第11講 等參單元

1、第六章第六章 等參單元等參單元第第6 6章章 等參單元等參單元 等參變換的條件等參變換的條件 等參單元評價等參單元評價 二十節(jié)點三維等參元簡介二十節(jié)點三維等參元簡介 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元等參單元等參單元 第六章第六章 等參單元等參單元6.1 6.1 引言引言第二是單元幾何上的限制，矩形和六面體（長方體）單元要求單第二是單元幾何上的限制，矩形和六面體（長方體）單元要求單元的邊（面）平行于坐標(biāo)軸（面），因此都不能模擬任意形狀和元的邊（面）平行于坐標(biāo)軸（面），因此都不能模擬任意形狀和方位的結(jié)構(gòu)。此外，線性單元都是直線邊界，處理曲邊

2、界幾何體方位的結(jié)構(gòu)。此外，線性單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何體誤差較大。誤差較大。回顧前面的各種二、三維單元，這些單元受到兩個方面的限制：回顧前面的各種二、三維單元，這些單元受到兩個方面的限制：第一是單元的精度，顯然單元的節(jié)點數(shù)越多，單元精度越高。因第一是單元的精度，顯然單元的節(jié)點數(shù)越多，單元精度越高。因此在這一點上，矩形單元優(yōu)于此在這一點上，矩形單元優(yōu)于3 3節(jié)點三角形單元，六面體單元優(yōu)于節(jié)點三角形單元，六面體單元優(yōu)于四面體單元；四面體單元；第六章第六章 等參單元等參單元6.1 6.1 引言引言任意四邊形和任意六面體單元的位移模式、形函數(shù)的構(gòu)造和單元任意四邊形和任意六面體單元的位移模式、形

3、函數(shù)的構(gòu)造和單元列式的導(dǎo)出不能沿用前面構(gòu)造簡單單元的方法，必須引入所謂的列式的導(dǎo)出不能沿用前面構(gòu)造簡單單元的方法，必須引入所謂的等參變換，采用相同的插值函數(shù)對單元的節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點位移在等參變換，采用相同的插值函數(shù)對單元的節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點位移在單元上進行插值。這種單元稱為單元上進行插值。這種單元稱為等參單元等參單元。解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何上的限解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何上的限制，使其成為平面任意四邊形和空間任意六面體單元，如果再增制，使其成為平面任意四邊形和空間任意六面體單元，如果再增加邊中間節(jié)點，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度單元。加邊

4、中間節(jié)點，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度單元。等參單元的提出對于有限元法在工程實踐中的應(yīng)用具有重要意義。等參單元的提出對于有限元法在工程實踐中的應(yīng)用具有重要意義。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元1 1、局部坐標(biāo)系與位移模式、局部坐標(biāo)系與位移模式建立位移模式時的新問題建立位移模式時的新問題：如果：如果直接用直接用x x，y y坐標(biāo)系下的雙線性位坐標(biāo)系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標(biāo)軸不平行，因此位移移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標(biāo)軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。沿邊界呈二次函數(shù)

5、變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。l 下圖為一個4節(jié)點任意四邊形單元，單元有8個自由度。將矩形單元 放松為4節(jié)點任意四邊形單元將帶來許多好處。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元因此在任意四邊形單元上建立一種局部坐標(biāo)系因此在任意四邊形單元上建立一種局部坐標(biāo)系-（如圖），使（如圖），使得得4 4條邊上有一個局部坐標(biāo)為常數(shù)（條邊上有一個局部坐標(biāo)為常數(shù)（1 1），顯然，該局部坐標(biāo)系隨），顯然，該局部坐標(biāo)系隨單元形狀變化，兩組坐標(biāo)線一般不正交。單元內(nèi)，所有點的坐標(biāo)單元形狀變化，兩組坐標(biāo)線一般不正交。單元內(nèi)，所有點的坐標(biāo)、皆在皆在-1-1與與+1+1之間，

6、四個節(jié)點的局部坐標(biāo)為之間，四個節(jié)點的局部坐標(biāo)為+1+1或或-1-1。該坐標(biāo)系也稱。該坐標(biāo)系也稱為自然坐標(biāo)系。為自然坐標(biāo)系。建立了局部坐標(biāo)系后，在建立了局部坐標(biāo)系后，在-平面內(nèi)單元就是一個邊長為平面內(nèi)單元就是一個邊長為2 2的正方形。的正方形。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元稱稱-平面內(nèi)的正方形單元為平面內(nèi)的正方形單元為基本單元或母單元基本單元或母單元。x-yx-y平面內(nèi)的平面內(nèi)的任意四邊形單元稱為任意四邊形單元稱為實際單元或子單元實際單元或子單元。顯然，母單元的節(jié)點對。顯然，母單元的節(jié)點對應(yīng)于不同的應(yīng)于不同的x x，y y坐標(biāo)就得到不同的任意四

7、邊形單元。坐標(biāo)就得到不同的任意四邊形單元。該局部坐標(biāo)系使得在該局部坐標(biāo)系使得在x-yx-y平面上的任意四邊形與平面上的任意四邊形與-平面上的正平面上的正方形之間形成了方形之間形成了1-11-1對應(yīng)的映射：正方形的對應(yīng)的映射：正方形的4 4個頂點對應(yīng)任意四邊個頂點對應(yīng)任意四邊形單元的四個節(jié)點；形單元的四個節(jié)點；4 4條邊對應(yīng)任意四邊形單元的條邊對應(yīng)任意四邊形單元的4 4條邊；正方形條邊；正方形內(nèi)任一點內(nèi)任一點p(p(, ,)對應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點對應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點p(x,y)p(x,y)。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元44332211uNu

8、NuNuNu44332211vNvNvNvNv建立了局部坐標(biāo)系或映射后，我們可以在建立了局部坐標(biāo)系或映射后，我們可以在-平面上的母單元中平面上的母單元中描述實際單元的位移模式和力學(xué)特性。描述實際單元的位移模式和力學(xué)特性。任意四邊形單元在母單元中的位移模式插值公式（或者稱為任意四邊形單元在母單元中的位移模式插值公式（或者稱為-坐標(biāo)系下的位移模式）就是矩形單元的位移模式，寫為：坐標(biāo)系下的位移模式）就是矩形單元的位移模式，寫為：)1)(1 (41iiiN其中，形函數(shù)為：其中，形函數(shù)為：ii,為為i i節(jié)點的局部坐標(biāo)。節(jié)點的局部坐標(biāo)。v顯然該位移模式在顯然該位移模式在, ,坐標(biāo)系下是雙線性位移模式，在

9、坐標(biāo)系下是雙線性位移模式，在x x，y y坐標(biāo)坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式。由于實際單元的邊界上有一個局部坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式。由于實際單元的邊界上有一個局部坐標(biāo)為常數(shù)，因此位移沿為常數(shù)，因此位移沿單元單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元4141iiiiiiyNyxNx為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達式，為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達式，在母單元上引入在母單元上引入x x，y y坐標(biāo)插值的坐標(biāo)插值的思想思想：母單元上任意一點在實際單元中對應(yīng)點的：母單元上任意一點在實際單元中對應(yīng)點的x

10、 x，y y坐標(biāo)由節(jié)點的坐標(biāo)由節(jié)點的x x，y y坐標(biāo)插值得到，并采用與位移插值相同的插值函數(shù)。從而得到坐標(biāo)插值得到，并采用與位移插值相同的插值函數(shù)。從而得到一個數(shù)學(xué)變換式：一個數(shù)學(xué)變換式：)1)(1 (41iiiN(i=1,2,3,4) 2 2、坐標(biāo)變換、坐標(biāo)變換第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元上述映射是上述映射是利用利用母單元描述實際單元力學(xué)特性的橋梁。由于該母單元描述實際單元力學(xué)特性的橋梁。由于該坐標(biāo)坐標(biāo)變換式中采用了與位移插值相同的節(jié)點和參數(shù)（插值函數(shù)），因此變換式中采用了與位移插值相同的節(jié)點和參數(shù)（插值函數(shù)），因此稱為等參變換。而所有

11、采用等參變換的單元稱為等參單元稱為等參變換。而所有采用等參變換的單元稱為等參單元。等參單。等參單元是一個單元家族，目前在通用程序中廣泛采用。元是一個單元家族，目前在通用程序中廣泛采用。這樣就得到一個事實上的映射，只要驗證該映射把母單元映射成這樣就得到一個事實上的映射，只要驗證該映射把母單元映射成實際單元，就是所需要的映射，實際單元上局部坐標(biāo)系就滿足前實際單元，就是所需要的映射，實際單元上局部坐標(biāo)系就滿足前面規(guī)定的要求。而事實上正是如此。面規(guī)定的要求。而事實上正是如此。4141iiiiiiyNyxNx第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元3、單元剛度矩

12、陣計算、單元剛度矩陣計算1）形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換）形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換等參單元中形函數(shù)是局部坐標(biāo)等參單元中形函數(shù)是局部坐標(biāo), ,的顯函數(shù)，而計算應(yīng)變時需的顯函數(shù)，而計算應(yīng)變時需要形函數(shù)對要形函數(shù)對x,yx,y坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)等參變換式，坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)等參變換式，, ,和和 x,yx,y之之間有一定函數(shù)關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有：間有一定函數(shù)關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有： yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元從上式解出：從上式解出： iiiiNNJyNxN1 坐標(biāo)變換的雅可比矩陣yxyxJ從而可以計算應(yīng)變矩陣

13、：從而可以計算應(yīng)變矩陣： )4 , 3 , 2 , 1(00ixNyNyNxNBiiiii第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元2）剛度矩陣積分式的坐標(biāo)變換）剛度矩陣積分式的坐標(biāo)變換對平面問題的四節(jié)點等參元，單元剛度矩陣由下式?jīng)Q定：對平面問題的四節(jié)點等參元，單元剛度矩陣由下式?jīng)Q定： eTekBDB hdxdyl 積分區(qū)域是積分區(qū)域是x-y坐標(biāo)系下的任意四邊形。坐標(biāo)系下的任意四邊形。 ddJhBDBkTe 1111進行積分變量替換，用進行積分變量替換，用 坐標(biāo)作為積分變量。由二維重積分坐標(biāo)作為積分變量。由二維重積分變量替換公式得到：變量替換公式得到：第

14、六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元3）剛度矩陣的數(shù)值積分）剛度矩陣的數(shù)值積分由于等參單元剛度矩陣積分式中被積函數(shù)很難導(dǎo)出解析表達式，由于等參單元剛度矩陣積分式中被積函數(shù)很難導(dǎo)出解析表達式，因此等參單元的計算都采用數(shù)值積分求積分的近似值，有限元中因此等參單元的計算都采用數(shù)值積分求積分的近似值，有限元中對四邊形和六面體等參單元采用高斯數(shù)值積分。對四邊形和六面體等參單元采用高斯數(shù)值積分。一維積分高斯求積公式：一維積分高斯求積公式：111)()(NiiiwxfdxxfI分別按積分表選取。）。為積分點數(shù)目（積分階為權(quán)重系數(shù)，為積分點，Nwxii第六章第六章

15、等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元關(guān)于高斯積分的結(jié)論：關(guān)于高斯積分的結(jié)論：對于二、三維高斯積分，有：對于二、三維高斯積分，有： LiMjjijiwwfddfI111111),(),( LiMjNkkjikjiwwwfdddfI111111111),(),(沿不同的坐標(biāo)方向可以取不同積分階沿不同的坐標(biāo)方向可以取不同積分階L,M,N，對應(yīng)的，對應(yīng)的坐標(biāo)位置（積分點）和權(quán)重分別按一維積分表選取。坐標(biāo)位置（積分點）和權(quán)重分別按一維積分表選取。 采用采用N階高斯積分，如果被積函數(shù)是階高斯積分，如果被積函數(shù)是2N-1階及以下的多項式，則高階及以下的多項式，則高斯求積公式給

16、出精確結(jié)果。斯求積公式給出精確結(jié)果。第六章第六章 等參單元等參單元6.2 6.2 平面四節(jié)點等參單元平面四節(jié)點等參單元對于平面四節(jié)點等參元對于平面四節(jié)點等參元，剛度矩陣積分通常在，剛度矩陣積分通常在, ,方向各方向各采用采用2 2個積分點（個積分點（2 22積分）：積分）： 2121jkkjjkjkTjkehwwJBDBk第六章第六章 等參單元等參單元6.3 6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面8節(jié)點曲邊四邊形等參元上述構(gòu)造上述構(gòu)造4 4節(jié)點任意四邊形等參單元的方法完全可以用于構(gòu)造更復(fù)雜的節(jié)點任意四邊形等參單元的方法完全可以用于構(gòu)造更復(fù)雜的等參元。對于二維問題，一個

17、精度更高的單元是等參元。對于二維問題，一個精度更高的單元是8 8節(jié)點曲邊四邊形單元，節(jié)點曲邊四邊形單元，該單元的建立同樣需要等參變換，因而也是等參單元。該單元及其母該單元的建立同樣需要等參變換，因而也是等參單元。該單元及其母單元如圖所示。單元如圖所示。8 8節(jié)點任意四邊形等參元及其母單元節(jié)點任意四邊形等參元及其母單元第六章第六章 等參單元等參單元282726254321282726254321vu6.3 6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元該單元在母單元中的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次該單元在母單元中的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次多項式，故稱為二

18、次等參元。多項式，故稱為二次等參元。第六章第六章 等參單元等參單元6.3 6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元)8 , 7)(1)(1 (21)6 , 5)(1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1)(1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii該單元形函數(shù)可以用形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造。對應(yīng)圖中局部節(jié)點編號，該單元形函數(shù)可以用形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造。對應(yīng)圖中局部節(jié)點編號，8 8個節(jié)點形函數(shù)為：個節(jié)點形函數(shù)為：容易驗證，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)。容易驗證，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)。第六章第六章 等參單元等參單元8181iiiiiivNvuNu8181iiiiiiy

19、NyxNx等參變換：位移插值公式：6.3 6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元)8 , 7)(1)(1 (21)6 , 5)(1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1)(1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii第六章第六章 等參單元等參單元6.3 6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元相應(yīng)等參變換把母單元的相應(yīng)等參變換把母單元的4 4條直線邊界映射為實際單元中的條直線邊界映射為實際單元中的4 4條拋條拋物線物線邊界。即如果實際單元的邊是拋物線，則等參變換是實際單邊界。即如果實際單元的邊是拋物線，則等參變換是實際單元和母單元之間的

20、精確變換。元和母單元之間的精確變換。根據(jù)上述形函數(shù)插值得到的位移在單元邊界上呈根據(jù)上述形函數(shù)插值得到的位移在單元邊界上呈二次拋物線二次拋物線變化，變化，由邊界上三個節(jié)點位移唯一確定，所以，邊界上滿足協(xié)調(diào)性。由邊界上三個節(jié)點位移唯一確定，所以，邊界上滿足協(xié)調(diào)性。8節(jié)點平面等參元剛度矩陣計算方法與前面節(jié)點平面等參元剛度矩陣計算方法與前面4節(jié)點等參單元相同，節(jié)點等參單元相同，只是取更高積分階。只是取更高積分階。單元等效節(jié)點力積分的計算，在單元上和邊界上也是采用高斯數(shù)單元等效節(jié)點力積分的計算，在單元上和邊界上也是采用高斯數(shù)值積分。值積分。第六章第六章 等參單元等參單元6.4 6.4 二十節(jié)點三維等參元

21、簡介二十節(jié)點三維等參元簡介20節(jié)點三維等參元簡介三維結(jié)構(gòu)有限元分析中采用高階單元將具有模型的節(jié)點、單元數(shù)目少，求三維結(jié)構(gòu)有限元分析中采用高階單元將具有模型的節(jié)點、單元數(shù)目少，求解精度高的特點。而帶有邊中節(jié)點的任意六面體單元是三維實體單元的首解精度高的特點。而帶有邊中節(jié)點的任意六面體單元是三維實體單元的首選，該單元必須采用等參單元技術(shù)加以實施。選，該單元必須采用等參單元技術(shù)加以實施。如圖所示，單元每個邊有如圖所示，單元每個邊有3個節(jié)點，共個節(jié)點，共20個節(jié)點。單元上建立曲線自然坐個節(jié)點。單元上建立曲線自然坐標(biāo)系標(biāo)系 ,每個單元邊界面上有一個局部坐標(biāo)值為常數(shù)（每個單元邊界面上有一個局部坐標(biāo)值為常數(shù)

22、（+1或或-1）。因此，）。因此，每個實際的曲面六面體單元映射為每個實際的曲面六面體單元映射為 坐標(biāo)系下邊長為坐標(biāo)系下邊長為2的立方體單元的立方體單元（母單元）。（母單元）。第六章第六章 等參單元等參單元6.4 6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介二十節(jié)點三維等參元簡介單元的形函數(shù)可以看作是平面單元的形函數(shù)可以看作是平面8 8節(jié)點曲邊四邊形等參元形函數(shù)在三維節(jié)點曲邊四邊形等參元形函數(shù)在三維空間的推廣：空間的推廣：8個角節(jié)點個角節(jié)點 :)8, 2 , 1(i)2)(1)(1)(1 (81iiiiiiiN)15,13,11, 90ii的邊點（對于)1)(1)(1 (412iiiN)16,14,12,10

23、0ii的邊點（對于)1)(1)(1 (412iiiN)20,19,18,170ii的邊點（對于)1)(1)(1 (412iiiN第六章第六章 等參單元等參單元6.4 6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介二十節(jié)點三維等參元簡介位移模式插值公式位移模式插值公式201iiiiiwvuNwvu20節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標(biāo)是完全二次多項節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標(biāo)是完全二次多項式，因此該單元稱為二次等參元，是典型的高精度單元。式，因此該單元稱為二次等參元，是典型的高精度單元。根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，相鄰單元在交界面上的位移僅僅由公共節(jié)點的根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，相鄰單元在交界面上的位移僅僅由公共節(jié)點的位移在交界面上插值決定，因此該單元的協(xié)調(diào)性得到滿足。此外，位移在交界面上插值決定，因此該單元的協(xié)調(diào)性得到滿足。此外，該單元滿足完備性條件，因此單元是收斂的。該單元滿足完備性條件，因此單元是收斂的。第六章第六章 等參單元等參單元6.4 6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介二十節(jié)點三維等參元簡介如果實際六面體單元的邊如果實際六面體單元的邊/面是拋物線面是拋物線/面，那么上述等參變換就面，那么上述等參變換就是實際所需要的變換。否則，等參變換僅僅是一種近似的變換。是實際所需要的變換。否則，等參變換僅僅是一種近似的變換。201iiiiizyxNzyx等參變換等參變