一元函數(shù)積分知識(shí)點(diǎn)完整版

1、一元函數(shù)積分相關(guān)問題前言：考慮到學(xué)習(xí)的效率問題，我在本文獻(xiàn)中常常會(huì)讓一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在分隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知識(shí)點(diǎn)時(shí)順便復(fù)習(xí)下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)第二次出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)問題會(huì) 稍微升華點(diǎn)，不做無用的重復(fù)。一. 考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，知道求不定積分與 求微分是互逆的關(guān)系，理解不定積分的線性性質(zhì)。問題 1 1:若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則所有可能成為f(x)的原函數(shù)的函數(shù)是 _。二. 考查定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握定積分的定義與幾何意義，了解可積的充分條件和必要條件，掌握定積分 的

2、基本性質(zhì)。定積分的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn)：1 1、 線性性質(zhì)2 2、 對(duì)區(qū)間的可加性3 3、 改變有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)改變定積分的可積性與積分值4 4、 比較定理(及其三個(gè)推論)5 5、 積分中值定理6 6、 連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì)d7 7、 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，若在a,b的任意子區(qū)間c,d上總是有f (x)dx 0，則當(dāng)cx a,b時(shí)，f(x)0問題 2 2：2Z設(shè)MQ2sin(sin x)dx,Nqcos(cosx)dx，則有()(A)M 1 N(B)M N 1(C)N M 1(D)1 M N三. 考查一元函數(shù)積分的基本定理講解：需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性、原函數(shù)存在定理、

3、不定積分與變限積分的關(guān)系， 了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來， 需要重點(diǎn)掌握牛 頓一萊布尼茲公式及其推廣。其中變限積分的求導(dǎo)方法為：設(shè)f(X)在a,b上連續(xù)，(X)和(X)在,上可導(dǎo)，當(dāng)x ,時(shí)，a(x),(x) b，則y(x)f (t)dt在,上可以對(duì)x求導(dǎo)，且(x) /dyf( (x) (x) f( dx牛頓來布尼茲疋理為：(x) (x)設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則問題 3 3：ln(x 1)廠t已知f (x)、te dt，求f (x) (x 0)四. 考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì)講解：需要掌握對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性

4、質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì)，學(xué)會(huì)用性質(zhì)化 簡(jiǎn)積分。問題 4 4:設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，：2f(cosx)dx A，則I f (cos x )dx _五. 利用定積分的定義求某些數(shù)列極限講解：需要掌握把某些和項(xiàng)數(shù)列和積項(xiàng)數(shù)列求極限的問題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵 是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。常見的情形有：bni(ba) b af (x)dxlimf (a)ani 1nnbf (x)dxnlimf (a(i処a) bani 1nn問題 5 5：nntan丄求w limn2ni 1n i六. 考察基本積分表講解：需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。七. 考察分項(xiàng)積分方法f (x)dxF(b

5、) F(a)講解：利用不定積分(定積分)線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和，再求積分。問題 6 6：求下列不定積分：21 cos x ,dx1 cos2x八. 考察定積分的分段積分方法講解：禾 U U 用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)間的和，再求積分。問題 7 7：計(jì)算以下定積分：九. 考察不定積分的分段積分方法講解：有時(shí)被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的，這時(shí)應(yīng)該采用分段積分法。 問題 8 8x2,0 x 1設(shè)函數(shù)f(x)，求f (x)dx(0 x 2)2 x,1 x 2十.考察不定積分的湊微分方法(第一換元法)講解：湊微分方法的具體過程為如下：設(shè)f(u)du F (u)

6、 C,且函數(shù)(x)可導(dǎo)，則f( (x) (x)dx f( (x)d( (x) F( (x) C。若f( (x) (x)dx不好求，而f (u)du好求，則可以采用這種方法。(x)dx，其中(x)并未表達(dá)為f( (x) (x)的形式,這時(shí)我們需要根據(jù)(X)的特點(diǎn)選擇適合的(X)。問題 9 9：求下列不定積分：secxdx十一.考察不定積分與定積分的第二換兀法講解：需要掌握不定積分與定積分第二換元法的定理，掌握常見的變量替代。和第一換元法相反，若f(u)du不好求，而f( (x) (x)dx好求，則可以采用這種方法,(x1) min 0.5,cosx dx需要注意的是通常碰到的問題是求關(guān)鍵是如何選

7、擇變量替換。這些我在后面介紹。十二.常用變量替換一：三角函數(shù)替換先采用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式:1.1.若A 0ata nt(asect(02.2.若A 0問題 1010：求下列不定積分:講解：三角函數(shù)替換法常用于被積函數(shù)中含有二次根式,般的二次根式.Ax2Bx C可則其可化成Ax B2jA24AC B2- ，令u4AAx B2jA24 AC B20，令a4AC B24A,則、Ax2Bx C可化成.u2a2，此時(shí)令4 ACB20，令a2B24 AC4A,則，Ax2Bx C可化成u2a2，此時(shí)令則其可化成、Ax2B 4 AC B4A2，令u、Ax A顯然此時(shí)4AC B20（否則被積函數(shù)無意義）24 A

8、C B2，則.Ax Bx C可4A化成-a2u2，此時(shí)令u asint(t2十三.常用變量替換二：幕函數(shù)替換（簡(jiǎn)單無理函數(shù)積講解：幕函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有E,的根式。對(duì)于第一個(gè)可令nax b t，則xtnb；a對(duì)于第二個(gè)可令nax bt，則x cx db dtn廠，再轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則u和v，選取的原則一般為：V容易積分,積計(jì)算。如果被積函數(shù)中同時(shí)含有(ax b),(ax b)，(ax b)，其中是分?jǐn)?shù),則令max b t，其中m是， 分母的最小公倍數(shù)。問題 1111：求下列不定積分：十四.常用變量替換三：指數(shù)函數(shù)替換講解：當(dāng)被積函數(shù)含有ex或ax時(shí)，可考慮采

9、用這種替換方法(t ex,t ax)問題 1212：求下列不定積分：dx十五.常用變量替換四：倒替換講解：當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時(shí)，有時(shí)可以考慮倒替換(問題 1313：求下列定積分:dxx3x22x 1十六.考察不定積分和定積分的分部積分法講解：需要掌握不定積分和定積分的分部積分法，并會(huì)用分部積分法推導(dǎo)遞推公式不定積分的分部積分法則為:假定u u(x)與v v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則uvdx uv vudx（或?qū)懗蓇dv uv vdu）定積分的分部積分法則為：若u(x)與v(x)在a,b上連續(xù)，則uvdxabuvabbbvudx（或?qū)慴vdu）avdu比udv容(3)1

10、問題 1414:求ln2sinnxdx和Jn2cosnxdx(n 0,1,2)n0n0十七.考察有理函數(shù)的積分講解：有理函數(shù)可以分解成多項(xiàng)式和真分式之和。積分的關(guān)鍵是求真分式的積分。設(shè)有真分式R(x)竺。首先將Q(x)因式分解，若分解后含有因子(x ajni，Q(x)n2m / 2xmi,2、m22mj(x a2)(x ai),(xpixqi),(xp?xq2)(xPjX qj,2(要求p 4q 0)( (按照高等代數(shù)的知識(shí)，一定可以分解成不超過二次的因式則采用待定系數(shù)法將R(x)分解為此時(shí)只含有四類積分：(D為任意常數(shù))dx Alnx a Dx a2C Bp , 2x Bp -arctanD

11、4q p24q p2(2)(x a)mdX(m 1)(x、m 1a)1)Bx C , (x2px q)mxB2(m 1)(x2px q)m 1(2)mdx(x px q)A1,1Al,2AMx a (x a1)2A2,1x a2(xA2,2OP(x ayA2,n2(X a2)n2Ai,1A,2Amx ai(x ai)2(x ayB1,1XG,1_2xP1X q1B1,2X C1,2(x2口X q)2B2,1xC2,1B2,2xC2,2C(x2P1X qjB2,m2X C21，mm2xP2X q2(xP2X q2)2(xm2P2X q2)2Bj,2xCj,2-2x PjX qjBj,2xCj,2

12、(x2PjX qj)2Bj,mjX Cj,mj2mj(X PjX qj)j(1)B2dx In xpx q其中(x2P：q)m可令t xf,4q P2，則22(x2dxmpx q)dt2 2(t a )m再利用分部積分法得到遞推公式求解。問題 1515:按照自己喜好填寫,A2,B!,B2,Ci,C2,Dl,D2,E!, E2的值，再按照上面方法求積分。Ax4B-|X3C1x2A2x4B2x3C2x2DMD2x E2十八.考察三角有理式的積分講解：所謂三角有理式是指以sinx與cosx為變量的有理函數(shù)，即為R(sinx,cosx)。此時(shí)總可以采用x萬能代換tan t使被積函數(shù)有理化，2R(sin

13、 x, cosx)dx2t 1 t22dtR (2,2丿21 t21 t21 t2問題 1616:求下列不定積分：1Jdx1 sin x十九.利用定積分的幾何意義求定積分的值b講解：若f(x)dx是熟知的平面圖形的面積，則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。a問題 1717：求下列定積分：b21-J x2. (x a)(x b)dxa 二十.利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來求定積分的積分值講解：有時(shí)我們可以采用分項(xiàng)積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解，再對(duì)其中某幾項(xiàng)采用第二換元法 轉(zhuǎn)換為另一種形式，再與其他項(xiàng)結(jié)合在一起求解積分。問題 1818：求下列定積分：, xsin x ,I2dx01 cos x卜一.考察反

14、常積分講解：反常積分我們專業(yè)考察較弱(不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何)，重點(diǎn)考察無窮區(qū)間上反常積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計(jì)算積分值，需要掌握常見反常積分的收斂性判斷、反常積分的運(yùn)算法則。問題 1919:計(jì)算下列反常積分的值：e 1dx(2)0 x(lnx)2二十二.考察與定積分概念有關(guān)的題目(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題 2020:1設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x) xoxf (x)dx，求f (x)二十三.利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值的符合(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)四和知識(shí)點(diǎn)十六。問題 2121 :x 2i212函數(shù)F(x) % f (t

15、)dt，其中f (t) esin(1 sin t)cos2t，則F(x)()(A)為正數(shù)(B)為負(fù)數(shù)(C)為零(D)不是常數(shù)二十四.根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題 2222：證明下列不等式：二十五.考察原函數(shù)的存在定理(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。問題 2323： 設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)有定義，c (a,b)，又f (x)在(a,b)內(nèi)僅有c一個(gè)間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn)，討論f (x)在(a,b)內(nèi)是否存在原函數(shù)?二十六.考察常用的不定積分計(jì)算方法(復(fù)習(xí)類)(1)dx3x22804x一tanxdx232講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)十八（

16、除了知識(shí)點(diǎn)八）問題 2424:dx二十七.考察常用的定積分計(jì)算方法（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)二十（除了知識(shí)點(diǎn)九）問題 2525:16 -arctan .x 1dx1 二十八.考察分段函數(shù)的積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)八，知識(shí)點(diǎn)十一。問題 2626:設(shè)函數(shù)f （X）在（，）內(nèi)滿足f （x） f （x ） si nx,且f （x） x（x 0,），求3f（x）dx二十九.考察廣義積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二十問題 2727：計(jì)算下列反常積分：三十.利用換元法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十一到十五。（我們專業(yè)每年都至少會(huì)考察一個(gè)證明題）問題 2828

17、：假定下列所涉及的反常積分均收斂，證明：(1)(2)(3)aiSinX blC0SXdx(a2a sinx bcosxb2ln(x(1dxX2)(1)2 sin xdx01 sin x cosx(2):xJx0)1f （x -）dx f （x）dxx三一.利用分部積分法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十六。問題 2929:設(shè)f(x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證:1f (x)dx 2(b a)( f (b)f(a)三十二.利用變限積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)三。問題 3030: 設(shè)f (x)與g(x)在a,b上連續(xù)，且同為單調(diào)不減函數(shù)，證明:bbb(b a) f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dxaaa三十三.利用分部積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)十六。問題 3131:設(shè)f (x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且記三十四.變限積分與求導(dǎo)的結(jié)合(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。問題 3232