新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、新人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為 20(a0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：20時(shí)，應(yīng)滿足（a0）21.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法： 用直接開(kāi)

2、平方法解形如()2 (n0)的方程，其解為± m. 直接開(kāi)平方法就是平方的逆運(yùn)算.通常用根號(hào)表示其運(yùn)算結(jié)果.2、配方法通過(guò)配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。1.轉(zhuǎn)化： 將此一元二次方程化為20的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系數(shù)化1： 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 3.移項(xiàng)： 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè) 4.配方： 等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 5.變形： 將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式 6.開(kāi)方： 左右同時(shí)開(kāi)平方 7.求解： 整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后

3、計(jì)算判別式2-4的值，當(dāng)b2-40時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式(b2-40)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決如果未知數(shù)出

4、現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等第二十二章 二次函數(shù)22.1二次函數(shù)及其圖像 二次函數(shù)（ ）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為2(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式2(a0、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2a，(b2-4)/4a) ； 頂點(diǎn)式()2(a0、h、k為常數(shù))或()(a0、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)的圖像相同，

5、有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式； 交點(diǎn)式(1)(2) 僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 重要概念：a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開(kāi)口大小的絕對(duì)值越大開(kāi)口就越小的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大。 y在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)2的平方的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。 不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。 x軸對(duì)稱1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = 2a。 對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂

6、點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線0） 頂點(diǎn)2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( 2a ，42)/4a ) 當(dāng)2a0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)= b2-4=0時(shí)，P在x軸上。 開(kāi)口3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。 越大，則拋物線的開(kāi)口越小。 決定對(duì)稱軸位置的因素4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即0），對(duì)稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是- 2a<0,所以2a要大于0，所以a、b要同號(hào) 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即0），對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于

7、0，也就是- 2a>0, 所以2a要小于0，所以a、b要異號(hào) 可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí) 即 0 ），對(duì)稱軸在y軸右。 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于（0，c） 拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) = b2-40時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 = b2-4=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 = b2-40時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在

8、 2a處取得最小值,當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在 2a處取得最大值當(dāng)0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，7.特殊值的形式 當(dāng)時(shí) 當(dāng)1時(shí) 當(dāng)2時(shí) 4a2 當(dāng)2時(shí) 4a2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.

9、1 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角

10、度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。 3. 幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）在理解旋轉(zhuǎn)特征時(shí)，首先要對(duì)照?qǐng)D形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角。（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2 中心對(duì)稱 中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)

11、稱。 中心對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形是全等形。中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì) 靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)圖案設(shè)計(jì)就是通過(guò)圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不僅要看是否正確

12、使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現(xiàn)了設(shè)計(jì)意圖第二十四章 圓 24.1 圓 定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。 （3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑

13、和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一2r或二分之d。 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。 圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，3.14。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中

14、，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。 周長(zhǎng)計(jì)算公式 1.、已知直徑：d 2、已知半徑：2r 3、已知周長(zhǎng)： 4、圓周長(zhǎng)的一半:12周長(zhǎng)(曲線) 5、半圓的長(zhǎng)：12周長(zhǎng)+直徑 面積計(jì)算公式： 1、已知半徑：r平方 2、已知直徑：（d2）平方 3、已知周長(zhǎng)：(c2)平方24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系 1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于

15、半徑 點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 2. 過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。 5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 直線和O相交； 直線和O相切； 直線和O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒(méi)有

16、公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離 d 兩圓外切 兩圓相交 <d<(R>r) 兩圓內(nèi)切 (R>r)兩圓內(nèi)含 d<(R>r)24.3 正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正

17、多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。知識(shí)講解1、正多邊形定

18、義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟?，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因?yàn)?，它只具有各邊相等，而各角不一定相等?、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則。

19、 觀察A、B、C、D、E、F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，ABCDEF。所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距，正多邊形的中心角n，正多邊形的邊長(zhǎng)。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。 如圖：是一個(gè)正n邊形根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析的基本元素：斜邊正n邊形的半徑；一條直角邊

20、正n邊形的邊心距；一條直角邊正n邊形的邊長(zhǎng)的一半即；銳角正n邊形的中心角n的一半即；銳角正n邊形內(nèi)角的一半即(n2)·180°；可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。正四、八邊形。在O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的

21、直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是O的6等分點(diǎn)。 顯然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把O12等分。5、正多邊形的對(duì)稱性。正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又

22、是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積 知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。 知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n

23、6;的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。 知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)（3）弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形的面積和的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，  當(dāng)弓形所

24、含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。 圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開(kāi)

25、圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程 由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如繞直線旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形繞直線旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法 第二十五章 概率初步 25.1 隨機(jī)事件與概率 1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)： (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； · (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能

26、的結(jié)果； (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作 2隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某 種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件 3頻率與概率的定義 (1) 頻率的定義 設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即 . (2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<

27、;<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即 (3) 古典概率的定義 具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型： (i) 試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作; () 在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即 在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為 (4)幾何概率的定義 如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件的概率為· 25.2 用列舉法求概率 1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事

28、件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)目.3、利用列表法或樹(shù)形圖法求概率的關(guān)鍵是：注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；其中某一事件發(fā)生的概率；在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；4、用列表法或樹(shù)形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。25.3 用頻率估計(jì)概率 在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨

29、機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

30、在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。第二十六章 反比例函數(shù)26.1知識(shí)點(diǎn)1 反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：（），（），（定值）（）；函數(shù)（）與（）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)，x也是y的反比例函數(shù)。（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)0

31、時(shí)，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.2知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.3知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例的畫法分三個(gè)步驟：列表；描點(diǎn)

32、；連線。再作反比例函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：列表時(shí)選取的數(shù)值宜對(duì)稱選取；列表時(shí)選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；連線時(shí)，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；畫圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。26.4知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：反比例函數(shù)（）的符號(hào)圖像性質(zhì)的取值范圍是，y的取值范圍是當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。的取值范圍是，y的取值范圍是當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

33、注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”否則，籠統(tǒng)地說(shuō)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。如在第一、第三象限，則可知。反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)k的絕對(duì)值的幾何意義。如圖所示，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則 反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；越小，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。 雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線和直線x。第二十七章相

34、似 271 圖形的相似 概述如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：） 判定如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。 相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。 性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等 3.三邊對(duì)應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 例題A' B' 

35、0;    A'B'C' 性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，

36、不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。 根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)； 3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 281 銳角三角函數(shù) 銳角角A的正弦（）,余弦（）和正切（）,余

37、切（）以及正割（），（余割）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（）等于對(duì)邊比斜邊， 余弦（）等于鄰邊比斜邊 正切（）等于對(duì)邊比鄰邊； 直角三角形中, 角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對(duì)邊比鄰邊, 282 解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） a222, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 ABCD直角三角形的特征直角三角形兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在中，若C90°，則a222；ABCacb勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這