù)為輸出圖像。函數(shù)a(x, y)和和b(x, y)唯一描述了空間變換唯一描述了空間變換，若它們是連續(xù)，若它們是連續(xù)的，則連通關系將在圖像中得到保持。的，則連通關系將在圖像中得到保持。DIPf(x, y)的灰度值僅在整數(shù)位置的灰度值僅在整數(shù)位置(x, y)被定義被定義（原始原始圖像各像素

2、是位于各離散的整數(shù)坐標點上圖像各像素是位于各離散的整數(shù)坐標點上），但變換），但變換后的后的。這就意味著，這就意味著，g(x, y)的灰度值通常會由處于非整的灰度值通常會由處于非整數(shù)坐標點上的數(shù)坐標點上的f(x, y)的值來決定。的值來決定。因此，如果把因此，如果把f映射為映射為g，則則f中的一個像素可能中的一個像素可能會映射到會映射到g中幾個像素之間的位置；反之亦然。中幾個像素之間的位置；反之亦然。所有像素都正好位于采樣柵格的整數(shù)坐標所有像素都正好位于采樣柵格的整數(shù)坐標處處。DIP當實現(xiàn)一個幾何運算時，可以想象當實現(xiàn)一個幾何運算時，可以想象將輸入圖像的將輸入圖像的灰度一個一個像素地轉移到輸出圖

3、像中灰度一個一個像素地轉移到輸出圖像中，若一個像素，若一個像素被映射到被映射到4 4個輸出像素之間的位置，則其灰度值就要個輸出像素之間的位置，則其灰度值就要按照插值算法，在按照插值算法，在4 4個輸出像素之間進行分配。這便個輸出像素之間進行分配。這便是是。xyyxf(x, y)g(x, y)x, y非整形非整形x, y整形整形DIP還可以有另一種與上述相反的映射過程，即：還可以有另一種與上述相反的映射過程，即：將將輸出圖像的灰度一個一個像素地反向映射到輸入圖像輸出圖像的灰度一個一個像素地反向映射到輸入圖像中中，因此一個輸出像素可能會被映射到，因此一個輸出像素可能會被映射到4 4個輸入像素個輸入

4、像素之間的位置，輸出像素的灰度值就要按照插值算法，之間的位置，輸出像素的灰度值就要按照插值算法，由由4 4個輸入像素的某種組合來決定。這便是個輸入像素的某種組合來決定。這便是。xyyxf(x, y)g(x, y)x, y整形整形x, y非整形非整形DIP輸出像素被映射到輸入圖像中的非整數(shù)位置，輸出像素被映射到輸入圖像中的非整數(shù)位置，即即4 4個像素之間，因此需要插值運算。個像素之間，因此需要插值運算。輸出像素的灰度值等于離它所映射到的位置最輸出像素的灰度值等于離它所映射到的位置最近的輸入像素的灰度值近的輸入像素的灰度值。簡單，但精度不高。簡單，但精度不高。DIP函數(shù)函數(shù)f(x, y)在單位正方

5、形頂點的值已知，希望通在單位正方形頂點的值已知，希望通過插值找到正方形內任意點的值過插值找到正方形內任意點的值。顯然，令由雙線性方程顯然，令由雙線性方程來來定義的一個定義的一個與已知灰度值的與已知灰度值的4個頂點擬合，個頂點擬合，即可根據(jù)這即可根據(jù)這4個頂點的灰度值求出個頂點的灰度值求出a、b、c、d 這這4個系個系數(shù)。從而得到用于計算灰度級插值的雙線性方程。數(shù)。從而得到用于計算灰度級插值的雙線性方程。f(0)f(1)01DIP 也可將上三式合并：也可將上三式合并：由上可見：前由上可見：前3個式子共個式子共3次乘、次乘、6次加次加，而第，而第4個式子個式子則有則有4次乘、次乘、8次加次加。因此

6、，用前。因此，用前3個式子分步計算要比只個式子分步計算要比只用第用第4個式子一次計算還要快些。個式子一次計算還要快些。DIP(x,1)(x,y)(0,y)(x,0)(1,1)(0,1)(0,0)(1,0)xyxy由圖可見，通過雙線性插值得到的由圖可見，通過雙線性插值得到的與與4個個頂點頂點通常是不一樣的。通常是不一樣的。DIP放大放大263.9%最臨近插值最臨近插值雙線性插值雙線性插值DIP雙線性插雙線性插值具有平滑作用，會使圖像的值具有平滑作用，會使圖像的細節(jié)退化細節(jié)退化，特別是在放大處理時，這種影響將更為明顯特別是在放大處理時，這種影響將更為明顯。另外，由雙線性插值得到的雙曲拋物面在鄰域的

7、另外，由雙線性插值得到的雙曲拋物面在鄰域的邊界處相接吻合，但該處的斜率并不吻合，即邊界處相接吻合，但該處的斜率并不吻合，即導數(shù)在導數(shù)在邊界處不連續(xù)邊界處不連續(xù)。因此，高階插值相當于因此，高階插值相當于用一張大的蒙皮恰好蓋住用一張大的蒙皮恰好蓋住各個灰度樁值各個灰度樁值，而不是象雙線性插值那樣，僅是對每，而不是象雙線性插值那樣，僅是對每相鄰的相鄰的4 4個樁蓋一張蒙皮。個樁蓋一張蒙皮?；叶葮吨祷叶葮吨礑IP根據(jù)前面的公式：根據(jù)前面的公式：令令，則則令令，則則此時，圖像相對于基準點被平移了此時，圖像相對于基準點被平移了用齊次矩陣表示為用齊次矩陣表示為2200 xy00( ,)10( ,)01100

8、11a x yxxb x yyy DIP令令，則圖像在則圖像在x軸向和軸向和y軸向分軸向分別放大別放大c和和d倍。（倍。（左上角的圖像原點在圖像縮放時不動左上角的圖像原點在圖像縮放時不動）令上述令上述，則則，產生關于產生關于y軸的鏡像。軸的鏡像。令上述令上述，則則，產生關于產生關于x軸的鏡像。軸的鏡像。( ,)1/00( ,)01/010011a x ycxb x ydy DIP令令，則圖像繞原點順時針轉則圖像繞原點順時針轉 角。角。( ,)cos( )sin( )0( ,)sin( )cos( )010011a x yxb x yy 當圖像繞任意點當圖像繞任意點旋轉時，可以先將圖像平移旋轉時

9、，可以先將圖像平移到原點，經旋轉變換后，再移回到到原點，經旋轉變換后，再移回到位置。即：位置。即：0000( , )1 0cos( )sin( )01 0( , )0 1sin( )cos( )00 110 010010 011a x yxxxb x yyyy DIP如果圖像僅作如果圖像僅作平移平移或或縮放縮放操作，輸出像素的坐標位操作，輸出像素的坐標位置就僅置就僅分別依賴于分別依賴于x和和y?？梢浴？梢栽谶@兩個方向分別進行變在這兩個方向分別進行變換換，效率還可能更高。例如，先在水平方向產生一個中，效率還可能更高。例如，先在水平方向產生一個中間圖像，然后把間圖像，然后把中間圖像中間圖像作為輸入

10、，再在垂直方向進行作為輸入，再在垂直方向進行變換，得到最終結果。變換，得到最終結果。等寬等寬DIP對于對于旋轉變換旋轉變換，Catmull和和Smith提出了兩步法：提出了兩步法：即根據(jù)即根據(jù)導出：導出：再代入到再代入到，得：，得：因此，在運算的第一步（只在水平方向）先把因此，在運算的第一步（只在水平方向）先把與與聯(lián)立（聯(lián)立（即變換圖像即變換圖像，其中，其中 仍為原來的值仍為原來的值）。）。然后再在運算的第二步（只在垂直方向）將然后再在運算的第二步（只在垂直方向）將式與式與聯(lián)立（聯(lián)立（即即，其中其中剛剛變化完，不需再變剛剛變化完，不需再變）。）。(,)sin()cos()a x yyx( ,)

11、sin( )( ,)cos( )a x yyb x yDIP在上述可分離旋轉在上述可分離旋轉變換中，要求變換中，要求 值要小，否則當值要小，否則當 時因時因而失靈。但通常情況的旋轉角度而失靈。但通常情況的旋轉角度都很小，由于都很小，由于及及的整數(shù)倍旋轉可以通過簡單的的整數(shù)倍旋轉可以通過簡單的行列交換而實現(xiàn)，因此，旋轉角度可以限制在行列交換而實現(xiàn)，因此，旋轉角度可以限制在之之間。間。由以上可見，平移、放大、旋轉均可以分為兩步由以上可見，平移、放大、旋轉均可以分為兩步的一維運算。的一維運算。DIP在許多圖像處理應用中，所需的在許多圖像處理應用中，所需的空間變換都相空間變換都相當復雜當復雜，無法用前

12、述無法用前述那樣那樣的簡便數(shù)學表達式表示的簡便數(shù)學表達式表示。另外，。另外，所需的空間變換經所需的空間變換經常要從對實際圖像的測量中獲得常要從對實際圖像的測量中獲得，因此更希望用這，因此更希望用這些些測量結果測量結果而不是函數(shù)形式來而不是函數(shù)形式來描述幾何變換描述幾何變換。例如，攝像畫面上部的畸變，需用矩形柵格目例如，攝像畫面上部的畸變，需用矩形柵格目標對其數(shù)字化，再對不同的區(qū)域用相應的空間變換標對其數(shù)字化，再對不同的區(qū)域用相應的空間變換來校正。對同一部有畸變失真的攝像機來說，上述來校正。對同一部有畸變失真的攝像機來說，上述空間變換可用于對所有從該攝像機輸出的圖像的?？臻g變換可用于對所有從該攝

13、像機輸出的圖像的校正。正。DIP指定圖像的一系列指定圖像的一系列控制點作空間變換，控制點作空間變換，其他非控制點的位移由插值來決定其他非控制點的位移由插值來決定。將圖像分成許多多邊形區(qū)域，并對每個將圖像分成許多多邊形區(qū)域，并對每個區(qū)域使用雙線性映射。區(qū)域使用雙線性映射。DIP找到變換式找到變換式中中和和的函數(shù)表達式，該表達式通常為的函數(shù)表達式，該表達式通常為多項多項式式，其參數(shù)選擇能使多項式與控制點及其位移量相，其參數(shù)選擇能使多項式與控制點及其位移量相吻合。（吻合。（參考文獻參考文獻1中使用了高達中使用了高達5階的多項式卷階的多項式卷繞函數(shù)繞函數(shù)）。）。如果控制點數(shù)多于多項式項數(shù)，就必須采用多

14、如果控制點數(shù)多于多項式項數(shù)，就必須采用多項式擬合來決定多項式系數(shù)。這時要求項式擬合來決定多項式系數(shù)。這時要求空間變換整空間變換整體上與指定的控制點最佳擬合體上與指定的控制點最佳擬合。但對于每一個控制。但對于每一個控制點則不一定嚴格吻合。點則不一定嚴格吻合。DIPDIP輸入的輸入的控制點形成柵格控制點形成柵格，此柵格，此柵格映射映射為輸出圖像為輸出圖像中中的的矩形柵格矩形柵格。輸入控制點對應矩。輸入控制點對應矩形頂點，輸入多邊形內的點則對應矩形內各點。形頂點，輸入多邊形內的點則對應矩形內各點。DIP通常采用通常采用雙線性插值雙線性插值對柵格進行插值，這是因為雙線對柵格進行插值，這是因為雙線性插值

15、計算簡單，且可以產生一個能保持連續(xù)性和連通性性插值計算簡單，且可以產生一個能保持連續(xù)性和連通性的光滑映射的光滑映射。雙線性空間變換的一般表達式為雙線性空間變換的一般表達式為：可見該變換由可見該變換由這這8個系數(shù)來定義。個系數(shù)來定義。輸入四邊形的輸入四邊形的4個頂點個頂點輸出四邊形的輸出四邊形的4個頂點個頂點這樣，從這樣，從到到 的映射，得到的映射，得到4個含個含的方程的方程從從 到到 的映射，得到的映射，得到4個含個含的方程的方程根據(jù)上述根據(jù)上述8個方程，即可解出個方程，即可解出這這8個系數(shù)，個系數(shù)，。DIP還有另一種更方便、高效的定義還有另一種更方便、高效的定義：上式中的上式中的和和表示像素

16、的位移量，是表示像素的位移量，是 和和的雙線性函數(shù)。的雙線性函數(shù)。xa,yaxb,ybxc,ycxd,ydx1,y1x2,y1x2,y2x1,y2x,y1x,y2x,ydx(x2,y2)dy(x2,y2)輸入四邊形輸出四邊形DIP由于是雙線性，那么由于是雙線性，那么沿著每一輸出行（或每一沿著每一輸出行（或每一輸出列）都是線性的輸出列）都是線性的。對每行定義增量。對每行定義增量 x（像素間像素間隔為隔為1），因此對），因此對dx：，：，同樣對同樣對dy:(1, )( , )dx xydx x yx( ,1)( , )dy x ydy x yy增量增量 x隨著行的不同而變化隨著行的不同而變化，但在

17、輸出矩形頂，但在輸出矩形頂點的位移值可容易地計算（對應點約束），即點的位移值可容易地計算（對應點約束），即通過通過給定點的位移進行插值給定點的位移進行插值來求得。來求得。僅需兩個加法（僅需兩個加法（dx和和dy各一）。各一）。DIP11114444562323336665上圖是定義了上圖是定義了6個相鄰矩形的輸出圖像。其空間個相鄰矩形的輸出圖像。其空間變換如前所述。外面矩形的雙線性系數(shù)來自其最鄰近變換如前所述。外面矩形的雙線性系數(shù)來自其最鄰近的內部矩形。另外，相鄰矩形的頂點要重合。的內部矩形。另外，相鄰矩形的頂點要重合。通常一個由四邊形到矩形的映射不足以描述所期通常一個由四邊形到矩形的映射不足

18、以描述所期望的空間變換，這就需要望的空間變換，這就需要DIP消除由于攝像機導致的數(shù)字圖像的幾何畸變。消除由于攝像機導致的數(shù)字圖像的幾何畸變。校正從衛(wèi)星上或飛機側視雷達上得到的發(fā)生幾何畸校正從衛(wèi)星上或飛機側視雷達上得到的發(fā)生幾何畸變的數(shù)字圖像。變的數(shù)字圖像。DIP一些圖像系統(tǒng)使用非矩形的一些圖像系統(tǒng)使用非矩形的像素坐標，用普通顯示器觀察圖像素坐標，用普通顯示器觀察圖像時需轉換為矩形像素坐標。像時需轉換為矩形像素坐標。例：例：Viking Lander宇宙飛船宇宙飛船使用使用角掃描攝像機角掃描攝像機來數(shù)字化火星來數(shù)字化火星的全景圖像。采用球面坐標系統(tǒng)，的全景圖像。采用球面坐標系統(tǒng)，掃描線之間以相等

19、的俯仰角隔開，掃描線之間以相等的俯仰角隔開，其像素間距代表相等的方位角增其像素間距代表相等的方位角增量。量。校正時，需要將球面投影到校正時，需要將球面投影到一個相切的平面上，即投影從球一個相切的平面上，即投影從球面中心點發(fā)出，并將球面上的點面中心點發(fā)出，并將球面上的點投影到平面上。投影到平面上。用矩形系統(tǒng)顯示角掃描圖像用矩形系統(tǒng)顯示角掃描圖像DIP對相似的圖像進行配準，以便進行比較。例如，對相似的圖像進行配準，以便進行比較。例如，利用圖像相減來檢測運動或變化利用圖像相減來檢測運動或變化。如果相減的圖像有。如果相減的圖像有微小的位移，則相減后的差圖像將會有明顯的偏導數(shù)微小的位移，則相減后的差圖像

20、將會有明顯的偏導數(shù)成分，這就掩蓋了真正有意義的圖像差別。靜止圖像成分，這就掩蓋了真正有意義的圖像差別。靜止圖像用固定位置的攝像機拍攝多幅，則各圖像是配準的。用固定位置的攝像機拍攝多幅，則各圖像是配準的。否則，否則，在圖像相減前要進行配準在圖像相減前要進行配準。簡單的配準用平移，而旋轉或更復雜的變形需要簡單的配準用平移，而旋轉或更復雜的變形需要復雜的幾何運算。復雜的幾何運算。對各圖像的細小特征點進行定位，可用于定義控對各圖像的細小特征點進行定位，可用于定義控制點，而后基于控制點進行圖像的減運算。制點，而后基于控制點進行圖像的減運算。DIP將圖像以另一種形式進行表示，以便于解釋。將圖像以另一種形式

21、進行表示，以便于解釋。例如，通過幾何運算將果蠅染色體的原始圖像拉例如，通過幾何運算將果蠅染色體的原始圖像拉平（原始圖像由顯微鏡所拍攝的照片拼接而成），其平（原始圖像由顯微鏡所拍攝的照片拼接而成），其原理是將輸入圖像的每個染色體疊加上一個四邊形的原理是將輸入圖像的每個染色體疊加上一個四邊形的控制柵格，并使其中的兩條邊平行于染色體的軸線，控制柵格，并使其中的兩條邊平行于染色體的軸線，因而這些四邊形被映射成輸出圖像中水平排列的矩形因而這些四邊形被映射成輸出圖像中水平排列的矩形串。串。DIP例如，從宇例如，從宇宙飛船上傳回的宙飛船上傳回的地球、月球圖片地球、月球圖片是球面圖片，而是球面圖片，而拼接成地

22、圖時是拼接成地圖時是平面的，因此需平面的，因此需要幾何運算。這要幾何運算。這是一個是一個“球面球面”“平面平面”的幾何的幾何變換過程變換過程。DIP1、沿某些直線保持、沿某些直線保持不變，則地圖不變，則地圖等距等距（equidistant）。2、投影中區(qū)域的、投影中區(qū)域的保持不變，則地圖保持不變，則地圖等值等值（equivalence）。3、投影中、投影中保持不變（表面上直線相交的保持不變（表面上直線相交的夾角與地圖上投影線之間的夾角相同），則地夾角與地圖上投影線之間的夾角相同），則地圖圖保角保角（conformal）或或同形同形（orthomolphic）。DIP正交投影法正交投影法球極平面

23、投影法球極平面投影法Mercator投影法投影法Lambert保角圓錐投影法保角圓錐投影法各種方法的生成技術、地圖性質等均不同。各種方法的生成技術、地圖性質等均不同。DIP在影視作品中常見，表現(xiàn)為在影視作品中常見，表現(xiàn)為。由于在變換過程中，物體中。由于在變換過程中，物體中的特征點會從其起始位置平滑地移向終止位置，因此的特征點會從其起始位置平滑地移向終止位置，因此可產生為生動的效果?？僧a生為生動的效果。這這不同于影視制作技術中的不同于影視制作技術中的技術技術。因為淡入淡出過程中，第一幅畫面漸漸隱去，隨后第因為淡入淡出過程中，第一幅畫面漸漸隱去，隨后第二幅畫面才淡淡地顯現(xiàn)出來。兩幅畫面沒有融合的過二幅畫面才淡淡地顯現(xiàn)出來。兩幅畫面沒有融合的過程，因而不會產生逼真的視覺轉換。程，因而不會產生逼真的視覺轉換。DIP通常所說的變形都是指由通常所說的變形都是指由的過程，但也有人給