SARS傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

1、SARS傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)教師：張勇參賽者：張 鑫 王永恒 喬 磊SARS傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型摘要 本文首先分析評價了附件1中SARS傳播的數(shù)學(xué)模型，指出該模型可以對疫情走勢進行預(yù)測,但同時也存在一定缺點，第一，混淆了累計病例數(shù)與累計確診人數(shù)的概念；第二，對參數(shù)的確定缺乏根據(jù)；第三，預(yù)測時借助了其他地區(qū)的參數(shù)，偏差較大.本文針對其缺點建立了一個比較完善的傳播模型. 該傳播模型按政府開始控制的時刻分為控制前與控制后兩個模型，兩個模型均以潛伏期5天為周期，以一個周期為整體建立差分方程模型. 再結(jié)合5月15日以前北京疫情的公開數(shù)據(jù)，配合不同的政府監(jiān)控力度，對整個北京的SARS疫情狀況進行了預(yù)測.預(yù)

2、計政府的監(jiān)控力度一直保持在5月10日5月15日的水平上時，6月10日6月15日北京將會無新增病例，最后累積病例數(shù)為2993.對衛(wèi)生部門采取的措施進行了評價：若提前或延后5天采取嚴格的隔離措施最后累計病例數(shù)分別為1300多與5200左右.進一步通過對人群的不同分類，建立了兩個微分方程組，可分別預(yù)測出實際發(fā)病人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)與當天疑似病例數(shù)、累計確診人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)及治愈、死亡人數(shù)，結(jié)合兩者的信息就可以得到足夠的信息量.但模型中的部分參數(shù)無法確定給模型求解帶來困難.可以通過搜集更多的數(shù)據(jù)和資料加以解決.本文同時就外國來京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立了模型，估算出4、5、6

3、、7四個月中北京地區(qū)入境旅游人數(shù)比往年同期減少了94.8萬人，旅游經(jīng)濟損在4.74億美元至9.48億美元之間.并預(yù)測出在2003年10月上旬，旅游人數(shù)將恢復(fù)到正常水平.最后給報紙寫了一篇短文，說明了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的必要性與重要性.一、問題的提出公元2003年春天，一種叫SARS的病毒從天而降，降到人類賴以生存的星球，降到中國人的頭上.SARS究竟是什么，它為什么會代給人類這么多的傷痛與如此難以“磨滅”的印象？SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病.SARS的爆發(fā)和蔓延給

4、我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn)，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性.現(xiàn)需對SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性.（2）建立自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計.附件2提供的數(shù)據(jù)供參考.（3）收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)

5、學(xué)模型并進行預(yù)測.附件3提供的數(shù)據(jù)供參考.（4）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛模f明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.二、對附件1模型的評價該模型以某種社會環(huán)境下一個病人傳染他人的平均概率K為參數(shù)，考慮了平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限L，建立了病例累積數(shù)N與時間t的函數(shù)關(guān)系.由于病毒的傳播與很多因素有關(guān)，且多不易確定，所以給定量研究SARS的傳播規(guī)律帶來了困難.因此模型也不易完善，所以該模型在存在其合理性與實用性的同時也存在不合理性與不實用性. (一) 合理性1. 該模型考慮了平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限L. 鑒于SARS傳染性的強大威力，帶病毒者在外自由的時間長短對疫情

6、會有很大影響.據(jù)中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所提供的調(diào)查研究數(shù)據(jù)（1），SARS病人在1.5天后住院與在2天后住院后相比，SARS發(fā)病總?cè)藬?shù)可能會減少1500人，SARS疫情得到控制的時間可能會提前1個月；SARS病人在1.5天后住院與在2.5天后住院后相比，SARS發(fā)病總?cè)藬?shù)可能會減少2400人，SARS疫情得到控制的時間可能會提前1.5個月.由此可見對L的描述是很關(guān)鍵的.2. 對前期描述的合理性由于前期傳染源未受控制，所以累積病例數(shù)是成指數(shù)上升的.該模型對這段時期的描述是合理的. (二) 實用性 該模型簡單，機理清楚，算法簡單快捷，且對廣東香港地區(qū)的擬和效果較好.(三) 不合理性1. 將累積病例

7、數(shù)與確診病例數(shù)的概念混淆.該模型在進行參數(shù)的擬和時，一直采用的時公布的累積病例數(shù)，但它所描述的推得的結(jié)果是累積病例數(shù)，而累積病例數(shù)是包括了已知的病例數(shù)與未知的病例數(shù)的. 2. 預(yù)測結(jié)果不準確.通過計算，我們發(fā)現(xiàn)該模型的預(yù)測結(jié)果與真實偏差太大.該模型的主要功能就是用于預(yù)測的，預(yù)測結(jié)果與真實偏差太大則使該模型的指導(dǎo)意義大打折扣(1) 對附件1的模型進行重建在疫情到達高峰期后的10天，要逐步調(diào)整參數(shù)K的值.這里，我們并不知道本模型是如何調(diào)整K值的.為了使再現(xiàn)的北京最終非典病例累計數(shù)達到3100左右，通過對北京計算日增病例圖像地仔細觀察，發(fā)現(xiàn)這10天的調(diào)整大致分了四個階段：第一階段的3天K值調(diào)整后保持

8、不變；第二階段的三天同樣如此；第三階段的四天再調(diào)整一次K值，并保證這三次調(diào)整過程的結(jié)果不小于10天后的K值：0.0273!最后一次調(diào)整要使K值達到0.0273！通過大量的調(diào)試和人工干預(yù)，確定在北京疫情高峰期后的10天，四個階段的K值依次為：0.08116 0.06087 0.03873 0.02730這樣經(jīng)過137天時間，計算出北京最終非典累計病例為3101人.重現(xiàn)北京的疫情圖如圖： 北京疫情的重現(xiàn)圖從圖一可以看出，在有公布的實際數(shù)據(jù)時期，擬合效果很好地重現(xiàn)了原模型的結(jié)果，但后期的預(yù)測偏差很大.在重現(xiàn)原模型的過程中，我們發(fā)現(xiàn)K和L，以及調(diào)整K值的天數(shù)T對預(yù)測結(jié)果影響很大；正因為如此，原模型在確

9、定K，L，T值時，會進行大量的人工干預(yù)，通過不斷調(diào)整，以達到在有公布數(shù)據(jù)時期較好的擬合效果；而后期又采用其它地區(qū)（如香港）的參數(shù)，必然使預(yù)測結(jié)果與后來的實際結(jié)果偏差很大.分析K，L，T的靈敏度，可以看到K，L，T的取值對預(yù)測結(jié)果影響很大.(2) 靈敏度分析將靈敏度分析結(jié)果羅列于表一：表一 K，L，T靈敏度檢驗 K0.13913*(1+5%)0.13913*(1-5%)0.0273*(1+5%)0.0273*(1-5%)總累計病例 4853 1965 3205 3008結(jié)束天 數(shù) 145 129 143 132L 15天25天T7天 5天總累計病例 10694598總累計病例 2779 2522

10、結(jié)束天 數(shù) 95 205結(jié)束天 數(shù) 134 131從表一的數(shù)據(jù)可以看到，K，L，T如果發(fā)生較小的變化，都會使預(yù)測結(jié)果發(fā)生顯著改變.這說明該模型對K，L，T十分敏感，如果用該模型來分析傳染病的傳播，只能近似描述累積病例的變化趨勢，而不能有效預(yù)測累積病例數(shù)量.3. 參數(shù)分析的不合理性(1) K值不易確定，但是經(jīng)過靈敏度的分析，K值改變對結(jié)果影響很大(2) K值的改變并非從高峰開始，而使從控制力度加大后，開始顯現(xiàn)出效果的時期開始.(3) 從高峰期逐步調(diào)整K值到比較小的穩(wěn)定值之間經(jīng)歷的時間（10天）缺少具體依據(jù).(4) 對“從高峰期逐步調(diào)整K值到比較小的穩(wěn)定值”這一過程方法敘述模糊，個人根據(jù)自己的方法

11、會得出K不同的取值.(5) 參數(shù)L的確定缺乏依據(jù)(四) 不實用性1. 該模型在預(yù)測北京地區(qū)的人數(shù)時要用到香港與廣東地區(qū)的參數(shù)做近似代替.而實際上由于當?shù)卣O(jiān)控力度、群眾警覺程度的不痛，K值是有較大差別的，所以該模型不具有通用性.從后面的實際情況看，北京的監(jiān)控力度是要大于港粵兩地的.這便造成了該模型的預(yù)測值比實際值要大.2. 模型中的不確定參數(shù)多，更重要的是許多參數(shù)的值的靈敏度很高，結(jié)果受參數(shù)的影響很大.這樣模型的穩(wěn)定性便不強，會造成預(yù)測結(jié)果的不夠準確.三、SARS的預(yù)測和控制模型 (一) 模型的目標根據(jù)前文分析，可以發(fā)現(xiàn)附件1模型（以下簡稱“附模”）其實是不完善的，因此有必要建立起有一個真正

12、能夠起到預(yù)測、控制傳染病蔓延作用的數(shù)學(xué)模型.針對附模須改善之處有：1. 必須區(qū)別累計確診病例，處于潛伏期人數(shù)與累計患病人數(shù).累計患病人數(shù)由累計確診人數(shù)，現(xiàn)有疑似病例中的帶菌人數(shù)相加組成，潛伏期人數(shù)不計入內(nèi)2. 要準確劃分傳染的幾個階段傳染病傳播可以分為3個階段：控制前：疾病自由傳播，政府不進行控制過渡期：公眾意識到疾病的嚴重性后，政府采取控制措施之前控制后：在政府介入控制后除了廣州、香港之外，其他城市都是在SARS大肆傳播之前，政府就已經(jīng)采取了強有力的控制措施，可以分為控制前與控制后兩個階段.階段的劃分以政府采取措施的時間為準.3. 模型要在不借助其他地區(qū)的資料的情況下可以預(yù)測本地區(qū)情況. 必

13、須能夠由前期的公開數(shù)據(jù)求得模型中所需求得的各參數(shù). 4. 能夠衡量政府采取的各項措施的效果. 在模型中必須有表示政府控制力度的變量.并且能夠量化.5. 模型中的參數(shù)必須易于求解，盡量不借助人為調(diào)控. 建立的模型中各參數(shù)由公開數(shù)據(jù)直接得到，變量不經(jīng)人為調(diào)整.(二) 模型的分析要建立能夠預(yù)測傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型，必須對這種傳染病的傳播規(guī)律有足夠的認識.SARS（Sever Acute Respiratory Syndrome）是一種主要通過飛沫、與患者接觸而傳染的疾病，且無特效藥可醫(yī)治.SARS的潛伏期為211天，一般為45天，潛伏者幾乎沒有傳染力.消毒可以有效的殺死SARS病毒.沒有發(fā)現(xiàn)對SAR

14、S免疫的人群.在控制前，SARS的傳播與一般傳染病傳播方式相同，可以采用一般傳染病模型.社會、經(jīng)濟、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等，在建立模型時不可能考慮所有的因素，只有抓住關(guān)鍵的因素，采用合理的假設(shè)，進行簡化. (三) 模型的建立1.模型假設(shè)(1) 國家統(tǒng)計數(shù)據(jù)真實可信(2) SARS的潛伏期為常數(shù)5(3) 潛伏期病人不具備傳染性(4) 地區(qū)總?cè)丝贜為一常量(5) 在控制后只有自有帶菌者有傳染性(6) 不考慮人群的自然出生率與死亡率2. 變量說明：(1) ：總?cè)丝?2) ：健康人群占總?cè)?/p>

15、口的比例(3) ：患病人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?4) ：退出人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?5) ：處于潛伏期的病人占總?cè)丝诘谋壤?6) ：不可控帶菌者占總?cè)丝诘谋壤?7) ：累計發(fā)病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例(8) ：可控制感染者占總?cè)丝跀?shù)的比例(9) ：傳染期限(10) ：平均每個不可控帶菌者被收治之前傳染的人數(shù)(11) ：可控制的感染者占總感染者的比例(12) ：控制前發(fā)病人群的收治率(13) ：控制前每個病人在一個周期內(nèi)感染的人數(shù)(14) ：有效接觸率(15) ：退出率(16) ：疑似病例中發(fā)病人數(shù)的比例3. 對人群的分類按照一般意義，可將人群分為4類：(1) 健康者：用S表示，健康者占總?cè)丝诘谋壤?2) 潛伏

16、期病人：處于潛伏期的病人，無傳染性，但最終將發(fā)病，用E表示這部分人的比例(3) 患病者：用I表示這部分人的比例(4) 退出者：患病者中被治愈者與死亡者占總?cè)丝诘谋壤?，用R表示.由于總?cè)丝贜足夠大，所以可以將變量S，I，E，R都看作連續(xù)可微變量，而則可以根據(jù)總?cè)丝贜不變，即各變量之和為1，利用各變量相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立微分方程模型.但在控制前所知道的數(shù)據(jù)很少，根本不足以確定模型中的參數(shù)，所以可以考慮適當對模型進行簡化進行模擬.在控制后，因為人口的分類大大增加，應(yīng)該考慮使用新的模型.假設(shè)控制后在社會自由流動的人一發(fā)病就被送治，則社會上的帶菌者只有在潛伏期的病人.發(fā)病病人由于被收治而失去傳染他人的機會

17、，即考慮被收治人群不會傳染，只有社會中的不可控帶菌者可以傳染他人.由于種種情況，實際有發(fā)病者未被及時送治而感染他人的情況，可以假設(shè)每名不可控帶菌者被送治之前平均感染人數(shù)，其中由于政府的嚴格控制，有可以被控制.可控制感染者不會傳染他人所以可以將人群重新分類：(1) 健康者：可被感染人群(2) 不可控帶菌者：在社會中帶菌的人口比例(3) 累計發(fā)病人群：包括累計確診人數(shù)與疑似病人中確為發(fā)病病人，包括后來死亡和被治愈的人群(4) 可控制人群：被不可控帶菌者感染人群中可控制比例根據(jù)分類可以建立微分方程求解.但由于社會統(tǒng)計數(shù)據(jù)中沒有不可控帶菌者人數(shù)，累計發(fā)病人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，必須使用其他數(shù)據(jù)進行求解，或把模

18、型進行簡化求解.4.模型的建立由于政府介入了SARS傳播，可以將模型分為兩個階段，即控制前的模型和控制后的模型.(1) 控制前的模型在政府介入之前，SARS傳播可以看為一般傳染病的模型由于社會、經(jīng)濟、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等，在建立模型時不可能考慮所有的因素，只有抓住關(guān)鍵的因素，采用合理的假設(shè)，進行簡化.由于SARS有潛伏期，而傳染周期比較短，可以考慮用無自然出生率與死亡率的SEIR模型進行模擬.在SEIR模型中人員變動形式為：為類成員變成傳染者數(shù)量占類成員的比例，稱為表現(xiàn)率利用上圖

19、可以建立微分方程：其中S為健康人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?E為處于潛伏期人數(shù)占總?cè)丝诒壤?I為患病人數(shù)占總?cè)丝诒壤?R為恢復(fù)類人數(shù)占總?cè)丝诒壤?為有效接觸率, 為退出率, 為表現(xiàn)率上式是假設(shè)表現(xiàn)率為常數(shù)時的SEIR模型，由于難于估計，考慮潛伏周期為常數(shù)的SEIR模型.時刻類成員數(shù)量取決于時刻到時刻之間染上病毒的成員數(shù)量.將區(qū)間劃分成等長度的小區(qū)間，為區(qū)間長度，為在區(qū)間上感染上病毒的成員數(shù)量，通過積分得：經(jīng)求導(dǎo)整理得：再將第三個方程作相應(yīng)調(diào)整可以得到一個新的SEIR模型：因為微分方程形式復(fù)雜，不易得到解析解，且存在周期性因素，無法利用數(shù)值積分方法得到結(jié)果.所以考慮將微分方程轉(zhuǎn)化為項后差分方程形式通過遞推

20、關(guān)系進行求解.這個差分方程存在周期為的循環(huán)，需要確定各參數(shù)的前個數(shù)據(jù)，因為控制前數(shù)據(jù)比較少，無法滿足要求.我們只有考慮在減少參變量的情況下建立近似的模型.(2) 控制后的模型當政府控制后，采取了隔離的措施，當發(fā)現(xiàn)病源后，與之接觸而感染的人員可以部分被跟蹤，這部分感染者為可控制的感染者，不會傳播SARS病毒.只有在社會上不可控制的感染者能傳播SARS病毒.同時，政府對預(yù)防SARS的宣傳力度加大，公民對SARS的防護程度有所提高，在感染期限內(nèi)，每名感染者所能傳染人數(shù)有所下降.人群重新分類為：健康者：易于感染人群，用S表示占總?cè)丝诘谋壤?不可控帶菌者：在社會上不可控制的感染者，用M表示占總?cè)丝诘谋壤?/p>

21、累計發(fā)病人數(shù)：包括累積確診病例與意思中的發(fā)病人數(shù)，用T表示占總?cè)丝诘谋壤煽刂频母腥菊撸罕桓腥菊咧锌梢钥刂频牟糠?，用W表示占總?cè)丝诘谋壤梢愿鶕?jù)這幾類之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系得到微分方程： 為不可控帶菌者占總?cè)丝诘谋壤? 為累計發(fā)病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例, ：可控制感染者占總?cè)丝跀?shù)的比例,S為健康人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例, 為傳染期限為平均每個不可控帶菌者被收治之前傳染的人數(shù),為可控制的感染者占總感染者的比例為控制前發(fā)病人群的收治率與控制前的模型相似，可以將此模型轉(zhuǎn)化為差分方程形式因為控后統(tǒng)計的數(shù)據(jù)中沒有統(tǒng)計累計發(fā)病人數(shù)與在社會上不可控制的感染者，這需要由其他數(shù)據(jù)得出，其中累計發(fā)病人數(shù)為累計確診人數(shù)與現(xiàn)有疑似病

22、例中真正的發(fā)病人數(shù)之和.疑似病例中的真正發(fā)病人數(shù)無統(tǒng)計量，我們可以假設(shè)真正發(fā)病者占疑似病例的比例為一常數(shù)，就可以根據(jù)當天累計的確診人數(shù)與疑似人數(shù)確定累計發(fā)病人數(shù).而某天的不可控制的感染者將在下一個周期里因發(fā)病而被收治，但下一個周期內(nèi)新增發(fā)病人數(shù)不僅是當天的感染者,所以這個差分方程也難于求解.我們考慮要減少所需確定的變量.因為控制前社會上的感染人數(shù)為，則這個感染者在開始控制的第一個周期內(nèi)全部被收治，即為下一周期新增發(fā)病人數(shù)，這是可以進行求解的，這樣可以找出，此后的每天感染人數(shù)無法進行具體求解，但一個周期內(nèi)的由感染的人數(shù)可以求出為，其中可以控制的為，不可控制的感染者為，因為在潛伏期內(nèi)這都不會因發(fā)病

23、而收治，即在第二個周期開始前社會上的不可控人數(shù)為.這說明雖然每天的不可控帶菌人數(shù)不能具體求出，但一個周期后的不可控帶菌人數(shù)卻能求出.我們可以一個周期為差分方程的時間單位改變差分方程進行求解.得到的最終控后方程為：其中表示周期，周期從4月21日開始計算，為第個周期內(nèi)累計確診人數(shù)的增加量為第個周期內(nèi)疑似病例的變化量.下一個周期與當前周期新增發(fā)病人數(shù)之比為，當>1時>0,說明新增發(fā)病人數(shù)成增長趨勢，疫情不可能被控制，只有<1，疫情才能被控制，政府在控制疫情發(fā)展時應(yīng)須滿足<1可控制率與隔離措施相關(guān)，隔離措施越有利，可控制概率越大，而不可控帶菌者在收治前的平均感染人數(shù)與隔離措施與

24、防疫措施都有關(guān)，隔離措施越有利與感染源接觸概率越小.根據(jù)這個控制后的數(shù)學(xué)模型，我們可以設(shè)定同樣的控制前的模型.假設(shè)控制前因?qū)ARS的診斷不確切，假設(shè)收治人數(shù)與發(fā)病人數(shù)之比為.只需考慮一個周期內(nèi)感染者的數(shù)量與累計收治人數(shù)即可.可以得到控制前的方程為：其中為周期內(nèi)感染者數(shù)量，為周期內(nèi)收治的感染者數(shù)量這兩個模型均為近似模型，只能解出5天內(nèi)各類人群總數(shù)，并不能準確預(yù)報每天的信息，所以并不能真正預(yù)測，及為預(yù)防和控制提供可靠足夠的信息量.(四) 問題的求解1. 對控前模型的求解：因為累計收治人數(shù)為4月20日的的收治總?cè)藬?shù).第10個周期的感染人數(shù)為控制后的社會中未控制的感染人數(shù).為疑似病例中真正發(fā)病人數(shù)的

25、比例，可以取總疑似轉(zhuǎn)患病與總疑似被排除之比，查資料取值為0.3771.可以解得: 2. 對控后模型的求解：根據(jù)控后模型的遞歸式,求得:第2周期的新增發(fā)病人數(shù)為第一周期的倍.其余周期新增發(fā)病人數(shù)均為前一周期的倍.取5月15日以前的數(shù)據(jù)來對剩下的數(shù)據(jù)進行預(yù)測周期12345新增發(fā)病746.1782734.2190495.4677287.3838130.82930.67480.58000.4522由第一個周期與第二個周期的新增發(fā)病人數(shù)可以算出：=0.9840可以解得當政府管理力度不加強，即0.4522不變時6.16-6.20完全恢復(fù)（一個周期內(nèi)新增發(fā)病<1），累計病例2993人.管理力度加強0.

26、35時，6.6-6.10完全恢復(fù)，累計2954.管理力度放寬0.55時，6.25-6.30完全恢復(fù)，累計3041.如果從5月10日開始預(yù)測，保持力度不變 7.1-7.5完全恢復(fù)，累計3247.(五) 對模型結(jié)果的分析開始控制的第一個周期，就產(chǎn)生了變化，由控制前的1.6380降為0.9840，這說明北京政府從一開始，控制力度就很大，使得迅速降低為原來的60%.從第二個周期開始可控制概率的作用才顯現(xiàn)出來，若仍取0.9840，可控制概率為31.71，說明隔離措施效果還是非常明顯的.第三個周期的可控制概率為41.24與同期北京公布的可控概率40-50吻合，可以認為預(yù)測是成功的.在控制前每個感染源在一個

27、周期內(nèi)感染的人數(shù)只有1.630，比起天花（3），麻疹（10多）要小的多，說明SARS傳染性并不大.但卻在人群中引起了恐慌，這是因為人們對的認識不夠SARS，并沒有搞清楚它的傳播途徑，沒有特效藥，加之在初期出現(xiàn)了一些超級傳播者，于是造成了很大的恐慌.可以預(yù)見，如果現(xiàn)在再次爆發(fā)SARS疫情也不會引起太大的恐慌.(六) 誤差分析：模型中只是對累計患病人數(shù)進行了預(yù)測，累計患病人數(shù)與累計確診人數(shù)不具有可比性，但在疫情結(jié)束的情況下，這兩個數(shù)據(jù)應(yīng)該相等.但實際上在政府監(jiān)控力度不變的情況下，預(yù)測出的累計患病人數(shù)比累計確診人數(shù)多了400人左右. 而且在改變的情況下累計患病人數(shù)的變化不大.所以可以肯定是參數(shù)直接影

28、響最終的累計患病人數(shù).在模型中取的是0.3771，在5月15日有疑似病理1317例，按比例在此1317例疑似病例應(yīng)有患病人數(shù)497例，但實際從5月15日到疫情結(jié)束總共新增確診人數(shù)才134例.特別是5月31日的747例竟然沒有1例轉(zhuǎn)為確診病例.這說明并不是一個常數(shù)，而是一個變量，這個變量在5月15日以后有一個快速下降過程，從而影響了我們的預(yù)測結(jié)果.但在沒有后期數(shù)據(jù)的情況下，我們?nèi)槌Ａ恳彩菬o可厚非的.(七) 與附模的比較1. 附模中混淆了累計確診病例與累積患病人數(shù)，而本模型區(qū)分了這兩個概念2. 附模中參數(shù)k是在發(fā)病高峰期開始改變，不符合實際情況，實際情況是在政府開始控制是時就開始改變，本模型是按

29、照實際情況確定3. 附模在預(yù)測是借鑒了其它地區(qū)數(shù)據(jù)，而本模型在進行預(yù)測時，不需要借鑒其他地區(qū)數(shù)據(jù)4. 附模中參數(shù)需要人為調(diào)整，而本模型中參數(shù)全部由公開數(shù)據(jù)求得，不需人工調(diào)整.5. 本模型中給出了判斷疫情能否被控制的指標，具有實際意義.(八) 參數(shù)檢驗：因為控制前的模型的參數(shù)是跟據(jù)已知數(shù)據(jù)求的，不用進行檢驗所要檢驗的參數(shù)為控制后模型的參數(shù)控制后的模型為：其中為參數(shù)但表示政府對疾病的控制，公眾對疾病的重視，其本身為隨時間的變量，不用檢驗，我們只需檢驗為疑似病例中，真正發(fā)病人數(shù)的比例，為了方便計算，將其定為常量，而其本身是一個隨時間的變量，且沒有辦法被統(tǒng)計.我們?nèi)?月15日之前疑似病例轉(zhuǎn)為確診病例的

30、數(shù)量和從疑似病例中排除的數(shù)量（包括轉(zhuǎn)為確診與被確定沒有患?。┲葹橛嬎愕玫?.3771因為我們?nèi)∽鳛榫涤嬎?，有誤差必然對最后結(jié)論產(chǎn)生影響現(xiàn)在分別對取幾組數(shù)據(jù)，考察對最后累計病例與完全恢復(fù)所需時間的影響0.37710.10.20.30.5累計病例29932650277828973186完全恢復(fù)6.166.206.166.206.166.206.166.206.116.15病例誤差-11-7-36(九) 模型推廣：可用于潛伏期固定的傳染病模擬(十) 模型評價：優(yōu)點：1. 參數(shù)完全由公開數(shù)據(jù)得出，不存在人為調(diào)控，適用性強 2. 所需數(shù)據(jù)少，可以在缺乏數(shù)據(jù)的情況下得到較為準確結(jié)果 3. 模型簡單，實

31、用性較高 缺點：雖能較容易預(yù)測總累計患病人數(shù)以及一個周期內(nèi)患者總數(shù)，但預(yù)測每天的值較為復(fù)雜(十一) 模型改進：模型中為定值，而實際為隨時間變化參數(shù)，可以用函數(shù)擬合進行更精確求解.四、怎樣建立一個完善的預(yù)測模型完善的預(yù)測模型就是一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型.我們考慮，這個模型應(yīng)該為微分方程模型，而且不是一組微分方程模型，而是多組微分方程模型.1. y1：疑似病人中每天排除的排除率2. y2：疑似病人中每天轉(zhuǎn)化為確診的轉(zhuǎn)化率3.：自由帶菌者轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率4.：每個自由帶菌者發(fā)病后收治前平均每天感染的人數(shù)5.：每天由健康人群轉(zhuǎn)化為疑似人群的人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?.

32、C：恢復(fù)人數(shù)占總?cè)丝诒壤?.V：死亡人數(shù)占總?cè)丝诒壤@個模型可以預(yù)測每天的累積確診人數(shù)，當天的疑似人數(shù)，當天死亡人數(shù)，當天治愈人數(shù)，社會上不可控帶菌人數(shù)這個模型可以預(yù)測實際患病人數(shù)，可控制帶菌人數(shù)，不可控帶菌人數(shù).這兩個微分方程模型就可以預(yù)測所有所需的信息雖然微分方程可以較為準確預(yù)測未來數(shù)據(jù),但是存在以下難點：1. 參數(shù)y1，y2在前期很小，后期逐漸放大，且變化無規(guī)率，難于估計2. 參數(shù)的變化無規(guī)律，且無統(tǒng)計量可以推導(dǎo)3. 無的統(tǒng)計數(shù)據(jù)4. 模型2中M，S，都需要個初值，但無統(tǒng)計量可以求出所需的初值上兩個模型可以滿足足夠可靠的信息量，但如要求模型更加精準則要考慮：1. 超級傳播者在總感染人群中

33、占有的比率，以及超級傳播者平均傳染人2. 量化政府采取的各項措施，并在模型中加以考慮3. 要考慮人們的心理變化的影響這樣做的困難：沒有準確的數(shù)據(jù),心理變化隨機性太強.五 模型的應(yīng)用(一) 對措施“提前或延后5天采取嚴格隔離措施”的定量評價由控前模型可以解得提前5天，延后5天，開始控制時社會上不可控帶菌者，為403，1587控制時套用實際的前期的.如果延遲5天開始控制，此后保持0.4522不變可得：8月10日至8月15日完全恢復(fù)，累計病例5217.提前5天開始控制：6月5日至6月10日完全恢復(fù)，累計病例1337.(二)對衛(wèi)生部門所采取的其他措施的評價除上面的措施外，衛(wèi)生部還制定了其它的預(yù)防控制措

34、施（2），大致如下：1.疾病預(yù)防控制機構(gòu)詳細了解、記錄傳染性非典型肺炎病人、疑似病人及其密切接觸者的情況.2.疫情報告實行屬地化管理. 3.疾病預(yù)防控制機構(gòu)發(fā)現(xiàn)疫情或接到疫情報告，應(yīng)立即報告上級疾病預(yù)防控制機構(gòu)和當?shù)匦l(wèi)生行政部門.4.醫(yī)療機構(gòu)實行首診醫(yī)生負責制.5.縣(區(qū)、市)疾病預(yù)防控制機構(gòu)接到疫情報告后，應(yīng)于2小時內(nèi)上報省、市(地)級疾病預(yù)防控制機構(gòu)、同級衛(wèi)生行政部門，同時將收到的傳染病報告卡進行網(wǎng)絡(luò)直報.衛(wèi)生部接到報告后立即向國務(wù)院報告.6.訂正報告，包括疑似病例轉(zhuǎn)診斷病例、疑似病例排除、診斷病例轉(zhuǎn)疑似病例、診斷病例排除.7.傳染性非典型肺炎流行期間，各級衛(wèi)生行政部門根據(jù)衛(wèi)生部要求，實行

35、傳染性非典型肺炎病例、疑似病例發(fā)病、轉(zhuǎn)歸等情況日報和“零”病例報告制度.這些措施無非想達到兩個目的：1.提高傳染性非典型肺炎監(jiān)測的敏感性和報告的及時性，做到“早發(fā)現(xiàn)、早報告、早隔離、早治療”.2.提高疫情監(jiān)測報告質(zhì)量，及時、準確地掌握傳染性非典型肺炎在人群中的發(fā)病情況和流行病學(xué)分布特征，為制訂科學(xué)、有效的預(yù)防控制措施提供依據(jù).這些措施在我們的模型中可以找到科學(xué)的依據(jù).六、經(jīng)濟影響預(yù)測模型(一) 問題分析在非典流行期間，旅游客源大量減少，嚴重影響了旅行社和中介機構(gòu)的業(yè)績.從附錄二中2003年的數(shù)據(jù)可以明顯看到，在非典流行時期，北京市的海外旅游者人數(shù)與近年同期數(shù)據(jù)相比，大大減少.為了定量的描述這種

36、影響和預(yù)測北京市海外旅游者人數(shù)的走勢，可首先利用經(jīng)濟預(yù)測中的“時間序列法”，求出在沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量.再利用經(jīng)濟預(yù)測中的“時間序列法”，建立在沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量的預(yù)測模型.根據(jù)現(xiàn)有的2003年每月海外旅游者實際接客數(shù)量，通過分析當年同月的數(shù)據(jù)，利用二次曲線擬合其近似變化規(guī)律，建立在有非典的情況下的預(yù)測模型.(二)建模與求解受非典直接沖擊的主要是旅游、交通、商業(yè)零售、餐飲、文化娛樂等流通和服務(wù)部門以及外資外貿(mào)領(lǐng)域；間接受沖擊的是部分工業(yè)和建筑業(yè)，有一定滯后期；目前受益的是醫(yī)藥、保險和通訊產(chǎn)業(yè).由于不同行業(yè)間存在較大的

37、相關(guān)性，有些影響是可以相互傳遞的，實際行業(yè)所受影響應(yīng)大于理論分析.這里，我們主要就非典對北京市接待海外旅游者的人數(shù)的影響，利用題中附件二的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進行預(yù)測.1.變量說明：在沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量.；在有非典的情況下（實際情況），2003年每月海外旅游者接客數(shù)量.2.模型假設(shè)附錄提供的數(shù)據(jù)是真實可靠的.3.模型的建立為了定量的描述這種影響和預(yù)測北京市海外旅游者人數(shù)的走勢，我們首先利用經(jīng)濟預(yù)測中的“時間序列法”，求出在沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量；再根據(jù)現(xiàn)有的2003年每月海外旅游者實際接客數(shù)量，通過分析每年同月的

38、，利用二次曲線擬合其近似變化規(guī)律.利用北京的海外旅游人員平均消費金額，并通過在沒有非典情況下和實際情況下得到的總海外旅游人數(shù)的差值，就可以算出北京在非典時期，該旅游行業(yè)因此造成的總損失.4.模型的求解 (1) 沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量：我們利用經(jīng)濟預(yù)測中的“時間序列法”求出2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量.時間序列法是根據(jù)歷史統(tǒng)計資料的時間序列，預(yù)測事物發(fā)展的趨勢，且時間序列法主要用于短期預(yù)測.為了更有效的預(yù)測，在利用“時間序列法”之前，我們通過多元線性回歸中的“逐步回歸”思想，分析得出2000年，2001年，2002年三年的數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度很好，并且

39、和2000年以前的數(shù)據(jù)關(guān)系甚小的結(jié)論. 由一般的經(jīng)濟常識可知，一年中某旅游行業(yè)的游客數(shù)往往和前幾年的游客數(shù)有關(guān).通過前面的分析，只需考慮2000年，2001年，2002年三年的游客數(shù)對2003年游客數(shù)的影響.圖一為1997-2002年的游客數(shù)的變化趨勢：圖一 1997-2002年的游客數(shù)的變化趨勢從圖一6年游客數(shù)的變化趨勢可以看到，變化大致呈周期性（周期為一年）變化，且逐年的游客數(shù)有遞增趨勢.由于只考慮2000年，2001年，2002年的游客數(shù)對2003年的影響，我們通過時間序列法求出在沒有非典的情況下，2003年每月的游客預(yù)測值.令2000年每月游客數(shù)為（）2001年每月游客數(shù)為（）2002

40、年每月游客數(shù)為 （）計算出這三年平均每月的游客數(shù)： （）2003年的一月，北京還未出現(xiàn)非典，因此一月份的游客數(shù)15.4萬人就是在正常情況下的游客數(shù).又由于逐年游客數(shù)有遞增趨勢，我們將得到的，即前三年一月的平均游客數(shù)，用15.4-表示：2003年每月的游客預(yù)測值比對應(yīng)的前三年平均每月游客數(shù)的平均遞增值！那么2003年的每月游客數(shù)為：15.4- （） 將求得的結(jié)果羅列于表一，圖形如圖二表一 沒有非典的出現(xiàn)，2003年北京每月的海外游客預(yù)測值（單位：萬人）1月2月3月4月5月6月15.430.624.230.231.729.87月8月9月10111227.933.532.332.931.323.9圖

41、二 游客數(shù)變化趨勢從圖二可以看出，2003年預(yù)測的值反映了周期變化的趨勢，是合理的結(jié)果.這里，可以看到在有非典出現(xiàn)的情況下，三月份的數(shù)據(jù)23.5萬人與沒有非典時三月份的數(shù)據(jù)24.2萬人的相對誤差為：.而通過對三月份北京的非典疫情調(diào)查，幾乎沒有病歷出現(xiàn).這就說明三月的北京，旅游行業(yè)還未受到?jīng)_擊.這個事實，也從一方面說明了我們預(yù)測結(jié)果的合理性.（2）有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量： 根據(jù)現(xiàn)有的2003年每月海外旅游者接客數(shù)量（共8個），通過分析當年同月的（為沒有非典的情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量），利用二次曲線擬合其近似變化規(guī)律！由于北京三月份的實際海

42、外旅游者人數(shù)23.5萬人，與沒有非典時三月份的預(yù)測值24.2萬人的相對誤差僅為0.029 ，可以剔除掉該數(shù)據(jù)，得到1，2，4，5，6，7，8月的 數(shù)據(jù)依次為：0 0.4406 0.6155 0.9438 0.9123 0.6850 0.5159對應(yīng)圖像如圖三： 圖三 相對人數(shù)比例在5月份，是疫情高峰期，相應(yīng)的達到最大值0.9438；五月后，由于疫情逐步得到控制，也逐漸下降，且這種下降趨勢應(yīng)達到=0為止；如果在2003年末,那么我們還需要通過時間序列法，得到在沒有非典情況下，2004年的預(yù)測值，直到=0為止。由于高峰以前的數(shù)據(jù)與高峰后的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)不大；且在疫情高峰期后，因為政府的控制措施與國民的自

43、我防范意識加強，使后期的數(shù)據(jù)相關(guān)性較大；又根據(jù)旅游業(yè)的自身特點和大眾的消費心理：只要疫情得到較大緩解，就會有較多的人以旅游的方式消除控制期的壓抑。根據(jù)實際的北京疫情情況，在六月中旬，非典就得到了有效控制，新增患病人數(shù)也減少到每天一例左右，這樣的條件，對旅游行業(yè)來說，無疑是快速復(fù)蘇的好跡象；所以，我們選擇用二次曲線對從高峰期開始的數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合。得到的曲線方程為：通過曲線方程得到的5，6，7，8月份的數(shù)據(jù)和原始值的殘差依次是：0.0127 -0.0381 0.0381 -0.0127說明擬和效果十分顯著！擬和后的圖像為圖四：圖四 對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測從圖像上可以看出，十月上旬左右，=0，即北京

44、市的海外旅游者的接客數(shù)量恢復(fù)到正常水平。通過網(wǎng)上的一些資料表明：隨著非典疫情得到有效控制，各旅行社紛紛把目光瞄向了9月和10月的旺季，這說明我們的預(yù)測是合理可行的。通過大量的資料調(diào)查，得到海外旅游人員在國內(nèi)的平均消費量在5001000美元間。我們以此為北京的海外旅游人員平均消費金額。在非典時期，即4，5，6，7月份，該旅游行業(yè)的總損失為：由前面的數(shù)據(jù)可以算出在非典時期該旅游行業(yè)的總損失：474050000（美元）948100000（美元）海外旅游接待人數(shù)減少948100人上面僅就北京的海外旅游接客人數(shù)進行預(yù)測分析，從而不難看出，這場非典災(zāi)難對旅游業(yè)造成的損失相當巨大。5. 對經(jīng)濟其它方面的影響

45、      據(jù)有關(guān)資料顯示： 非典對旅游業(yè)的影響預(yù)計在億元左右.非典對零售業(yè)的影響預(yù)計在左右.非典對零售業(yè)的沖擊主要是使消費者信心受挫，壓抑消費者的消費心理.我但從全年來說，預(yù)計損失在左右.非典對餐飲業(yè)的影響約為以上.非典對建筑業(yè)的影響相對滯后.由于建筑業(yè)關(guān)聯(lián)性較大，對經(jīng)濟可能產(chǎn)生滯后影響.隨著非典疫情的控制，估計月份以后，影響將逐漸減弱.非典對房地產(chǎn)業(yè)具有潛在影響.目前由于非典影響，使北京市房地產(chǎn)即期銷售減少，新開工和部分在建工程進度可能延遲，開發(fā)商資金壓力較大，銀行利息增加，具有潛在影響.醫(yī)藥、通訊、保險行業(yè)受益較大.&

46、#160;根據(jù)上面的資料顯示以及對旅游業(yè)的定量分析，我們認為非典對北京第業(yè)沖擊較小，預(yù)計仍保持穩(wěn)定增長趨勢；對第二產(chǎn)業(yè)總體影響有一定的滯后期.第三產(chǎn)業(yè)短期內(nèi)受沖擊比較大是不可避免的，尤以旅游及其相關(guān)行業(yè)損失最大.但因消費需求具有較強的慣性和剛性，不會長期壓抑.6 .模型的推廣本模型還可以研究許多傳染病（如水痘，腮腺炎等）的傳播規(guī)律，為相關(guān)部門提供較合理的病情傳播信息，以更好地制定在傳染病流行期間，給單位部門的防止措施和生產(chǎn)計劃！7.模型的評價(1) 利用“時間序列法”預(yù)測在沒有非典情況下，2003年北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量，并得到了合理的結(jié)果。(2) 根據(jù)旅游業(yè)的自身特點和大眾消費心理，

47、用二次曲線對從高峰期開始的數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合，在實際情況（出現(xiàn)非典）下進行預(yù)測。通過大量資料的調(diào)查，可以表明預(yù)測結(jié)果是合理的。(3) 我們搜集了有關(guān)海外旅游人員在國內(nèi)的平均消費量數(shù)據(jù)，并以此算出在非典時期，該旅游行業(yè)的總損失。根據(jù)得到的結(jié)果，可以更形象地說明非典對旅游業(yè)造成的巨大負面影響！(4) 我們僅對在非典時期北京市接待海外旅游者的人數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，還有對其它經(jīng)濟方面的影響數(shù)據(jù)未收集。(5) 在實際情況（出現(xiàn)非典）下進行預(yù)測時，還可以考慮更好的數(shù)學(xué)方法，以得到更為合理的結(jié)果！七、參考文獻1 中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所, “早發(fā)現(xiàn)、早隔離、早治療”對于控制SARS疫情的定量分析，,2003/

48、9/242 衛(wèi)生部：“非典”疫情監(jiān)測報告實施方案（全文）, 3景學(xué)成，非典對北京經(jīng)濟的影響因素， ，2003/9/244 壽紀麟，數(shù)學(xué)建模方法與范例，西安：西安交通大學(xué)出版社，1993年5 趙靜 但琪等，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，2000年6 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社， 1993年附件附件一 給當?shù)貓罂亩涛臄?shù)學(xué)槍模型彈 瞄準病毒一二三2002年末，一種叫SARS的病毒看中了我們耐以生存的藍色星球，決定在這里繁衍生息。它們站在這顆星球的主人人類的頭上大聲叫囂：“我是病毒我怕誰？” SARS確實厲害，在人類可以為自己在科技、醫(yī)學(xué)等各方面的巨大成就而驕傲的時候，它給足

49、了人類顏色。由于我們品種齊全的“殺蟲劑”中沒有“滅SARS牌”的藥劑，所以它們把整個世界搞得天昏地暗所做的工作，僅僅是輕輕推倒多米諾骨牌的第一張。在這種危急時刻，人類的政治、科技領(lǐng)袖們帶領(lǐng)大家揚著科學(xué)的旗幟，同舟共濟，贏得了非典狙擊戰(zhàn)的巨大勝利。而這其中，傳染病數(shù)學(xué)模型的建立起到了至關(guān)重要的作用。首先，正確的傳染病模型客觀反應(yīng)了病毒的傳播規(guī)律，為預(yù)測和控制傳染病提供了必要前提；為我們的生產(chǎn)生活提供了科學(xué)的依據(jù)與正確的指導(dǎo)方向。例如：中科院非典模型研究小組建立的非典預(yù)測模型，就為我國的非典控制和消除起到了十分有效的指導(dǎo)作用！其實，我們也正是通過這些傳染病模型，積極阻斷非典的傳播途徑，加大監(jiān)控力度

50、，以致最終取得這場戰(zhàn)爭的勝利。其次，傳染病模型并非僅僅可以描述病毒的傳播規(guī)律。一種傳染病的流行，還會使國民經(jīng)濟，政治，文化受到?jīng)_擊。例如SARS對旅游業(yè)的負面影響巨大，有了SARS傳播的數(shù)學(xué)模型，就可以預(yù)測SARS對旅游業(yè)的影響，估算損失。例如：通過SARS傳播的數(shù)學(xué)模型，我們建立了非典對北京市接待海外旅游者人數(shù)影響的數(shù)學(xué)模型，并利用建立的模型預(yù)測出十月上旬左右北京市的海外旅游者的接客數(shù)量將會恢復(fù)到正常水平；在非典時期該旅游行業(yè)的總損失在474050000美元到948100000美元之間！海外旅游接待人數(shù)將會減少948100人！通過現(xiàn)有資料的調(diào)查，可以說明我們的預(yù)測結(jié)果是合理可行的。當然亦可以

51、分析SARS對其它方面的影響。這樣，各相關(guān)部門可以根據(jù)模型所提供的病情預(yù)測，更好地制定在傳染病流行期間，其防止措施和生產(chǎn)計劃，使疾病造成的損失降到最??！這足以說明建立傳染病模型的重要性！知己知彼是我們在這場與SARS的斗爭中取勝的法寶。傳染病數(shù)學(xué)模型的建立，不僅是我們在這場戰(zhàn)役中使用的強大武器也是一支指揮棒。一個正確的數(shù)學(xué)模型，能客觀反應(yīng)事物內(nèi)在規(guī)律，有科學(xué)的預(yù)見作用。而在進行了科學(xué)預(yù)測之后，我們才能對癥下藥，對傳染病的傳播加以正確控制，并達到事半功倍的效果。馬克思指出：一種科學(xué)只有成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)時，才算達到了真正完美的地步。有了傳染病數(shù)學(xué)模型這個強有力的科學(xué)武器做指導(dǎo)，再面目猙獰的傳染病我們也有科學(xué)的決策去應(yīng)對它！ 數(shù)學(xué)槍模型彈，瞄準病毒，一二三，開槍！附件二 “SAS的傳播”原模型的半模擬循環(huán)計數(shù)法程序N0=1;%北京的初始非典病例k=0.13913;%開始階段的每個病人平均傳染概率t