概率統(tǒng)計：第一章 隨機事件的概率(第三,四節(jié))

1、第一章 隨機事件的概率第三節(jié) 條件概率與乘法公式一、 條件概率的概念在實際問題中，除了要知道事件的概率外，有時還需要知道在“事件已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件發(fā)生的概率。一般地說，這兩種概率未必相同。為了區(qū)別起見，我們把后者叫做條件概率，記為，讀作：在條件下事件的概率。為了合理地給出條件概率的定義，首先考察一個具體例子。例1 設(shè)有某種產(chǎn)品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一級品，10件是二級品。在50件產(chǎn)品中任意取1件（設(shè)每件產(chǎn)品以同等可能被取到）。試求（1） 取得的是一級品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一級品的概率。解：令“取得的產(chǎn)品是一級品”,“取得的產(chǎn)品是合格

2、品”。（1） 由于50件產(chǎn)品中有30件一級品，因此，按古典概率定義得 ;（2） 因為40件合格品中，一級品恰好有30件，故 ,可見 .一般地，條件概率應(yīng)該怎樣定義呢？我們從分析上面的例1著手，先計算與。由于50件產(chǎn)品中有40件合格品，故 ;因表示“取得的產(chǎn)品是合格品并且是一級品”。而50件產(chǎn)品中只有30件既是合格品又是一級品，故,通過簡單的運算可得 ,由上式的啟發(fā)，我們定義條件概率如下：定義7 設(shè)為試驗的兩個事件，且,則稱 , (1.6)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。條件概率也具有一般概率的性質(zhì)。當(dāng)時有：(1) 對任意事件, ；(2) 若互不相容，則 ;，(3) 對任意事件,事實上

3、 ,等等，這里不一一列舉。記，（），則也是定義在上的一個概率測度函數(shù)（與有關(guān)）。也是一個概率空間。例2 10件產(chǎn)品中有6件正品，4件次品。從中任取4件，求至少取到1件次品時，取到的次品不多于2件的概率。解：設(shè) “取到的次品不多于2件”,“至少取到1件次品”,“恰好取到件次品”， ;則所求概率為,而, ,事件表示所取4件產(chǎn)品中恰好有1件次品或恰好有2件次品，即有,且,故由概率的有限可加性及概率的古典定義得 ,于是，所求概率 .二、 乘法公式 由條件概率的定義得若,由,得,() (1.7)若,由,得,() (1.8)上述式(1.7)和式(1.8)均稱為乘法公式。它在概率的計算中有重要作用。 乘法公

4、式可推廣到任意有限多個事件的情形,即當(dāng)時,有 , (1.9)事實上，（證畢）還成立如下形式的乘法公式： ，。例3 袋中有5個白球和4個紅球。從中作不放回抽取兩次，每次任取一個球。試求：（1） 取到兩個白球的概率；（2） 取到兩種顏色球的概率。解：令“取到兩個白球”,“取到兩種顏色球”,“第次取到白球”，（1） 因為，故由乘法公式得 ,(或直接求)（2） 由于，且與互不相容，故由概率性質(zhì)及乘法公式得 .(或直接做,或 )例4 已知，,求和解：由,得, , ,(或 ) .例 設(shè),試證 .證明 由,得 ,于是 . 第四節(jié) 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式是概率論中的兩個基本公式，在概率計

5、算和理論推導(dǎo)中起著重要作用。一、 全概率公式定理一 設(shè)事件組滿足：（1）；（2）互不相容；（3），則對任意事件，恒有, (1.10)式（1.10）稱為全概率公式。證：,由互不相容知亦互不相容，故由概率的有限可加性及乘法公式得 .從形式上看，全概率公式似乎把問題復(fù)雜化了，其實不然。在實際中，當(dāng)事件比較復(fù)雜不容易計算其概率時，如果和都比較容易計算，那么，應(yīng)用全概率公式就容易把計算出來。運用全概率公式的關(guān)鍵往往在于找到滿足定理中條件的事件組。一般地說，事件組是可能導(dǎo)致事件發(fā)生的全部“原因”。注:（1）定理一中的條件可減弱為;（2）事件組可以是可列無窮多個事件: .定理一設(shè)事件組滿足：（1）；（2）互

6、不相容；（3），則對任意事件，恒有, (1.10) 式（1.10）稱為全概率公式。例1 某廠用三臺機床生產(chǎn)了同樣規(guī)格的一批產(chǎn)品,各臺機床的產(chǎn)量分別占60%,30%,10%,次品率依次為4%,3%,7%.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機地取一件,試求取到次品的概率.解 令“取得次品”,“取到第臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品”,;顯然, 事件組是可能導(dǎo)致事件發(fā)生的全部“原因. ,且互不相容. , ,又已知,故由全概率公式得 .例2 設(shè)某昆蟲產(chǎn)個卵的概率為,(為常數(shù)),.每個卵能孵化成幼蟲的概率為,且各個卵能否孵化成幼蟲是相互獨立的,求該昆蟲有后代的概率.解 設(shè)該昆蟲有后代, 該昆蟲產(chǎn)個卵, ,易知,事件組滿足定理一的條件,

7、,該昆蟲沒有后代每個卵都沒孵化成幼蟲,由全概率公式得 ,從而 .（這里用到了公式： ）(有人這樣作, .兩種結(jié)果不一樣，誰對誰錯,錯在哪里？是要求該昆蟲產(chǎn)的個卵都孵化幼蟲了, 其實該昆蟲產(chǎn)的個卵中至少有一個孵化幼蟲就能使該昆蟲有后代, ，正確的應(yīng)該是, .)二、 貝葉斯(Bayes)公式上例1的另一方面的問題是:假設(shè)“取得一件產(chǎn)品是次品”這一事件已經(jīng)發(fā)生了,問這件次品是第臺機床生產(chǎn)的概率多大？即求 , . 由上例知,故由條件概率定義、乘法公式及全概率公式得 , ; 由于上式右端各項概率都是已知的,因此概率也就可求得.把上述計算條件概率的方法一般化便得到所謂的貝葉斯公式.定理二 設(shè)事件組滿足：（1）；（2）互不相容；（3），則對任意事件，有 , , (1.11) 式(1.11)稱為貝葉斯公式.例3 根據(jù)以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果:以表示“試驗反應(yīng)為陽性”,表示“被診