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1、一元函數(shù)積分相關(guān)問題前言:考慮到學(xué)習(xí)的效率問題,我在本文獻(xiàn)中常常會讓一個知識點(diǎn)在分隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知識點(diǎn)時順便復(fù)習(xí)下這個知識點(diǎn),同時第二次出現(xiàn)這個知識點(diǎn)時問題會 稍微升華點(diǎn),不做無用的重復(fù)。一. 考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì)講解:需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系,知道求不定積分與 求微分是互逆的關(guān)系,理解不定積分的線性性質(zhì)。問題 1 1:若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx,則所有可能成為f(x)的原函數(shù)的函數(shù)是 _。二. 考查定積分的概念和基本性質(zhì)講解:需要掌握定積分的定義與幾何意義,了解可積的充分條件和必要條件,掌握定積分 的
2、基本性質(zhì)。定積分的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn):1 1、 線性性質(zhì)2 2、 對區(qū)間的可加性3 3、 改變有限個點(diǎn)的函數(shù)值不會改變定積分的可積性與積分值4 4、 比較定理(及其三個推論)5 5、 積分中值定理6 6、 連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì)d7 7、 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù),若在a,b的任意子區(qū)間c,d上總是有f (x)dx 0,則當(dāng)cx a,b時,f(x)0問題 2 2:2Z設(shè)MQ2sin(sin x)dx,Nqcos(cosx)dx,則有()(A)M 1 N(B)M N 1(C)N M 1(D)1 M N三. 考查一元函數(shù)積分的基本定理講解:需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性、原函數(shù)存在定理、
3、不定積分與變限積分的關(guān)系, 了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來, 需要重點(diǎn)掌握牛 頓一萊布尼茲公式及其推廣。其中變限積分的求導(dǎo)方法為:設(shè)f(X)在a,b上連續(xù),(X)和(X)在,上可導(dǎo),當(dāng)x ,時,a(x),(x) b,則y(x)f (t)dt在,上可以對x求導(dǎo),且(x) /dyf( (x) (x) f( dx牛頓來布尼茲疋理為:(x) (x)設(shè)f (x)在a,b上連續(xù),F(xiàn)(x)是f(x)在a,b上的一個原函數(shù),則問題 3 3:ln(x 1)廠t已知f (x)、te dt,求f (x) (x 0)四. 考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì)講解:需要掌握對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性
4、質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì),學(xué)會用性質(zhì)化 簡積分。問題 4 4:設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),:2f(cosx)dx A,則I f (cos x )dx _五. 利用定積分的定義求某些數(shù)列極限講解:需要掌握把某些和項數(shù)列和積項數(shù)列求極限的問題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵 是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。常見的情形有:bni(ba) b af (x)dxlimf (a)ani 1nnbf (x)dxnlimf (a(i処a) bani 1nn問題 5 5:nntan丄求w limn2ni 1n i六. 考察基本積分表講解:需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。七. 考察分項積分方法f (x)dxF(b
5、) F(a)講解:利用不定積分(定積分)線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)的和,再求積分。問題 6 6:求下列不定積分:21 cos x ,dx1 cos2x八. 考察定積分的分段積分方法講解:禾 U U 用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個簡單區(qū)間的和,再求積分。問題 7 7:計算以下定積分:九. 考察不定積分的分段積分方法講解:有時被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的,這時應(yīng)該采用分段積分法。 問題 8 8x2,0 x 1設(shè)函數(shù)f(x),求f (x)dx(0 x 2)2 x,1 x 2十.考察不定積分的湊微分方法(第一換元法)講解:湊微分方法的具體過程為如下:設(shè)f(u)du F (u)
6、 C,且函數(shù)(x)可導(dǎo),則f( (x) (x)dx f( (x)d( (x) F( (x) C。若f( (x) (x)dx不好求,而f (u)du好求,則可以采用這種方法。(x)dx,其中(x)并未表達(dá)為f( (x) (x)的形式,這時我們需要根據(jù)(X)的特點(diǎn)選擇適合的(X)。問題 9 9:求下列不定積分:secxdx十一.考察不定積分與定積分的第二換兀法講解:需要掌握不定積分與定積分第二換元法的定理,掌握常見的變量替代。和第一換元法相反,若f(u)du不好求,而f( (x) (x)dx好求,則可以采用這種方法,(x1) min 0.5,cosx dx需要注意的是通常碰到的問題是求關(guān)鍵是如何選
7、擇變量替換。這些我在后面介紹。十二.常用變量替換一:三角函數(shù)替換先采用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式:1.1.若A 0ata nt(asect(02.2.若A 0問題 1010:求下列不定積分:講解:三角函數(shù)替換法常用于被積函數(shù)中含有二次根式,般的二次根式.Ax2Bx C可則其可化成Ax B2jA24AC B2- ,令u4AAx B2jA24 AC B20,令a4AC B24A,則、Ax2Bx C可化成.u2a2,此時令4 ACB20,令a2B24 AC4A,則,Ax2Bx C可化成u2a2,此時令則其可化成、Ax2B 4 AC B4A2,令u、Ax A顯然此時4AC B20(否則被積函數(shù)無意義)24 A
8、C B2,則.Ax Bx C可4A化成-a2u2,此時令u asint(t2十三.常用變量替換二:幕函數(shù)替換(簡單無理函數(shù)積講解:幕函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有E,的根式。對于第一個可令nax b t,則xtnb;a對于第二個可令nax bt,則x cx db dtn廠,再轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則u和v,選取的原則一般為:V容易積分,積計算。如果被積函數(shù)中同時含有(ax b),(ax b),(ax b),其中是分?jǐn)?shù),則令max b t,其中m是, 分母的最小公倍數(shù)。問題 1111:求下列不定積分:十四.常用變量替換三:指數(shù)函數(shù)替換講解:當(dāng)被積函數(shù)含有ex或ax時,可考慮采
9、用這種替換方法(t ex,t ax)問題 1212:求下列不定積分:dx十五.常用變量替換四:倒替換講解:當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時,有時可以考慮倒替換(問題 1313:求下列定積分:dxx3x22x 1十六.考察不定積分和定積分的分部積分法講解:需要掌握不定積分和定積分的分部積分法,并會用分部積分法推導(dǎo)遞推公式不定積分的分部積分法則為:假定u u(x)與v v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則uvdx uv vudx(或?qū)懗蓇dv uv vdu)定積分的分部積分法則為:若u(x)與v(x)在a,b上連續(xù),則uvdxabuvabbbvudx(或?qū)慴vdu)avdu比udv容(3)1
10、問題 1414:求ln2sinnxdx和Jn2cosnxdx(n 0,1,2)n0n0十七.考察有理函數(shù)的積分講解:有理函數(shù)可以分解成多項式和真分式之和。積分的關(guān)鍵是求真分式的積分。設(shè)有真分式R(x)竺。首先將Q(x)因式分解,若分解后含有因子(x ajni,Q(x)n2m / 2xmi,2、m22mj(x a2)(x ai),(xpixqi),(xp?xq2)(xPjX qj,2(要求p 4q 0)( (按照高等代數(shù)的知識,一定可以分解成不超過二次的因式則采用待定系數(shù)法將R(x)分解為此時只含有四類積分:(D為任意常數(shù))dx Alnx a Dx a2C Bp , 2x Bp -arctanD
11、4q p24q p2(2)(x a)mdX(m 1)(x、m 1a)1)Bx C , (x2px q)mxB2(m 1)(x2px q)m 1(2)mdx(x px q)A1,1Al,2AMx a (x a1)2A2,1x a2(xA2,2OP(x ayA2,n2(X a2)n2Ai,1A,2Amx ai(x ai)2(x ayB1,1XG,1_2xP1X q1B1,2X C1,2(x2口X q)2B2,1xC2,1B2,2xC2,2C(x2P1X qjB2,m2X C21,mm2xP2X q2(xP2X q2)2(xm2P2X q2)2Bj,2xCj,2-2x PjX qjBj,2xCj,2
12、(x2PjX qj)2Bj,mjX Cj,mj2mj(X PjX qj)j(1)B2dx In xpx q其中(x2P:q)m可令t xf,4q P2,則22(x2dxmpx q)dt2 2(t a )m再利用分部積分法得到遞推公式求解。問題 1515:按照自己喜好填寫,A2,B!,B2,Ci,C2,Dl,D2,E!, E2的值,再按照上面方法求積分。Ax4B-|X3C1x2A2x4B2x3C2x2DMD2x E2十八.考察三角有理式的積分講解:所謂三角有理式是指以sinx與cosx為變量的有理函數(shù),即為R(sinx,cosx)。此時總可以采用x萬能代換tan t使被積函數(shù)有理化,2R(sin
13、 x, cosx)dx2t 1 t22dtR (2,2丿21 t21 t21 t2問題 1616:求下列不定積分:1Jdx1 sin x十九.利用定積分的幾何意義求定積分的值b講解:若f(x)dx是熟知的平面圖形的面積,則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。a問題 1717:求下列定積分:b21-J x2. (x a)(x b)dxa 二十.利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來求定積分的積分值講解:有時我們可以采用分項積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解,再對其中某幾項采用第二換元法 轉(zhuǎn)換為另一種形式,再與其他項結(jié)合在一起求解積分。問題 1818:求下列定積分:, xsin x ,I2dx01 cos x卜一.考察反
14、常積分講解:反常積分我們專業(yè)考察較弱(不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何),重點(diǎn)考察無窮區(qū)間上反常積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計算積分值,需要掌握常見反常積分的收斂性判斷、反常積分的運(yùn)算法則。問題 1919:計算下列反常積分的值:e 1dx(2)0 x(lnx)2二十二.考察與定積分概念有關(guān)的題目(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二。問題 2020:1設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù),且滿足f(x) xoxf (x)dx,求f (x)二十三.利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值的符合(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二、知識點(diǎn)四和知識點(diǎn)十六。問題 2121 :x 2i212函數(shù)F(x) % f (t
15、)dt,其中f (t) esin(1 sin t)cos2t,則F(x)()(A)為正數(shù)(B)為負(fù)數(shù)(C)為零(D)不是常數(shù)二十四.根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二。問題 2222:證明下列不等式:二十五.考察原函數(shù)的存在定理(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)三。問題 2323: 設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)有定義,c (a,b),又f (x)在(a,b)內(nèi)僅有c一個間斷點(diǎn),且為第一類間斷點(diǎn),討論f (x)在(a,b)內(nèi)是否存在原函數(shù)?二十六.考察常用的不定積分計算方法(復(fù)習(xí)類)(1)dx3x22804x一tanxdx232講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)六到知識點(diǎn)十八(
16、除了知識點(diǎn)八)問題 2424:dx二十七.考察常用的定積分計算方法(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)六到知識點(diǎn)二十(除了知識點(diǎn)九)問題 2525:16 -arctan .x 1dx1 二十八.考察分段函數(shù)的積分(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)八,知識點(diǎn)十一。問題 2626:設(shè)函數(shù)f (X)在(,)內(nèi)滿足f (x) f (x ) si nx,且f (x) x(x 0,),求3f(x)dx二十九.考察廣義積分(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二十問題 2727:計算下列反常積分:三十.利用換元法證明積分等式(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)十一到十五。(我們專業(yè)每年都至少會考察一個證明題)問題 2828
17、:假定下列所涉及的反常積分均收斂,證明:(1)(2)(3)aiSinX blC0SXdx(a2a sinx bcosxb2ln(x(1dxX2)(1)2 sin xdx01 sin x cosx(2):xJx0)1f (x -)dx f (x)dxx三一.利用分部積分法證明積分等式(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)十六。問題 2929:設(shè)f(x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),求證:1f (x)dx 2(b a)( f (b)f(a)三十二.利用變限積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二和知識點(diǎn)三。問題 3030: 設(shè)f (x)與g(x)在a,b上連續(xù),且同為單調(diào)不減函數(shù),證明:bbb(b a) f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dxaaa三十三.利用分部積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)二和知識點(diǎn)十六。問題 3131:設(shè)f (x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且記三十四.變限積分與求導(dǎo)的結(jié)合(復(fù)習(xí)類)講解:你需要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)三。問題 3232
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