工程地震與結(jié)構(gòu)抗震(06)-場地影響2

1、1一維土層地震反應(yīng)一維土層地震反應(yīng)2關(guān)于波動我們了解什么？關(guān)于波動我們了解什么？ 水波，縱波，橫波水波，縱波，橫波 剪切波、剪切波、 波速、波速、 正弦波正弦波 振動（振動（Vibration）和波動（）和波動（Wave）什么是振動？什么是振動？ 質(zhì)點在平衡位置附近作往復(fù)運動。質(zhì)點在平衡位置附近作往復(fù)運動。什么是波動？什么是波動？ 質(zhì)點振動在介質(zhì)中的傳播。質(zhì)點振動在介質(zhì)中的傳播。3基本概念基本概念41. 頻域分析頻域分析 頻域分析包括頻譜分析和綜合，是研究頻域分析包括頻譜分析和綜合，是研究工程中大量工程中大量線性波動問題線性波動問題最基本和最重要的最基本和最重要的方法。頻域分析建立在方法。頻域

2、分析建立在簡諧波簡諧波概念的基礎(chǔ)之概念的基礎(chǔ)之上，下面先討論這一概念，然后討論頻域分上，下面先討論這一概念，然后討論頻域分析的基本數(shù)學(xué)物理知識。析的基本數(shù)學(xué)物理知識。5 簡諧波簡諧波 簡諧波是一種理想化的行波，就一維波動而言，簡諧波是一種理想化的行波，就一維波動而言，它的波形隨空間坐標(biāo)成簡諧變化，同時在空間給定點它的波形隨空間坐標(biāo)成簡諧變化，同時在空間給定點隨時間的振動也具有簡諧形式。簡諧波由下列表達式隨時間的振動也具有簡諧形式。簡諧波由下列表達式定義定義cxtiUuexp復(fù)數(shù)通常只在數(shù)學(xué)運算過程中出現(xiàn)，虛數(shù)部分復(fù)數(shù)通常只在數(shù)學(xué)運算過程中出現(xiàn)，虛數(shù)部分則在從頻域返回時域時自行消去。則在從頻域返

3、回時域時自行消去。 6描述振動的主要參數(shù)描述振動的主要參數(shù)： 振幅振幅 頻率頻率 初始相位初始相位)()(tsinUtu7簡諧波用簡諧波用兩個獨立的兩個獨立的運動學(xué)參數(shù)描述。例如，用運動學(xué)參數(shù)描述。例如，用表示質(zhì)點振動特征的圓頻率表示質(zhì)點振動特征的圓頻率和描述波和描述波傳播特征傳播特征的波的波速速c c。描述描述振動特征振動特征的另外兩個常用的參數(shù)是質(zhì)點振的另外兩個常用的參數(shù)是質(zhì)點振動周期動周期T和頻率和頻率f 。描述簡諧波描述簡諧波傳播特征傳播特征的另外兩個的另外兩個常用的參數(shù)是波長常用的參數(shù)是波長和波數(shù)和波數(shù) kf2Tf1cT2k8 描述振動與波動的參數(shù)：描述振動與波動的參數(shù)：93. 頻域

4、分析的基本知識頻域分析的基本知識 頻域分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是頻域分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是傅立葉變換傅立葉變換，依據(jù)，依據(jù)這一變換，這一變換，暫態(tài)波動暫態(tài)波動可以表示成簡諧波的疊加?？梢员硎境珊喼C波的疊加。頻域分析包含頻域分析包含諧波分析諧波分析和和諧波綜合諧波綜合兩項內(nèi)容。諧兩項內(nèi)容。諧波分析是依據(jù)力學(xué)模型研究簡諧波的頻率和波數(shù)波分析是依據(jù)力學(xué)模型研究簡諧波的頻率和波數(shù)的關(guān)系，及對簡諧波振幅的分析。諧波綜合是一的關(guān)系，及對簡諧波振幅的分析。諧波綜合是一個計算方法問題。個計算方法問題。10一維標(biāo)準(zhǔn)波動方程一維標(biāo)準(zhǔn)波動方程 22222xuctuctxgctxftxu,上式的一般解可以用初等方法求出上式的一般解可

5、以用初等方法求出 f 和和 g 是兩個任意函數(shù)是兩個任意函數(shù) ，文獻中稱上式為波動方程，文獻中稱上式為波動方程的達朗貝爾的達朗貝爾(DAlembert)解。函數(shù)和的特定形式需解。函數(shù)和的特定形式需要由邊界條件和初始條件確定要由邊界條件和初始條件確定 。 11直接對上式做傅立葉變換，并定義直接對上式做傅立葉變換，并定義 dtetgEdtetfFdtetxuxUtititi2121,21,則利用傅立葉變換的則利用傅立葉變換的延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)得到得到（作業(yè)：推導(dǎo)）（作業(yè)：推導(dǎo)） xikFxikxExUexpexp,ckdexUuti,124. 波的反射與透射波的反射與透射 波阻抗波阻抗 波動傳播的物

6、理量既可以是運動學(xué)參數(shù)，波動傳播的物理量既可以是運動學(xué)參數(shù)，如位移、速度和加速度，也可以是其他物如位移、速度和加速度，也可以是其他物理量，如應(yīng)力、能量等。理量，如應(yīng)力、能量等。sc介質(zhì)的密度和波速的乘積稱為波阻抗介質(zhì)的密度和波速的乘積稱為波阻抗 13波的反射與透射波的反射與透射 與界面性質(zhì)有關(guān)與界面性質(zhì)有關(guān) 1 ) 剛性邊界剛性邊界 2 )自由邊界自由邊界 3 ) 一般邊界一般邊界14上行平面波遇到剛性界面，剛性邊界條上行平面波遇到剛性界面，剛性邊界條件是什么？件是什么？15上行平面波遇到剛性界面，剛性邊界條上行平面波遇到剛性界面，剛性邊界條件：位移為件：位移為0 0。16用垂直于波陣面（平面

7、）的波矢來表示用垂直于波陣面（平面）的波矢來表示平面波。平面波。17X剛性邊界剛性邊界上行入射波上行入射波18X剛性邊界剛性邊界上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波19X剛性邊界剛性邊界上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF20剛性邊界剛性邊界X上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF在邊界上（在邊界上（x x0 0處），處），E EI IF FI I0,0, 即振幅相同，符號相反即振幅相同，符號相反IIEF21 自由邊界的邊界條件應(yīng)如何表示？自由邊界的邊界條件應(yīng)如何表示？ 表面的應(yīng)力

8、為表面的應(yīng)力為0 0！X上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF自由邊界自由邊界22在邊界在邊界x0處，處，上行入射波的應(yīng)力：上行入射波的應(yīng)力：)cos( tGEkxfGIII 0FI下行入射波的應(yīng)力：下行入射波的應(yīng)力：)cos( tGFkxfGIIF由由 得到得到IIEF 自由表面的振幅為入射波的兩倍自由表面的振幅為入射波的兩倍23對于對于固定邊界固定邊界，入射波與反射波的，入射波與反射波的合成位移在邊界處為零，因此，反合成位移在邊界處為零，因此，反射波位移應(yīng)當(dāng)與入射波位移大小相射波位移應(yīng)當(dāng)與入射波位移大小相同，符號相反，而反射的應(yīng)力波與同

9、，符號相反，而反射的應(yīng)力波與入射入射應(yīng)力波應(yīng)力波互成互成鏡面映象鏡面映象。因此，。因此，兩個波疊加的結(jié)果使固定邊界處的兩個波疊加的結(jié)果使固定邊界處的應(yīng)力較入射波應(yīng)力大一倍應(yīng)力較入射波應(yīng)力大一倍(圖圖2(a)。對于對于自由邊界自由邊界，情形恰恰相反，滿，情形恰恰相反，滿足應(yīng)力為零的自由邊界條件足應(yīng)力為零的自由邊界條件,相應(yīng)相應(yīng)位位移波形移波形則互為則互為鏡面映象鏡面映象。因此，自。因此，自由邊界處的位移較入射波的位移大由邊界處的位移較入射波的位移大一倍一倍(圖圖2(b)。 在分界面上的反射與透射在分界面上的反射與透射(1) 自由端與固定端的反射自由端與固定端的反射24X一般邊界一般邊界上行入射波

10、上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF上行透射波上行透射波)sin(xktEfTTT一般邊界情形一般邊界情形25 有兩個未知數(shù)，反射波和透射波的振有兩個未知數(shù)，反射波和透射波的振幅，需要兩個邊界條件來定：位移和應(yīng)力幅，需要兩個邊界條件來定：位移和應(yīng)力連續(xù)！連續(xù)！ 注意！注意！上下介質(zhì)不同，因此剛度上下介質(zhì)不同，因此剛度G G和和密度不同，因而波速也不同。密度不同，因而波速也不同。26在邊界在邊界x0處，處，位移連續(xù)：位移連續(xù)：TIIEFE 應(yīng)力連續(xù)：應(yīng)力連續(xù)：TTTIIIEkGFEGk)(由由TTTIIIIEvFEv)(vk/2Gv 27聯(lián)立解得：聯(lián)

11、立解得：ITEE12 IIEF11下下上上vvvvIITT波阻抗波阻抗28物理意義物理意義 當(dāng)波傳到兩個介質(zhì)界面上，一部當(dāng)波傳到兩個介質(zhì)界面上，一部分反射，一部分透射，反射和透射波振分反射，一部分透射，反射和透射波振幅大小與兩介質(zhì)波阻抗有關(guān)，波阻抗越幅大小與兩介質(zhì)波阻抗有關(guān)，波阻抗越大，反射越多，透射越少。大，反射越多，透射越少。 29 上下介質(zhì)相同上下介質(zhì)相同 則：則：FI 0， ET EI 剛性邊界剛性邊界則：則：FI EI1自由邊界自由邊界則：則：FI EI030山頂山頂陡壁或挖方陡壁或挖方填方或盆地填方或盆地沉積土層沉積土層傾斜基巖面或斷層傾斜基巖面或斷層31波在土層中的傳播波在土層中

12、的傳播 1 )1 )單復(fù)蓋層單復(fù)蓋層32HN土土巖巖石石XXNNC,11,NNC波在土層中的傳播波在土層中的傳播 1 )1 )單復(fù)蓋層單復(fù)蓋層33土土巖石巖石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX34土土巖石巖石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX35土土巖石巖石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX)sin(xktFNN36土土巖石巖石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX)sin(xktFNN37 一種求解思路是跟蹤波的行進過程，每次碰到

13、一種求解思路是跟蹤波的行進過程，每次碰到邊界，就計算一次反射和折射，直到無窮多次，幸邊界，就計算一次反射和折射，直到無窮多次，幸好，得到一個無窮級數(shù)是收斂的，可以得到級數(shù)和好，得到一個無窮級數(shù)是收斂的，可以得到級數(shù)和的解。的解。 另一種求解思路是利用上行波和下行波在邊界另一種求解思路是利用上行波和下行波在邊界上上位移和應(yīng)力連續(xù)條件位移和應(yīng)力連續(xù)條件，得到上下介質(zhì)，得到上下介質(zhì)波幅之間的波幅之間的關(guān)系關(guān)系，可直接求解。，可直接求解。 為求解方便，改用復(fù)數(shù)表示為求解方便，改用復(fù)數(shù)表示38土土巖石巖石XikNNeEXxikNNeFXikNNeE11xikNNeF11HN 為求解方便，改用復(fù)數(shù)表示為求

14、解方便，改用復(fù)數(shù)表示39 在土和巖石界面上（埋伏基巖面），有在土和巖石界面上（埋伏基巖面），有4 4個振幅個振幅，只有只有兩個邊界條件兩個邊界條件，所以只能得到兩個振幅與另兩個，所以只能得到兩個振幅與另兩個振幅之間的表示關(guān)系，合理的選擇是土中兩個與巖石振幅之間的表示關(guān)系，合理的選擇是土中兩個與巖石中兩個之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。中兩個之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 注意注意坐標(biāo)系坐標(biāo)系的取法，沒有用一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系，的取法，沒有用一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系，而是每層有自己的坐標(biāo)系，原點在上界面，這是為了而是每層有自己的坐標(biāo)系，原點在上界面，這是為了推導(dǎo)多層介質(zhì)公式方便，用一個坐標(biāo)系的結(jié)果一樣。推導(dǎo)多層介質(zhì)公式方便，用一個坐標(biāo)系

15、的結(jié)果一樣。40 這樣，對土層來說，在巖石界面上，上下行波相這樣，對土層來說，在巖石界面上，上下行波相對于自由表面（坐標(biāo)系原點）都傳播了距離對于自由表面（坐標(biāo)系原點）都傳播了距離H H，表達式，表達式為：為：上行波：上行波：下行波：下行波：NNHikNeENNHikNeF對巖石，在界面上，上下行波的表達式中的對巖石，在界面上，上下行波的表達式中的x x0 0。41在基巖界面上位移連續(xù)在基巖界面上位移連續(xù)11NNHikNHikNFEeFeENNNN在基巖界面上應(yīng)力連續(xù)在基巖界面上應(yīng)力連續(xù))()(1111NNNNHikNHikNNNFECieFeECiNNNN42 解聯(lián)立方程，得到用解聯(lián)立方程，得

16、到用EN FN表示表示EN+1 FN+1的轉(zhuǎn)換關(guān)系，寫成的轉(zhuǎn)換關(guān)系，寫成矩陣形式，引入土與巖石的波矩陣形式，引入土與巖石的波阻抗比：阻抗比：11NNNNNCC43NNHikNHikNHikNHikNNNFEeeeeFENNNNNNNN2121212111或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑篘NNNNFETFE11TN 稱為稱為層間轉(zhuǎn)換矩陣層間轉(zhuǎn)換矩陣44 我們的任務(wù)是用我們的任務(wù)是用EN來求其他來求其他三個波的振幅，需要三個波的振幅，需要補充一個補充一個邊界條件邊界條件，那就是自由表面應(yīng)，那就是自由表面應(yīng)力為力為0的條件，由前面已知，這的條件，由前面已知，這意味著意味著NNFE45NNHikNHikNHikNHi

17、kNNNEEeeeeFENNNNNNNN2121212111NHikNNHikNNEeEeENNNN2121146NNNNHikNHikNNNeeEE21211/1我們感興趣的是自由表面振幅我們感興趣的是自由表面振幅與基巖振幅之比，那是與基巖振幅之比，那是放大倍放大倍數(shù)！數(shù)！ 正是我們想知道的土層對正是我們想知道的土層對地震動的放大影響。地震動的放大影響。47NNNNHikNHikNee212112地表放大倍數(shù)改寫是它的模（絕對放大倍數(shù)改寫是它的模（絕對值），地表振幅是值），地表振幅是EN的的2倍，倍，所以地表振幅的放大倍數(shù)為：所以地表振幅的放大倍數(shù)為：48)/(sin)/(cos2222NN

18、NNNCHCH地表進一步求得進一步求得其中其中HN 是土層厚度，是土層厚度， CN是土是土層波速，還有一個波阻抗比。層波速，還有一個波阻抗比。49)/(sin)/(cos2222NNNNNCHCH地表最大值是最大值是sin取取1，cos為為0，則，則)/4()2/()/(1)/(sin2NNNNNNCHnTnCHCH此時放大倍數(shù)為此時放大倍數(shù)為N/250做出圖像：做出圖像：T24H/c3(4H/c)5(4H/c)地表N/251物理意義豐富：物理意義豐富：1 ) 土層有選擇地放大基巖地震土層有選擇地放大基巖地震 動，好似濾波放大器。動，好似濾波放大器。2 ) 最大放大倍數(shù)對應(yīng)的周期叫最大放大倍數(shù)

19、對應(yīng)的周期叫 卓越周期卓越周期，它與土層厚度成，它與土層厚度成 正比，與波速成反比。正比，與波速成反比。52h1，Vs1，1h2，Vs2，2h3，Vs3，3h4，Vs4，4h5，Vs5，5 Vs6，6地表地表假想假想基巖面基巖面Sa(t)t0人造地震波 對于局部場地條對于局部場地條件較為均勻簡單的情件較為均勻簡單的情況，場地介質(zhì)模型可況，場地介質(zhì)模型可簡化為水平成層模型。簡化為水平成層模型。由于模型參數(shù)與地震由于模型參數(shù)與地震反應(yīng)參數(shù)的空間變化反應(yīng)參數(shù)的空間變化僅取決于一個沿深度僅取決于一個沿深度的坐標(biāo)，故稱其為一的坐標(biāo)，故稱其為一維問題。維問題。土層一維地震反應(yīng)分析方法土層一維地震反應(yīng)分析方

20、法53土層一維地震反應(yīng)分析方法土層一維地震反應(yīng)分析方法設(shè)基巖半空間的位移入射地震波為設(shè)基巖半空間的位移入射地震波為的振幅分別為上行波和下行波和其中nFnE第第n層土體地震波位移的頻域一般解可以表示成層土體地震波位移的頻域一般解可以表示成 )exp()exp()(zikFzikEzUnnnnn)zikexp(E)z(UNNN5455 56美國規(guī)范美國規(guī)范5758 土層反應(yīng)分析的等效線性化方法 591 1、土的非線性特性、土的非線性特性 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 介質(zhì)（材介質(zhì)（材料）受力后變形，變形隨受料）受力后變形，變形隨受力變化的關(guān)系。力變化的關(guān)系。 力學(xué)語言：應(yīng)力應(yīng)變力學(xué)語言：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。關(guān)系。6

21、01 1、土的非線性特性、土的非線性特性 滯回曲線滯回曲線 土一類的介質(zhì)土一類的介質(zhì)（材料）變形時應(yīng)變隨應(yīng)力變化（材料）變形時應(yīng)變隨應(yīng)力變化不成正比（線性）關(guān)系。不成正比（線性）關(guān)系。在應(yīng)力應(yīng)變變化曲線上呈復(fù)雜在應(yīng)力應(yīng)變變化曲線上呈復(fù)雜的曲線，并包容一定的面積。的曲線，并包容一定的面積。6162小應(yīng)變近似線性小應(yīng)變近似線性631 1、土的非線性特性、土的非線性特性 剛度（滯回曲線的斜率）隨剛度（滯回曲線的斜率）隨應(yīng)變變化，比例不是常數(shù)。應(yīng)變變化，比例不是常數(shù)。 與應(yīng)變歷史有關(guān)。與應(yīng)變歷史有關(guān)。 離散性也很大。離散性也很大。 小應(yīng)變下近似線性關(guān)系。小應(yīng)變下近似線性關(guān)系。64MAXGG/1.00.

22、01%土的剪切剛度和阻尼比隨應(yīng)變的變化土的剪切剛度和阻尼比隨應(yīng)變的變化曲線示意圖曲線示意圖652 2、土的非線性處理方法、土的非線性處理方法 2 21 1 直接積分法直接積分法 在知道應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在知道應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（滯回曲線）時，可以嚴(yán)格按（滯回曲線）時，可以嚴(yán)格按照實際本構(gòu)關(guān)系去計算，每一照實際本構(gòu)關(guān)系去計算，每一小段計算時刻，剛度、阻尼在小段計算時刻，剛度、阻尼在變化。實際上都用近似模型。變化。實際上都用近似模型。662 2、土的非線性處理方法、土的非線性處理方法 2 22 2等效線性化分法等效線性化分法 通過一定的原則或要求，選通過一定的原則或要求，選擇一個平均意義上的線性關(guān)系，擇一個平

23、均意義上的線性關(guān)系，實際計算時，對同一土層，就實際計算時，對同一土層，就用一個剛度和阻尼，那么線性用一個剛度和阻尼，那么線性疊加原理成立，付氏分析可用。疊加原理成立，付氏分析可用。67選擇等效滯回曲線的過程是通選擇等效滯回曲線的過程是通過迭代來完成的。過迭代來完成的。首先，通過首先，通過動三軸或共振柱動三軸或共振柱等等實驗設(shè)備，對土樣作室內(nèi)實驗，實驗設(shè)備，對土樣作室內(nèi)實驗，測定土的剪切剛度和阻尼隨應(yīng)測定土的剪切剛度和阻尼隨應(yīng)變的變化關(guān)系。變的變化關(guān)系。68MAXGG/1.00.01%土的剪切剛度和阻尼比隨應(yīng)變的變化土的剪切剛度和阻尼比隨應(yīng)變的變化曲線示意圖曲線示意圖69其次，選擇一個初始的剛度

24、和阻尼其次，選擇一個初始的剛度和阻尼比進行計算，得到每層反應(yīng)，計算比進行計算，得到每層反應(yīng)，計算反應(yīng)中最大剪切應(yīng)變，按經(jīng)驗取最反應(yīng)中最大剪切應(yīng)變，按經(jīng)驗取最大剪切應(yīng)變的大剪切應(yīng)變的0.650.65作為等效剪應(yīng)變，作為等效剪應(yīng)變，在實驗曲線上查得新的剛度和阻尼在實驗曲線上查得新的剛度和阻尼比，如果新的值與原來計算用值小比，如果新的值與原來計算用值小于給定小值（于給定小值（5%5%），則迭代結(jié)束，），則迭代結(jié)束，否則用新的值繼續(xù)計算，直到滿足否則用新的值繼續(xù)計算，直到滿足為止為止. .70MAXGG/1.00.01%1271迭代收斂在非線性問題的等效線迭代收斂在非線性問題的等效線性化處理中常用，并

25、不嚴(yán)格，但性化處理中常用，并不嚴(yán)格，但很實用。關(guān)鍵看結(jié)果是否能在合很實用。關(guān)鍵看結(jié)果是否能在合理的范圍內(nèi)接受。雖然對等效線理的范圍內(nèi)接受。雖然對等效線性化方法提出一些問題，但現(xiàn)在性化方法提出一些問題，但現(xiàn)在還在使用，原因之一是簡單方便，還在使用，原因之一是簡單方便，得到的結(jié)果可以接受。得到的結(jié)果可以接受。72非線性的影響：非線性的影響：1 ) 1 ) 因為大應(yīng)變下剛度減少，因為大應(yīng)變下剛度減少， 土變軟，所以放大倍數(shù)增土變軟，所以放大倍數(shù)增 加。加。73非線性的影響：非線性的影響：1 ) 1 ) 因為大應(yīng)變下剛度減少，土因為大應(yīng)變下剛度減少，土 變軟，所以放大倍數(shù)增加。變軟，所以放大倍數(shù)增加。2 ) 2 ) 由于阻尼比增大，消耗能由于阻尼比增大，消耗能 量，所以放大倍數(shù)減小。量，所以放大倍數(shù)減小。3 ) 3 ) 卓越周期向長周期移動。卓越周期向長周期移動。743 ) 3 ) 基巖輸入地震動時程。（人基巖輸入地震動時程。（人 造地震動時程，實際紀(jì)錄調(diào)整造地震動時程，實際紀(jì)錄調(diào)整 等）等） 注意利