“APOS理論”指導下的高中數學概念教學

1、“APOS理論”指導下的高中數學概念教學 安徽省六安市教科所 賈 兵（郵編：237009） 安徽省六安中學 陸學政（郵編：237161）（本文系安徽省2009年度教育規(guī)劃課題（JG09284）研究成果）摘要：2009年以來，六安市教科所與六安一中聯(lián)合進行安徽省教育規(guī)劃課題（JG09284）的研究工作，主題是“高中數學新課程教材特點與教學有效性研究”.本文嘗試從理論指導實踐、實踐性反思的角度，力求較為全面、客觀、辯證地剖析APOS理論對高中數學概念教學的指導作用，并試圖引發(fā)進一步的思考與研究.關鍵詞：APOS理論；教學策略；案例；反思概念是思維的基本單位，理解概念是一切數學活動的基礎，概念不清就

2、無法進一步開展其它數學活動.李邦河院士說：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”另外，學生的概念理解和應用水平也是衡量教學質量高低的最重要標準.因此，概念教學在高中數學教學中具有舉足輕重的地位.然而，當前不重視概念教學，概念教學走過場，以解題教學代替概念教學的現(xiàn)象十分普遍.概念教學常常采用“一個定義，幾項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學生提供充分的概括概念本質特征的機會，認為這是浪費時間，不如讓學生多做幾道題目更實惠這些做法嚴重偏離了數學的正軌，必須糾正否則，學生在數學上耗費大量時間、精力，結果可能是對數學的內容、方法和意義知之甚少，“數學育人”終將落空.更令人

3、擔憂的是，有些老師不知如何教概念.基于上述背景，筆者所在課題組對指導概念教學的重要理論APOS理論進行了專題研析，研析分為四個環(huán)節(jié)：一是理解APOS理論的內涵及其背景；二是分析立足APOS理論進行概念教學的策略；三是通過典型案例嘗試APOS理論的具體應用；四是在實踐的基礎上對APOS理論進行再思考.1 APOS理論概述1.1 APOS理論的內涵APOS理論是美國數學家、教育家杜賓斯基于1991年提出的，APOS是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖式）的第一個字母組合而成，該理論認為數學概念的學習需要經歷這四個階段.第一階段“操作階段”.

4、所謂“操作”是指個體對于感知到的對象進行轉換，這個對象實質上是一種外部刺激.“操作”階段應是學生建構概念的起點，目的是為“過程”階段提供感性素材和反省對象，為觀察、聯(lián)想、歸納、概括等活動提供固著點.這里的“操作”應是廣義上的操作，不僅涉及具體的行為（動作）操作，更涉及內隱的思維操作.“操作”能重現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深學生對知識的理解，培養(yǎng)學生的數學探究能力和抽象概括能力.但是，“操作”并非最終目的，不能為操作而操作，操作要始終圍繞數學問題的本質，并及時“數學化”.第二階段“過程階段”.“過程”是指當個體能反思操作時, 受外部驅使的動作逐漸轉換為個體控制的心理活動.當“操作”經過多次重復而被

5、個體熟悉后，對概念的學習就可以不再依賴具體的數學活動，而是在頭腦中實施這個過程.“過程”階段是學生對“操作”的思考，然后經歷思維的內化、壓縮過程，學生能夠在頭腦中對活動進行描述和反思，并形成了從事活動的程序、步驟，可以抽象出概念的特有性質；“過程”階段是學生對感性認識的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關鍵，通常也是概念學習的難點與關鍵.第三階段“對象階段”. 當個體能把概念的形成“過程”作為一個整體進行操作和轉換的時候，這一過程就變成了個體的一種相對獨立的心理“對象”，表現(xiàn)為個體通過前面的抽象，認識到了概念的本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中能夠

6、以此為對象進行新的活動.其中，“精致化”的實質是對數學概念的內涵與外延進行盡量詳細的“深加工”，對“概念要素”進行具體界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細節(jié)把握得更加準確，理解概念的各個方面，獲得概念的某些限制條件等.當概念進入“對象”狀態(tài)時，便呈現(xiàn)為一種靜態(tài)結構關系，成為一個“實體”，易于整體把握性質，這時一個完整的理解才真正成型.“對象”在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用：既是概括的結果，又是新的概括的起點.第四階段“圖式階段”.“圖式”是指與這個概念有關的所有操作、過程和對象以及與這個概念有關的所有知識形成的認知結構或認知框架，其作用和特點就是決

7、定某些刺激是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應.圖式的形成要經歷三個階段：單個圖式、多個圖式、圖式的遷移.單個圖式階段的特點是只注意離散的操作、過程和對象，而把具有類似性質的其它知識點隔離開來；多個圖式階段則是注意了各個圖式中蘊涵的知識點之間的關系和銜接，這時個體就能把這些知識點組成一個整體；到了圖式遷移階段，個體才能徹底搞清楚在上一個階段中提到的相關知識點之間的相互關系，并建構出這些知識點之間的內部結構，形成一個大的圖式.我們認為，對杜賓斯基的“概念學習四階段”要辯證地加以理解.首先，APOS的順序不是一成不變的，例如，對于有些概念的教學也可以按OAPS的順序進行教學.其次，操作階段往往

8、與其它階段有交叉，并貫穿于概念學習的始終，例如，“過程”階段與“操作階段” 并沒有明顯的界限，在“操作”發(fā)生的同時，也進行著“過程”； 作為“對象”的概念，它既操作別的對象，又被高層次的運算來操作；相應的操作是圖式形成的必要基礎，等.最后，四個階段的呈現(xiàn)不是線性的，而是逐層漸進的，圖式的形成往往不能一蹴而就，需要多次APOS的循環(huán)上升，是一種螺旋式的建構過程.也就是說，如果學生對數學概念的理解在某一階段出現(xiàn)問題，這時會回到前一階段，甚至，概念的理解往往也不是一節(jié)課就能完成的，需要在學習中不斷地積累才能實現(xiàn)量變到質變.這也反映了概念學習與教學的復雜性.1.2 建構主義學習理論是APOS理論的依據

9、 建構主義理論最初是由皮亞杰于20世紀50年代提出并不斷得到發(fā)展的，它以認知心理學為思想基礎.我們認為，建構主義學習理論是APOS理論的依據，這是基于對建構主義的知識觀、學生觀、學習觀的理解. 從知識觀的角度，建構主義認為，課本知識只是一種關于各種現(xiàn)象的較為可靠的假設，科學知識包含真理性，但它不是最終的正確答案，只是一種對現(xiàn)實的可能是更正確的理解.這些知識在被個體接受之前，對于個體是毫無意義的，因此不能把知識作為絕對正確的東西強加給學生，讓學生無條件接受，不能用科學家、教師、教科書的權威來壓服學生，知識的接受只能靠學生自己的建構來完成，只能以學生自己的經驗、信念為背景來分析知識的合理性.學生的

10、學習不僅是對新知識的理解，而且也是對新知識的分析、檢驗和批判，知識的應用也不是簡單的套用，而是一種創(chuàng)造性組合，需要根據具體情境進行選擇、變化. 從學生觀的角度，建構主義強調學生是積極主動的知識建構者的地位，要求學生在一種復雜而真實的情境中（當然，這種情境應該是處于最近發(fā)展區(qū)的），在教師適度的幫助下，采取富有個性的認知加工策略，形成自己對知識的獨立理解.在學習中，學生要努力學會一些自我控制的技能和習慣，發(fā)展自我控制學習過程的能力.從學習觀的角度，建構主義認為，學習是學習者主動地建構內部心理表征的過程，強調在具體情境中形成的具體經驗背景的作用（當然，不能走極端，不能否定或弱化抽象概括在概念學習中的

11、重要作用），以及對已有知識經驗的改造和重組；強調學習者已有發(fā)展水平（包括認知的與非認知的）是學習的決定因素，學習的結果是圍繞關鍵概念而建構起來的網絡結構的知識.不難看出，APOS理論的實質與建構主義是一脈相承的，它將概念的學習過程進一步透明化，指出學生對于概念的掌握，就是經過操作、活動、對象, 最后發(fā)展為穩(wěn)定、主題化的圖式.同時，APOS理論將學生學習概念的過程作了層次化處理，明確了概念的學習是從具體的操作行為逐層漸進地發(fā)展成抽象的心理結構.2 APOS理論指導下的概念教學策略 基于對APOS理論的理解，結合數學概念學習的一般規(guī)律，我們分別提出每個階段的教學策略，作為以APOS理論為指導實施概

12、念教學的具體建議.2.1操作階段多元表征，體驗感悟教師要結合學生的數學思維特點，創(chuàng)造性地使用教材，設計恰當的數學活動，創(chuàng)設合理的問題情境，指導學生親自參與操作活動，在活動中體驗，在操作中感悟，為真正理解概念積累經驗.教師要善于以舊引新，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的原則，有目的、有計劃地提供適當的感性材料，材料既要能反映概念的本質，又要在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內，找準知識的生長點，保證材料的適度性、典型性、有效性和針對性，盡可能地激發(fā)學生參與活動的意愿，給予學生充分表達自己看法的機會，力求在學生自主思考、自由交流以及相互之間觀點的交鋒中，撞擊出思維的火花.2.2 過程階段問題驅動，抽象概括教師

13、要設計富有啟發(fā)性、探索性、層進性的問題驅動學生對“操作”自覺地思考，嘗試抽象、概括、一般化，引導學生的思維不斷深入.“過程”中的感悟比“操作”中的體驗更重要，“過程”中隱性的思維比顯性的“操作”更重要.教師要留給學生充裕的時間進行思考，保證學生真正意義上的參與.教師要對學生可能出現(xiàn)的課堂生成或思維障礙有充分的預判，并及時有效地進行反饋調節(jié).需要特別強調的是，“問題串”的設計是否符合學生的思維特點，是否起到“腳手架”的作用，是“過程階段”成敗的關鍵.另外，抽象概括出概念關鍵屬性的過程必須是教師引導下的學生自主行為，教師絕不能包辦代替，也不能以“偽探究”的形式走過場.2.3 對象階段總結提煉，適時

14、辨析教師要引導學生對“過程”階段得出的概念的各種屬性及時進行總結提煉，使概念的本質屬性成為一個整體，從而得到概念的嚴格定義，并進行符號化表示.教師要啟發(fā)學生用自己的語言來表述相關屬性，注意自然語言、圖形語言、符號語言的有機結合與適時轉化.在對概念下定義以后，教師應該對概念定義中的關鍵詞進行辨析，讓學生明白無誤地理解每一個關鍵詞的含義，要求學生能正確敘述定義，并能舉出符合定義的實例，這兩者的結合是防止學生死記硬背、克服形式主義教學的有效措施.2.4 圖式階段變式建構，多元聯(lián)系教師要充分發(fā)揮傳統(tǒng)變式教學的優(yōu)勢，把交織著的概念的本質屬性和非本質屬性分離開.同時，用開放性問題、實際情境性問題、學生自己

15、舉反例、作概念圖表等多種方式，多渠道、多角度地豐富學生對“對象”的理解，幫助學生的認識上升到“圖式”的層次.要做到“瞻前顧后”，注重概念的前后聯(lián)系，注重在概念體系中學習概念，以促使學生形成良好的認知結構，正如布魯納所說：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識，一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”“多元聯(lián)系表示”是理解和掌握概念的金鑰匙.3 APOS理論指導概念教學的實踐理論研析的最終目的是指導實踐，為此，我們選取了近十個高中數學的核心概念教學課題，布置課題組成員進行以APOS理論為指導的教學分析，并進行上課實踐，每個課題都經歷了個人備課、集體磨課、

16、成員上課、評課反思等環(huán)節(jié)（有的課題還多次經歷上述環(huán)節(jié)），以獲取第一手材料.以下列舉其中的兩個典型案例加以說明.3.1 APOS理論指導下的“排列”教學（安徽省2008年教壇新星評選參賽課題） “操作階段”：教師在簡單引入之后，提出如下問題：問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別擔任班長、團支書，有多少種不同的方案？學生動手操作，然后回答.由于該問題比較簡單，學生可能出現(xiàn)利用樹形圖法、枚舉法、分步計數原理等得出解答，教師小結每種方法的優(yōu)點，有意識地追問利用分步計數原理的思考過程，并加以提煉，得到：班長、團支書分別相當于位置1、位置2，位置1有種選法，相應地，位置2有種選法，不同方案數為.問題

17、2：數字、可以組成多少個無重復數字的三位數？學生操作這個相對復雜的問題，教師讓學生比較不同方法的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)樹形圖法、枚舉法由于情況較多，有點困難，而利用分步計數原理相對簡單，類似問題1，得到：無重復數字的三位數個數為.問題3：8名同學排成一隊照相，有多少種不同的排隊方法？學生在解決該問題的過程中，更加體會到利用分步計數原理的優(yōu)越性，得到：不同方法數為.這里，學生的動手操作、思考比較，為下個階段的反思提煉奠定了基礎.“過程階段”：問題4：上述3個問題，具體的研究對象和任務都是不同的.從問題類型上看，它們有沒有共同之處？學生反思3個問題的類型，將“3人中選2人”、“5個數中選3個”、“8人全選”抽

18、象概括為“從個不同元素中取出（）個”，將“分別擔任兩個職務”、“組成三位數”、“排成一隊” 抽象概括為“選出的元素要排順序”.所以，共同之處是“先?。ㄔ兀┖笈牛樞颍?問題5：從問題的解決方法上看，它們有沒有共同之處？學生不難得出，雖然樹形圖、枚舉法都是可行的，但從簡便的角度看，利用分步計數原理更為合理，更具有一般性.至此，“排列”概念的本質屬性得以凸顯，推導排列數公式的思想方法得以生根.“對象階段”：問題6：這種“先取后排”的問題就是今天要學習的問題：排列.你能敘述排列的定義嗎？學生嘗試給排列下定義，教師適時糾正、補充，板書定義.問題7：排列的主要特征有哪些？兩個排列相同的條件是什么？進

19、一步引導學生鞏固概念，抓住概念中的關鍵詞.得出：排列的主要特征是元素的互異性與有序性；兩個排列相同的條件是：元素相同，元素的順序也相同.問題8：從個不同元素中取出（）個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，記作，排列與排列數是“個體”與“數量”的關系.那么，排列數的計算公式是什么呢？教師引導學生回顧前面三個實例中的求解方法與步驟，緊扣分步計數原理，由簡單到復雜，由特殊到一般，層層推進，得出公式.進而分析公式的結構特征，明確公式的作用（即：對于排列問題，可直接利用公式求出排列的個數）.至此，學生對排列的概念有了初步的認識（明確了定義，會將排列數用符號表示，并推導出計算排列數

20、的公式）.“圖式階段”：問題9：判斷下列問題是否為排列問題？若是，求出排列數.（1）從，中任取兩個不同數相乘，可得到多少個不同的結果？（2）從，中任取兩個不同數相除，可得到多少個不同的結果？（3）有個車站，共需準備多少種車票？（4）封信投入個郵筒，有多少種不同的投法？（5）封信投入個郵筒，每個郵筒至多投一封，有多少種不同的投法？師生共同討論，能將排列問題與其它問題區(qū)分開來，深化對排列概念的理解，同時訓練學生計算排列數的技能.問題10：為了簡便，以后我們將稱為的階乘，記作.如何將排列數用階乘表示？教師引導學生利用配湊因子，將排列數公式化為階乘的形式，并讓學生思考的必要性與合理性.問題11：利用排

21、列概念解題與利用分步計數原理解題，二者之間有何聯(lián)系與區(qū)別？此處旨在加強排列概念與已學知識的聯(lián)系性，讓學生明確：任何一個排列問題都可以納入到分步計數問題中去，它是分步計數問題的特殊情況，但分步計數問題不一定是排列問題.當一個分步計數問題特殊為一個排列問題時，就可以整體考慮，利用排列數公式簡化計算.至此，學生的認知結構得到了充實與優(yōu)化，形成了一個大的、新的圖式.3.2 APOS理論指導下的“周期性”教學（安徽省2008年特級教師評選參賽課題）“操作階段”：首先引導學生列舉生活中的一些“周期性”現(xiàn)象，如潮汐現(xiàn)象等；然后分別畫出單位圓中角的正弦線、余弦線，觀察隨著角的終邊繞原點旋轉，正弦線、余弦線的變

22、化規(guī)律；再分別畫出正弦函數、余弦函數的圖像，觀察圖像的變化規(guī)律，從不同的角度體會“周而復始”特征，最后學生嘗試用自然語言描述這種特征.“過程階段”：將直觀體驗上升到理性認識，將自然語言轉化為數學語言，深化對“周而復始”的數學本質的理解.以正弦為例，可以設置如下問題：問題1：你能從哪個公式反映出正弦值隨自變量的這種“周而復始”的變化規(guī)律？引導學生回憶誘導公式：，由形到數.問題2：正弦函數為，請將上述關系寫成的形式.突出函數值隨自變量的“周而復始”，同時向一般性周期函數的定義式靠攏.問題3：在上述關系式中，（或）的取值是定義域內的某一個（某些）值，還是任意值？旨在強調這是一個“恒等式”，對定義域內

23、任一自變量值都成立.“對象階段”：教師首先指出：在數學上，為了定量地刻畫這種“周而復始”的變化規(guī)律，將符合上述特征的函數稱為周期函數.然后對于一般的函數，讓學生用數學語言描述在什么條件下，函數為周期函數，進而給出周期函數與周期的定義.最后通過問題串對概念進行辨析：問題4：正弦函數、余弦函數是周期函數嗎？為什么？哪些數都是它們的周期？（順便說明最小正周期的含義）問題5：對于，當，時，計算與是否恒等？是否為函數的一個周期？為什么？旨在強調恒等式必須對定義域中每個都成立，缺一不可.問題6：對于，當時，計算與是否恒等？是否為函數的一個周期？是否為正周期？學生可能認為就是的最小正周期.教師可以讓學生利用

24、“五點法”畫出函數的圖象，由圖像可以得出雖然是周期，但最小正周期是，引起矛盾沖突.然后引導學生回到定義：若設，則并不是，而是，因此，無論從圖像上，還是從定義上，的最小正周期都應該是，而不是.這樣，數與形的矛盾得以解決，加深了學生對的理解：這里的非零常數應該是自變量“本身”的變化量.“圖式階段”：學生練習用定義求函數的最小正周期，特別是對于類似于的函數，學生容易出錯.可以緊扣定義，強調將解析式寫成的形式，這樣，即為，因此，最小正周期是.接著引導學生將其一般化，推導出函數與的周期計算公式. （說明：本節(jié)課主要是以正余弦函數為載體學習周期函數，由于周期函數并不局限于正余弦函數，因此周期函數概念的圖式

25、不是一節(jié)課就能完成的，在隨后的學習中，可以逐漸深入，并加強與其它知識的聯(lián)系.如周期函數定義域的要求，“取整函數”是否為周期函數，常數函數（為常數）是否為周期函數，周期性與奇偶性、單調性、最值、圖像的結合等，這需要一個循序漸進的過程.）4 對APOS理論指導概念教學的思考在上述理解與實踐的基礎上，我們對APOS理論指導高中數學概念教學提出如下觀點：4.1 APOS理論揭示了數學概念，特別是核心概念學習的本質APOS理論對數學學習概念過程中學生的思維活動進行了深入的研究，正確揭示了數學概念學習活動的特殊性，提出學生學習概念要經過“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”4個階段，反映了學生學習數學概念

26、過程中真實的思維活動，對數學概念，特別是核心概念的教與學具有很強的指導作用.4.2 APOS理論也可用于指導定理（公式）教學數學定理是從公理或已有定理推演而得出的命題，公式是特殊的定理.數學定理（公式）的學習，是一個正確建立數學概念之間關系的過程，因此一般比數學概念的學習要復雜些，但教學過程是類似的.數學定理（公式）的教學，同樣強調其產生背景，要讓學生經歷從定理（公式）的背景中發(fā)現(xiàn)題設與題斷之間的聯(lián)系、提出猜想、探究證明而獲得結論的過程，要重視定理（公式）的推導與辨析，要通過應用加深對定理（公式）的理解，要注意定理（公式）教學的系統(tǒng)性與聯(lián)系性.由此可見，APOS理論對于定理（公式）的教學也具有

27、一定的指導意義.4.3 APOS理論思想實質的靈活運用遠大于四個階段的機械劃分 在運用APOS理論指導概念教學時，不能拘泥于四個學習階段的劃分，而應重在領會其思想實質，并加以合理運用，提高概念教學的有效性.APOS理論的最大貢獻在于將數學教學的一般原則與概念教學的特殊性有機地結合起來，并充分融入了學生內在的心理特征和認知規(guī)律.數學教學要處理好學生主體與教師主導、教材的知識結構與學生的認知結構、直接經驗與間接經驗、接受與探究、螺旋上升與結構化、過程與結果等關系，要注意嚴謹性與量力性、抽象性與具體性、鞏固性與發(fā)展性相結合，而概念教學要求既注重過程，又注重聯(lián)系，要考察概念的來龍去脈，將概念放到相應的

28、概念體系中去學習，概念課的主旋律是讓學生參與概念本質特征的概括活動，這是使概念課生動活潑、優(yōu)質高效的關鍵.這些都反映了APOS理論的思想實質，在具體教學時要靈活運用.以2006年安徽省優(yōu)質課比賽課題“平面向量的實際背景及基本概念”的教學為例，本節(jié)課概念很多，看似也不難理解，但往往課堂氣氛沉悶，教與學都很乏味.根據APOS理論，改善教學的關鍵是要讓學生充分參與到概念的形成過程中去，學生自己舉例子、講理由、提問題、談想法，以盡可能激發(fā)學生學習的內在熱情.例如，相等向量、平行向量、共線向量概念的形成，若由教師“告知概念，提醒注意，鞏固練習”，效果便會大打折扣；若讓學生先觀察教材中的正六邊形圖，給圖中

29、的一些線段加上箭頭表示向量，并說說所標注的向量之間的關系，然后組織學生交流討論：你畫了哪幾個向量？你認為它們之間有何關系？如何區(qū)分？等，最后教師總結歸納，并與物理中的矢量作比較，深化對向量概念的理解.本節(jié)課的教學，很難清晰地將其劃分為四個階段，也沒有必要.可以說每個教學環(huán)節(jié)都蘊含了四個小的階段，整節(jié)課是一個不斷循環(huán)、逐漸豐滿的過程，處處滲透了APOS理論的思想實質.因此，我們有理由認為，淡化形式，抓住本質，才是對APOS理論的正確理解與運用.4.4 “圖式”是實際教學中易忽視的環(huán)節(jié)調查發(fā)現(xiàn)，在APOS理論的四個階段中，很少有學生能真正地完成“圖式階段”，原因也是錯綜復雜的.首先，對于很多抽象程

30、度強的數學概念，特別是一些對學生來講全新的數學概念，學生對概念本身的接受和理解就會感到困難，有時即使能找到它與學生原有認識結構中其他知識結點的聯(lián)系，也常常會因為對概念本身理解程度的淺顯而使得這種聯(lián)系蒼白無力，這種聯(lián)系會因為理解的欠缺而很快消失，這些建構起來的概念也特別容易遺忘.其次，“圖式階段”往往是一個不由自主的過程，因此就不可避免地出現(xiàn)隨意性，學生的學習態(tài)度、知識基礎、智力水平、學習習慣、個性品質等都對“圖式”的完成產生影響，若學生在某些方面有所欠缺，就對“圖式階段”的完成產構成阻礙.最后，課堂教學往往以一節(jié)課為基本單位，而“圖式”幾乎不可能在一節(jié)課內就真正完成，需要不斷地、反復地深化理解、拓展聯(lián)系才能達到，教師由于時間、水平、主觀認識等限制，很難自始至終地、細致入微地、高效地引導學生完成“圖式”.因此，相對于“操作”、“過程”越來越受到重視，“圖式”是實際教學中很容易被忽視的環(huán)節(jié)，這也導致了“圖式階段”的長期性、復雜性與艱巨性，應引起廣大教師高度的重視.教師在教學中要充分發(fā)揮主導作用，盡可能地幫助學生建立概念聯(lián)系，構建概念體系，引導學生多總結，多歸納，多聯(lián)想，多應用，加強學法指導，以實現(xiàn)認知結構的不斷優(yōu)化，而不能過于依賴學生的主動建構.4.5 APOS理論呼喚高素質的數學教師能否科學地運用APOS理論，取決于眾多因素，最主要的有兩條.一是教師的敬業(yè)精神與專業(yè)態(tài)度.A