廣東省廣州市2016年普通高中畢業(yè)班理科數(shù)學(xué)綜合測(cè)試（一）帶答案

1、絕密 啟用前2016年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)。2回答第卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3回答第卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）已知集合，則（A） （B） （C） （D

2、）（2）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為開始結(jié)束輸入x是否輸出（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（4）如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，則的值為（A）3 （B）6 （C）12 （D）24（5）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（A）52 （B）78 （C）104 （D）208（6）如果，是拋物線：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為， 是拋物線的焦點(diǎn)，若，則（A） （B） （C） （D）（7）在梯形中，已知，若，則（A） （B） （C） （D） （8）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約

3、束條件 則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（9）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（A） （B） （C） （D）（11）已知下列四個(gè)命題：若直線和平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則； ：若，則，；：若，則，；：在中，若，則 其中真命題的個(gè)數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（11）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（A） （B）（C） （D）（12）以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角形”1 2 3 4 5 2013 2014 201

4、5 2016 3 5 7 9 4027 4029 4031 8 12 16 8056 8060 20 28 16116 該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答二填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）一個(gè)總體中有60個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，59，依編號(hào)順序平均分成6個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，6現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，若在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為3，則在

5、第5組中抽取的號(hào)碼是 （14）已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為 （15）的展開式中，的系數(shù)為 （用數(shù)字填寫答案）（16）已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）ABCD如圖，在中，點(diǎn)在邊上，,.（）求的長(zhǎng)；（）求的面積（18）（本小題滿分12分）質(zhì)量指標(biāo)值0.0120.0040.0190.03015253545556575850頻率組距從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間，內(nèi)的頻率之比為（）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在

6、區(qū)間內(nèi)的頻率；（）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望（19）（本小題滿分12分）ABCDO如圖，四棱柱的底面是菱形，底面，（）證明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，（）求橢圓的方程；（）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù),（）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（）當(dāng)時(shí)，證明：.請(qǐng)考生在第2

7、2、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)（22）（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講FCDOABE如圖所示，內(nèi)接于，直線與相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（）求證：；（）若直線與相切于點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)（23）（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，.（）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（）在曲線上求一點(diǎn)，使它到直線：（為參數(shù)，）的距離最短，并求出點(diǎn)的直角坐標(biāo).（24）（本小題滿分10分）選修45：不等式選講設(shè)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （）若對(duì)任意，

8、不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍絕密 啟用前2016年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）理科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考評(píng)分說明:1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題不給中間分一選擇題（1）D（2）D（3）C（4）B（5）C（6）A（7）A

9、（8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二填空題（13）（14） （15） （16）三解答題（17）() 解法一： 在中，因?yàn)?，設(shè)，則在中，因?yàn)?，所?分在中，因?yàn)椋?由余弦定理得 4分因?yàn)椋?，?分解得所以的長(zhǎng)為. 6分解法二： 在中，因?yàn)?，設(shè)，則在中，因?yàn)?，所以所?分在中，因?yàn)椋?由余弦定理得4分所以5分解得所以的長(zhǎng)為. 6分（）解法一：由（）求得，8分所以，從而10分所以12分解法二：由（）求得，8分因?yàn)?，所以為等腰三角形因?yàn)?，所?0分所以底邊上的高所以12分解法三：因?yàn)榈拈L(zhǎng)為，所以，解得8分所以10分所以12分（18）解：（）設(shè)區(qū)間內(nèi)的頻率為，則區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為和1分

10、依題意得，3分解得所以區(qū)間內(nèi)的頻率為4分（）從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布，其中由（）得，區(qū)間內(nèi)的頻率為，將頻率視為概率得5分因?yàn)榈乃锌赡苋≈禐?，1，2，3，6分且，所以的分布列為：01210分30.0640.2880.4320.216所以的數(shù)學(xué)期望為（或直接根據(jù)二項(xiàng)分布的均值公式得到）12分ABCDO（19）（）證明：因?yàn)槠矫妫?平面， 所以1分因?yàn)槭橇庑?，所?分因?yàn)?，所以平?分因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?分（）解法一：因?yàn)槠矫?，以為原點(diǎn)，方向?yàn)?，軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系5分因?yàn)椋裕?分則，zyxABCDO所以，7分設(shè)平

11、面的法向量為，因?yàn)椋粤?，?分同理可求得平面的法向量為10分所以11分因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為12分ABCDOKH解法二：由（）知平面平面，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅我驗(yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為平行四邊形且因?yàn)槠矫嫫矫妫?過點(diǎn)作于，則平面過點(diǎn)作于，連接，則 所以是二面角的平面角的補(bǔ)角6分 在中，7分在中，因?yàn)?，所以因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以為直角三角?分所以9分所以10分所以11分所以二面角的余弦值為12分（20）（）解法一：設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以1分設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義知，所以2分所以，從而3分所以橢圓的方程為

12、4分解法二：設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以 1分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 2分由解得，3分所以橢圓的方程為4分（）解法一：因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為5分因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)聯(lián)立方程組消去得所以，則 所以直線的方程為6分因?yàn)橹本€，分別與軸交于點(diǎn)，令得，即點(diǎn)7分同理可得點(diǎn)8分所以9分設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為10分則以為直徑的圓的方程為，即11分令，得，即或故以為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)，12分解法二：因?yàn)闄E圓的左端點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為5分因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)所以直線的方程為6分因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，令得，即點(diǎn)7分同理可得點(diǎn)8分所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以9分

13、設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為10分則以為直徑的圓的方程為即11分令，得，即或故以為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)，12分解法三：因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為5分因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（），則點(diǎn) 所以直線的方程為6分因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，令得，即點(diǎn)7分同理可得點(diǎn)8分所以9分設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為10分則以為直徑的圓的方程為，即11分令，得，即或故以為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)，12分（21）（）解：因?yàn)椋?1分因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，解得.2分（）證法一：因?yàn)?，所以等價(jià)于當(dāng)時(shí)，要證，只需證明.4分以下給出三種思路證明思路1：設(shè)，則.設(shè)，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增6分因?yàn)椋院瘮?shù)在上有唯一零點(diǎn)，且

14、. 8分因?yàn)?，所以，?9分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.10分所以.綜上可知，當(dāng)時(shí)，. 12分思路2：先證明5分設(shè)，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）7分所以要證明， 只需證明8分下面證明設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）10分由于取等號(hào)的條件不同，所以綜上可知，當(dāng)時(shí)，. 12分（若考生先放縮，或、同時(shí)放縮，請(qǐng)參考此思路給分?。┧悸?：先證明令，轉(zhuǎn)化為證明5分因?yàn)榍€與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線與曲線、分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、到直線的距離分別為、，則其中，設(shè)，則因?yàn)?，所以所以在上單調(diào)遞增

15、，則所以設(shè)，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以所以所以綜上可知，當(dāng)時(shí)，.12分證法二：因?yàn)?，所以等價(jià)于4分以下給出兩種思路證明思路1：設(shè)，則.設(shè)，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增6分因?yàn)椋裕?所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且. 8分因?yàn)椋?，?分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值10分所以綜上可知，當(dāng)時(shí)，12分思路2：先證明，且5分設(shè)，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，取得最小值所以，即7分所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）8分再證明由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）9分因?yàn)椋遗c不同時(shí)取等號(hào)，所以 綜上可知，當(dāng)時(shí)，12分FCDOABE（22）（）證明：因?yàn)?/p>

16、是的切線，所以（弦切角定理）1分因?yàn)椋?分所以因?yàn)椋ü步牵?，所?分所以即4分（）解：因?yàn)槭堑那芯€，是的割線，所以 （切割線定理）5分因?yàn)椋裕?分由（）知，所以8分因?yàn)椋?9分所以所以 10分（23）（）解：由，可得1分因?yàn)椋?分所以曲線的普通方程為（或） 4分（）解法一：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），消去得直線的普通方程為 5分因?yàn)榍€：是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線：的距離最短，所以曲線在點(diǎn)處的切線與直線：平行即直線與的斜率的乘積等于，即7分因?yàn)椋獾没蛩渣c(diǎn)的坐標(biāo)為或9分由于點(diǎn)到直線的距離最短，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為10分解法二：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），消去得直線的普通方程為5分因?yàn)榍€是以為圓心，1為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)7分所以點(diǎn)到直線的距離為 8分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，9分此時(shí)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為10分（24）（）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于1分當(dāng)時(shí)，不等式化為，無解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，