千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(一)：第13煉-利用函數(shù)解決實(shí)際問題-Word版含解析(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第13煉 利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、使用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）題目特點(diǎn)：敘述中體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系（涉及的量也許有多個(gè)，但均能夠用兩個(gè)核心變量進(jìn)行表示）。以其中一個(gè)為自變量，則另一個(gè)變量可視為自變量的函數(shù)，進(jìn)而搭建出函數(shù)模型，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)： 分段函數(shù)：當(dāng)自變量的不同取值導(dǎo)致解析式不同時(shí)，可通過建立分段函數(shù)來體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算方式，則通常要用分段函數(shù)進(jìn)行表示。 導(dǎo)數(shù)：在求最值的過程中，若函數(shù)解析式不是常見的函數(shù)（二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)等），則可利

2、用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求得最值 均值不等式：在部分解析式中（可構(gòu)造和為定值或積為定值）可通過均值不等式迅速的找到最值。 分式函數(shù)的值域問題：可通過分離常數(shù)對(duì)分式進(jìn)行變形，并利用換元將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)求解（3）常見的數(shù)量關(guān)系： 面積問題：可通過尋底找高進(jìn)行求解，例如：平行四邊形面積底高 梯形面積（上底下底）高 三角形面積底高 商業(yè)問題：總價(jià)單價(jià)數(shù)量 利潤營業(yè)額成本貨物單價(jià)數(shù)量成本 利息問題：利息本金利率 本息總和本金利息本金利率本金（4）在解決實(shí)際問題時(shí)要注意變量的取值范圍應(yīng)與實(shí)際情況相符，例如：涉及到個(gè)數(shù)時(shí)，變量應(yīng)取正整數(shù)。涉及到錢，速度等問題，變量的取值應(yīng)該為正數(shù)。2、使用線性規(guī)劃模型解

3、決實(shí)際問題（1）題目特點(diǎn)：敘述中也有兩個(gè)核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關(guān)系，且所求是關(guān)于兩個(gè)核心變量的表達(dá)式，這類問題通常使用線性規(guī)劃模型來解決問題（2）與函數(shù)模型的不同之處 函數(shù)模型：體現(xiàn)兩核心變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)一個(gè)變量的范圍求另一個(gè)變量的范圍（或最值） 線性規(guī)劃模型：體現(xiàn)關(guān)于兩變量的不等關(guān)系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個(gè)變量的表達(dá)式的最值。（3）解題步驟：根據(jù)題目敘述確定未知變量（通常選擇兩個(gè)核心變量，其余變量用這兩個(gè)進(jìn)行表示），并列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決（4）注意事項(xiàng)：在實(shí)際問題中，變量的取值有可能為整數(shù)，若最優(yōu)解不是整數(shù)，則可在最優(yōu)

4、解附近尋找?guī)讓?duì)整點(diǎn)，代入到目標(biāo)函數(shù)中并比較大小3、使用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）題目特點(diǎn)：題目以幾何圖形（主要是三角形）作為基礎(chǔ)，條件多與邊角相關(guān)（2）需要用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)： 正弦定理：設(shè)三邊所對(duì)的角分別為，則有 余弦定理（以和對(duì)角為例）， 三角函數(shù)表達(dá)式的化簡與變形 函數(shù)的值域（3）解題技巧與注意事項(xiàng)： 在求邊角問題時(shí)，應(yīng)把所求的邊或角放在合適的三角形中 在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內(nèi)角的三角函數(shù)值進(jìn)行表示 在圖形中要注意變量的取值范圍二、典型例題：例1：如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求在 的延長線上，在的延長線上，且對(duì)角線過 點(diǎn)。已知米，米。

5、（1）設(shè)（單位：米），要使花壇的面積大于32平方米，求的取值范圍；（2）若（單位：米），則當(dāng)?shù)拈L度分別是多少時(shí)，花壇的面積最大？并求出最大面積。（1）思路：根據(jù)相似三角形可得線段比例：，從而解出，則，從而可得，解出的范圍即可解： 依題意可得：解得： （2）思路：求面積的最大值，即求表達(dá)式的最大值，分離常數(shù)求解即可解：設(shè) 設(shè)，則 則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得：時(shí)，達(dá)到最大值，即 此時(shí)，所以 答：當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，為 例2：時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價(jià)格:（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中為常數(shù)已知銷售

6、價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大（保留1位小數(shù)）解：（1）將代入關(guān)系式可得： （2）思路：依題意可得售出一套，所得利潤為元，所以總的利潤，其中，利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最大值點(diǎn) 解：依題意所獲利潤化簡可得： 令，即解不等式 解得 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減在取得最大值，即 例3：某人銷售某種商品，發(fā)現(xiàn)每日的銷售量（單位：kg）與銷售價(jià)格 （單位：元/kg）滿足關(guān)系式，其中 為常數(shù).已知銷售價(jià)格為8元/kg時(shí)，該日的銷售量是80kg.（1

7、）求的值；（2）若該商品成本為6元/kg，求商品銷售價(jià)格為何值時(shí)，每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解：（1）當(dāng)時(shí)，解得： （2）思路：依題意可得銷售商品所獲得利潤，所以也是一個(gè)分段函數(shù)，可以考慮分別求出每段函數(shù)值的最大值，然后進(jìn)行比較即可挑出的最大值。解：設(shè)商品利潤為，則有，由第（1）問可得： 當(dāng)時(shí)， 則 令，由 解得： 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減 例4：已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價(jià)格為元/千克，每次購買配料需支付運(yùn)費(fèi)236元，每次購買來的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)（含7天），無論重量度搜好，均按10元/天支付，超出

8、7天以外的天數(shù)，根據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付（1）當(dāng)9天購買一次配料時(shí)，求該廠用于配料的保管費(fèi)用是多少元？（2）設(shè)該廠天購買一次配料，求該廠在這天中用于配料的總費(fèi)用（元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少？解：（1）第8天剩余配料為（千克）第9天剩余配料為千克該廠用于配料的保管費(fèi)為：（元）（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上所述： 設(shè)為平均每天支付的費(fèi)用，則 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 等號(hào)成立條件： （元）例5：甲，乙兩校計(jì)劃周末組織學(xué)生參加敬老活動(dòng)，甲校每位同學(xué)的往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)，乙校每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人

9、服務(wù)，兩校都有學(xué)生參加，甲校參加活動(dòng)的學(xué)生比乙校至少多1人，且兩校同學(xué)往返總車費(fèi)不超過45元，如何安排甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)，才能使收到服務(wù)的老人最多？此時(shí)受到服務(wù)的老人最多有多少人？思路：本題涉及的變量有兩個(gè)：甲校人數(shù)與乙校的人數(shù)，且所給條件均為關(guān)于兩校人數(shù)的不等式，所以可聯(lián)想到線性規(guī)劃問題?？稍O(shè)甲校人數(shù)為，乙校人數(shù)為，所求問題為目標(biāo)函數(shù)，列出約束條件后通過數(shù)形結(jié)合即可求出的最大值解：設(shè)甲校人數(shù)為，乙校人數(shù)為，依題意，應(yīng)滿足的條件為： 目標(biāo)函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合可得。動(dòng)直線經(jīng)過時(shí)，取得最大值 例6：如圖，某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人求救，救生員沒有直接

10、從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為6米/秒，在海中的行進(jìn)速度為2米/秒，。（1）分析救生員的選擇是否正確；（2）在AD上找一點(diǎn)C，使救生員從A到B的時(shí)間為最短，并求出最短時(shí)間解：（1）思路：所謂“選擇是否正確”，是指方案二所用的時(shí)間是否比直接游到處時(shí)間短，所以考慮分別求出兩種方案所用的時(shí)間，再進(jìn)行比較即可。解：從圖形可得：，所以（s）而，所以（s），所以救生員的選擇是正確的（2）思路：要求得時(shí)間的最值，考慮創(chuàng)設(shè)一個(gè)變量 ，并構(gòu)造出時(shí)間關(guān)于的函數(shù) ，再求出的最小值即可。不妨設(shè)，則，所以時(shí)間，再求導(dǎo)求出的最小值即可解：設(shè)，則，設(shè)所用時(shí)間為

11、令，即解不等式 ，解得： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（秒）答：當(dāng)時(shí)，救生員所用的時(shí)間最短，為秒答：甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)分別為6和5時(shí)，受到服務(wù)的老人最多，最多為43人例7：某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180m2，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設(shè)分割大房間為間，小房間為間，每天的房租收益為元）

12、，求各為多少時(shí)，每天能獲得最大的房租收益？每天能獲得最大的房租收益是多少？思路：本題的主要變量是，從題目中可發(fā)現(xiàn)對(duì)的約束條件有3個(gè)，一個(gè)是房間數(shù)必須是非負(fù)整數(shù)，所以，第二個(gè)條件是室內(nèi)面積為，所以大小房間面積和要不大于，第三個(gè)條件是裝修費(fèi)用總和不高于8000元，據(jù)此列出約束條件：，所求收益，所以該模型為線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合即可。解：依題意可得對(duì)的約束條件為：，所求目標(biāo)函數(shù)為作出可行域，依圖可得：直線過或時(shí)，最大，即答：當(dāng)大房間為3間，小房間為8間；或者不設(shè)大房間，小房間為12間時(shí)，收益最大，最大值為元例8：某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑

13、是的圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶建筑用地，測(cè)量可知邊界萬米，萬米，萬米（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及圓面半徑的值（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界不能變更，而邊界可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧上設(shè)計(jì)一點(diǎn)，使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地的面積最大，并求最大值解：（1）在中，由余弦定理可得： 在中，由余弦定理可得： 因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于圓 所以由可得： 解得： （萬平方米）由余弦定理可得： （2）設(shè)，可知 由（1）可知 若要面積最大，只需最大 在中，由余弦定理可得： 即 ，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 所以四邊形的最大面積為萬平方米例9：如圖是一塊平行四邊形園地，經(jīng)測(cè)量，擬過線段上一

14、點(diǎn)設(shè)計(jì)一條直路（點(diǎn)在四邊形的邊上，不計(jì)路的寬度），將該園地分為面積比為的左，右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)（單位：m）（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，試確定點(diǎn)的位置（2）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（3）試確定點(diǎn)的位置，使得直路長度最短解：（1）當(dāng)與重合時(shí)，（設(shè)為平行四邊形的高） 依題意可得：即即為的中點(diǎn)（2）在線段上 當(dāng)時(shí)，可得在線段上 在中 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，此時(shí)四邊形為梯形或平行四邊形，由得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，即 綜上所述可得：（3）即求的最小值當(dāng)時(shí)， 等號(hào)成立條件： 當(dāng)時(shí)， 等號(hào)成立條件： ，此時(shí) 例10：如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場(chǎng)，游樂場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)的圖像，圖像的最高點(diǎn)為，邊界的中間部分為長1千米的直線段，且，游樂場(chǎng)的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧 （1）求曲