迭代法解線(xiàn)性方程組-數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)值分析 課程設(shè)計(jì)題 目： 迭代法解線(xiàn)性方程組 專(zhuān) 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué) 號(hào)： -24 姓 名： 譚 孜 指導(dǎo)教師： 郭 兵 成 績(jī)： 二零一六年 六月 二十日一 、前言：（目的和意義） 1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?#160; 掌握用迭代法求解線(xiàn)性方程組的基本思想和步驟。 了解雅可比迭代法，高斯-賽德?tīng)柗ê退沙诜ㄔ谇蠼夥匠探M過(guò)程中的優(yōu)缺點(diǎn)。  2.實(shí)驗(yàn)意義    迭代法是用某種極限過(guò)程去逐步逼近線(xiàn)性方程組精確解的方法，它是解高階稀疏方程組的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解線(xiàn)性方程組。比較雅可比迭代法，高斯

2、-賽德?tīng)柕椒ê退沙诜?，舉例子說(shuō)明每種方法的試用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)并進(jìn)行比較。二、數(shù)學(xué)原理：設(shè)有方程組 將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的，便于迭代的形式 (這種轉(zhuǎn)化總能實(shí)現(xiàn)，如令),并由此構(gòu)造迭代公式 式中B稱(chēng)為迭代矩陣，f稱(chēng)為迭代向量。對(duì)任意的初始向量，由式可求得向量序列，若，則就是方程或方程的解。此時(shí)迭代公式是收斂的，否則稱(chēng)為發(fā)散的。構(gòu)造的迭代公式是否收斂，取決于迭代矩陣B的性1.雅可比迭代法基本原理設(shè)有方程組 矩陣形式為,設(shè)系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣，且從式中第i個(gè)方程中解出x，得其等價(jià)形式 取初始向量，對(duì)式應(yīng)用迭代法，可建立相應(yīng)的迭代公式： 也可記為矩陣形式： 若將系數(shù)矩陣A分解為A=D-L-U， 式中 ，

3、， 。則方程Ax=b變?yōu)?得 于是 于是式中中的 。式和式分別稱(chēng)為雅克比迭代法的分量形式和矩陣形式，分量形式用于編程計(jì)算，矩陣型式用于討論迭代法的收斂性。2.高斯賽德?tīng)柕ǜ咚官惖聽(tīng)枺℅auss-Seidel）迭代法，其迭代公式為 （i=1,2,n）也可以寫(xiě)成矩陣形式 仍將系數(shù)矩陣A分解為 則方程組變?yōu)?得 將最新分量代替為舊分量，得 即 于是有 所以 3.超松弛迭代法設(shè)已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1個(gè)分量，（j=1,2,i-1）,現(xiàn)在研究如何求向量的第i個(gè)分量。 首先，有高斯賽德?tīng)柕ㄇ蟪鲆粋€(gè)值，記為 （i=1,2,n）再將第k次迭代向量的第i個(gè)分量與進(jìn)行加權(quán)平均，得

4、，即： 于是的SOR迭代公式 (i=1,2,n) 或 （i=1,2,n） 當(dāng)=1時(shí)，式即為高斯賽德?tīng)柕?；?dāng)0<<1時(shí)，式稱(chēng)為低松弛方法，當(dāng)某些方程組用高斯賽德?tīng)柕ú皇諗繒r(shí)，可以用低松弛方法獲得收斂；當(dāng)>1時(shí)，式稱(chēng)為超松弛方法，可以用來(lái)提高收斂速度。將式寫(xiě)成矩陣的形式，得： 即 于是得SOR迭代的矩陣表示 式中 3、 舉例說(shuō)明及代碼例1：解下面方程組.（雅克比迭代方法、高斯-賽德?tīng)柡退沙诜ǖ谋容^）解：先計(jì)算迭代矩陣： BJ與BG的特征值跟收斂半徑為 所以，用雅可比迭代法求解，迭代過(guò)程收斂，而用高斯-塞德?tīng)柕ㄇ蠼猓^(guò)程發(fā)散。取x0=(0;0;0),為達(dá)到精度10-

5、5，取w=0.1。雅可比迭代法松弛法3184代碼：1. 雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)

6、-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達(dá)到上限')returnendendkInput A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;Input b=1 1 1'Input x0=0 0 0'運(yùn)行結(jié)果：k = 3ans = -3 3 12.高斯-賽德?tīng)柕╟lear;clc;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果x=zeros(N,1);%迭代初始

7、值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相鄰解的距離小于該數(shù)時(shí)，結(jié)束迭代%-開(kāi)始迭代-for k=1:1000%最大迭代次數(shù)為100fprintf('第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計(jì)算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運(yùn)行結(jié)果：（因?yàn)榘l(fā)散結(jié)果不能確定）3.松弛迭代法w=0

8、.1;dalt=1.0e-5;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+

9、1;end運(yùn)行結(jié)果：root = 184.0000 -3.0001 3.0000 1.0000例2：（超松弛法）達(dá)到同樣的精度10-5，松弛因子的不同，會(huì)使得收斂速度大大不同（w取1.01.9）代碼：w=1;dalt=1.0e-5;A=4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4;b=1;1;1;1;r=size(b);a=b;x0=zeros(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltro

10、ot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end運(yùn)行結(jié)果整理：松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)1.071.6321.181.73368（不收斂）1.2101.81946（不收斂）1.3131.91372（不收斂）1.4171.523例3：用三種方法分別計(jì)算下列方程組并進(jìn)行比較：解： 雅克比迭代法1） 改寫(xiě)成等價(jià)形式 2） 構(gòu)造迭代公式，即為雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，計(jì)算

11、結(jié)果如下表：要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.017（1.0994,1.1994,1.2993）0.0019（1.0999，1.1999,1.2999）0.000113（1.1000,1.2000,1.3000） 高斯-賽德?tīng)柕?1） 原方程組改為等價(jià)方程組 2） 構(gòu)造迭代公式，即為高斯-賽德?tīng)柕?3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代計(jì)算下去，得下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.014（1.0931，1.1957,1.2978）0.0015（1.0991,1.1995,1.2997）0.00017（1.1000,1.2000,1.3000）超松馳迭代法(取松馳因子). 利用

12、SOR方法，構(gòu)造迭代公式與高斯-賽德?tīng)柗椒ㄏ嗤?，初值?迭代計(jì)算結(jié)果列于下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.015（1.0986,1.1998,1.0331）0.0017（1.0999,1.2000,1.2999）0.00018（1.1000,1.2000,1.3000）代碼：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=

13、x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達(dá)到上限')returnendendkInput A=10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5;Input b=7.2 8.3 4.2'Input x0=0 0 0'運(yùn)行結(jié)果：k = 13ans = 1.1000 1.2000

14、1.30002.高斯-賽德?tīng)柕╟lear;clc;A=10 3 1;2 -10 3;1 3 10;b=14 -5 14'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果x=zeros(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相鄰解的距離小于該數(shù)時(shí)，結(jié)束迭代%-開(kāi)始迭代-for k=1:100%最大迭代次數(shù)為100fprin

15、tf('第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計(jì)算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運(yùn)行結(jié)果： k= 7x = 1.0000 1.0000 1.00003.松弛迭代法w=1.3;dalt=1.0e-2;A=10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5;b=7.2,8.3,4.2'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t

16、)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end運(yùn)行結(jié)果：root = 0 0 0 0root = 0 0.9360 1.2007 1.6475root = 1.0000 1.2396 1.3083 1.2602root = 2.0000 1.0618 1.1522 1.2896r

17、oot = 3.0000 1.1025 1.2120 1.3069root = 4.0000 1.1026 1.1985 1.2982root = 5.0000 1.0986 1.1998 1.3001例4：用三種方法分別計(jì)算下列方程組并進(jìn)行比較：解： 雅克比迭代法2） 改寫(xiě)成等價(jià)形式 2） 構(gòu)造迭代公式，即為雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，計(jì)算結(jié)果如下表：要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.0121(1.1986,1.3939,1.5977,0.7962)0.00132(1.1996,1.3998,1.5994,0.7999)0.000153(1.2000,1.4

18、000,1.6000,0.8000) 高斯-賽德?tīng)柕?1） 原方程組改為等價(jià)方程組 2） 構(gòu)造迭代公式，即為高斯-賽德?tīng)柕?3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代計(jì)算下去，得下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.018(1.1880,1.3843,1.5873,0.7936)0.00114(1.1991,1.3988,1.5990,0.7995)0.000119(1.1999,1.3999,1.5999,0.7999)超松馳迭代法(取松馳因子). 利用SOR方法，構(gòu)造迭代公式與高斯-賽德?tīng)柗椒ㄏ嗤?，初值?迭代計(jì)算結(jié)果列于下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.016(1.196

19、1,1.3984,1.5987,0.7994)0.0018(1.1998,1.4000,1.6002,0.8000)0.000112(1.2000,1.4000,1.6000,0.8000)代碼：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-2;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=5

20、00; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達(dá)到上限')returnendendkInput A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;Input b=1 0 1 0'Input x0=1 1 1 1'運(yùn)行結(jié)果：k = 21ans = 1.1986 1.3939 1.59770.79622.高斯-賽德?tīng)柕╟lear;clc;

21、A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫(kù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果x=ones(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.01;%相鄰解的距離小于該數(shù)時(shí)，結(jié)束迭代%-開(kāi)始迭代-for k=1:100%最大迭代次數(shù)為100fprintf('第%d次迭代：

22、',k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計(jì)算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運(yùn)行結(jié)果：k= 8x = 1.1880 1.3843 1.58730.79363.松弛迭代法w=1.4;dalt=1.0e-2;A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'r=size(b);a=b;x0=ones(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t