一元二次方程的根的判別式

1、一元二次方程的根的判別式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 知道什么是一元二次方程的根的判別式.2. 會(huì)用判別式判定根的情況.【主體知識歸納】1. 一元二次方程的根的判別式：b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (aO)的根的判別式.通常用符號“”來表示.2. 對于一元二次方程ax2+bx+c= 0 (az0),當(dāng)4 0 時(shí)，方程有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)= 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0,不要丟掉等號.4. 判別式有以下應(yīng)用：(1) 不解方程，判定一元二次方程根的情況；(2) 根據(jù)一元二次方程根的情況，確定方程中未知系數(shù)的取值范圍；(3) 應(yīng)用判別式進(jìn)行有關(guān)的證明.例題精講】例 1 ：不解方程

2、，判別下列方程的根的情況：2(1) 3x 2x 1 = 0;(2)y2= 2y 4;(3) (2k21)x22kx1=0；( 4) 9x2(p7)xp 3= 0解：(1) =( 2) 4x3x( 1 )= 4+ 12 0，原方程有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程就是y 2y+ 4 = 0.T=( 2) 4x1x4 = 4 16v0,二原方程無實(shí)數(shù)根.(3)v2k2+ 1 工 0,二原方程為一元二次方程.又/ =( 2k)2 4 (2k2+ 1)x1 = 4k2 4v0,二原方程無實(shí)數(shù)根.(4)=(p+7)24x9x(p3)=(p11)2+36，v不論p取何實(shí)數(shù)，(p11)2均為非負(fù)數(shù)，(p

3、11)2+ 360, 即卩0,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.說明： (1)運(yùn)用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況時(shí)，要 把不是一般形式的化為一般形式.(2)判別式的應(yīng)用是以方程ax2+bx+c= 0 中 0 為前提條件的， 對于含字母系數(shù)的二次方程要特別注意這一點(diǎn).要判斷含字母(代表實(shí)數(shù))的二次式的正負(fù)等情況，配方是個(gè)有 效的方法，如(4)小題.例 2：已知關(guān)于x的一元二次方程(k 1)x2+ 2kx+k+ 3= 0.k取什 么值時(shí)，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？(3) 方程沒有實(shí)數(shù)根？解：= (2k)24 (k 1) (k+ 3)= 8k+ 12.(1) 當(dāng)

4、一 8k+ 120,且k 1 工 0, 即卩kv |且k工 1 時(shí)，方程有兩個(gè) 不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 當(dāng)一 8k+ 12= 0,且k1 工 0,即k= |時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí) 數(shù)根；(3) 當(dāng)一 8k+ 12v0,且k1 工 0,即k1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.說明：當(dāng)已知方程為一元二次方程時(shí)，要特別注意隱含的條件：二 次項(xiàng)系數(shù)不等于零.例 3:求證： 不論a、b、c為何值， 關(guān)于x的方程(bx)2 4(ax)(cx)= 0 必有實(shí)數(shù)根.剖析：此題考查運(yùn)用一元二次方程根的判別式的能力，由于所給方 程從形式上不能直接判斷出方程的類型，因此應(yīng)將方程進(jìn)行整理，得-2 23x+ (4a+ 4c 2b)x

5、+b 4ac= 0,顯然是關(guān)于x的一元二次方程，所 以只要證明0 即可.證明：略說明：判斷一代數(shù)式的正、負(fù)時(shí)，通常的方法是將其進(jìn)行恒等變形， 配成完全平方式，再利用其非負(fù)性的特點(diǎn)進(jìn)行證明例 4:如果關(guān)于x的方程x2+ 2x=9沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于y的方程y2+my-2n+ 5 = 0 的根的情況.剖析：要判斷y2+my-2m+ 5= 0 根的情況，只要判斷2=vm- 4( 2m+5) =m+ 8m 20 的取值情況即可.而x2+ 2xm 9= 0 沒有實(shí)數(shù)根， 可得i= 24( 一m 9) = 4m+ 40v0,即mv10,而當(dāng)nv10 時(shí)，吊+8m-20 恒大于零， 所以方程y2+my2m

6、+ 5=0 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.說明：判定2的值用到了1v0 所得的結(jié)論mv10,這種條件和 結(jié)論的相互轉(zhuǎn)化在解綜合性的題目中常常遇到.【同步達(dá)綱練習(xí)】1 .選擇題(1) 關(guān)于x的方程mf+ 4x+ 1 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的 取值范圍是 ( )A.mv4B.m4 且0D.mv4 且0(2) 關(guān)于x的方程kx2+2x1=0 無實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( )D.k= 1B.kv1C.k 4q(5)關(guān)于x的方程mix2 2mx(mH3)= 0 的根的情況是()A .當(dāng)m= 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B .當(dāng) m 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根(6) 設(shè)a、b、c為三角形的三

7、條邊長，那么關(guān)于x的方程b2x2+(b2+c2a2)x+c2= 0 的根的情況是()B .有兩個(gè)不相c的數(shù)值確定(7) 已知a、b、c是厶 ABC 的三條邊長，且關(guān)于x的方程(cb)x2+ 2 (ba)x+(ab)= 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形是C. 1C.不論 m 為何值，方程都沒有實(shí)數(shù)根D.當(dāng)一 1v m 2 時(shí)，試判斷方程根的情況;(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于5,另一個(gè)大于 2,求m的取值范圍.6. (1)k是什么正整數(shù)時(shí)，方程 2x2 10 x+ 5k= 0 有兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根？(2)k是什么負(fù)整數(shù)時(shí)，方程x2 4x+ 2 k= 0 有兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根？(3)k是什么正數(shù)時(shí)，方程(2 +k)x2+ 6kx+4k+1 = 0 有兩個(gè)相 等的實(shí)數(shù)根？7. 已知 ABC 的三邊分別是a、b、c