論一些數(shù)學(xué)問題的背景

1、甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)生畢業(yè)論文題 目: 論一些數(shù)學(xué)問題的背景 作 者：雒建銘 指導(dǎo)教師：楊兆蘭 數(shù) 信 學(xué)院 數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)教育專業(yè) 06 級(jí) 三年制 （1） 班2008年12月18日指導(dǎo)教師姓名職 稱 論文評(píng)語成 績指導(dǎo)教師總評(píng)意見： 評(píng)審人： 年 月 日注：1評(píng)語、成績須由指導(dǎo)教師填寫。2評(píng)語及總評(píng)意見應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無錯(cuò)誤。主要內(nèi)容簡介:我們從常見的物理模型中去探究一些數(shù)學(xué)問題的背景，通過建立簡單物理模型，對(duì)模型進(jìn)行分析，歸納出其所做的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)的總結(jié)，建立運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)方程進(jìn)行討論。主要討論對(duì)象如下：第一：n元函數(shù)的背景問題。從牛頓第一定律入手，抽

2、化物理模型，建立運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)方程變量進(jìn)行數(shù)域上的擴(kuò)展，從而得出n元函數(shù)。第二：積分。從變力做功的角度出發(fā)，對(duì)區(qū)間進(jìn)行無限分割，然后對(duì)變力F在每個(gè)小區(qū)間上的功做累加，取極限。這樣做的目的是減少與真實(shí)值之間的誤差。第二：微分。從變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速率著眼，研究每個(gè)時(shí)刻的速率。這里主要是對(duì)表達(dá)式討論，最后得出微分的知識(shí)。綜上所述：我們這樣做的目的，不僅是探究數(shù)學(xué)背景，而且是掌握數(shù)學(xué)與物理的一些簡單關(guān)系。這有助于我們更好的去學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)。論一些數(shù)學(xué)問題的背景【摘要】：從常見物理模型中去探究一些數(shù)學(xué)問題的背景,包括一元函數(shù)、二元函數(shù)、積分、微分?！娟P(guān)鍵詞】：一元函數(shù)；二元函數(shù) ；微分； 積分【引言】：

3、在這里必要介紹一下牛頓的生平。牛頓（Isaae Newwon ,16421727）1642年12月25日（新幣1643年1月4日）生于英格蘭林肯郡的沃爾斯普村。1665年到1667年，牛頓在故鄉(xiāng)躲避瘟疫的大約18年月內(nèi)，做出了在萬有引力，微積分和光學(xué)的色散等方面的重大發(fā)現(xiàn)。1687年，牛頓發(fā)表了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，這是他科學(xué)創(chuàng)造的頂峰。在這本巨著中，牛頓概括了他的前人伽利略，笛卡爾，開普勒，惠更斯，胡克等人的研究成果以及他自已的創(chuàng)造，首次創(chuàng)立了一個(gè)地面力學(xué)的和天體力學(xué)統(tǒng)一的嚴(yán)密體系，成為經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)史上的第一次大綜合。我們不妨設(shè):牛頓=物理+數(shù)學(xué)一 n元函數(shù)的背景1、牛頓第一定

4、律：任何物體都要保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到其他物體所作用的力迫使它改變?yōu)橹?。這里只研究物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，模型如下。例：一輛小汽車在光滑水落石出平面上運(yùn)動(dòng)，且水汽車的擺度角零。注：擺度角是小車沿光滑水平面作直線運(yùn)動(dòng)，不會(huì)左右擺動(dòng)。解：設(shè)小車速度為V，運(yùn)動(dòng)S距離時(shí)，花費(fèi)時(shí)間為T。則有;變形即:v的大小不會(huì)隨s，t的變動(dòng)而變化，v作為一個(gè)常量存在于式中，我們除去的物理模型，且令時(shí)，就可得,即純數(shù)學(xué)表達(dá)式。這樣就得到了一次函數(shù) 設(shè)s=f(x),t=x時(shí),直線在f(x)確定的平面內(nèi)為一直線，即f(x)=kx(k0,xR)對(duì)一次函數(shù)定行抽化：設(shè)D是R上的非空子集，稱映射f:DR為定義在D上的一

5、元函數(shù)。記作:y=f(x) 其中D為該函數(shù)的定義域x為自變量，y 稱因變量2、勻變速運(yùn)動(dòng)如下圖，從物體作自由落體運(yùn)動(dòng)出發(fā)，以一小時(shí)球從高度h，以初速度落下，繪定時(shí)間t后落到地面，則有運(yùn)動(dòng)方程：，由高度決定根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中運(yùn)動(dòng)的疊加原理可知，勻速直線運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)疊加，有：回歸現(xiàn)實(shí)當(dāng)中，根據(jù)實(shí)際需要，也有： 去掉物理背景，只剩下一個(gè)鈍數(shù)學(xué)表達(dá)式：即一元于次函數(shù)： 結(jié)論：根1、2可知，一元多次函數(shù)是許多直線運(yùn)動(dòng)的疊加3、關(guān)于“運(yùn)動(dòng)的量度”的爭論1718世紀(jì)，由于“力”的概念不是完清晰的，人們在不同的意義上使用這一概念描術(shù)了力的各種效應(yīng)，從而引起了笛卡兒學(xué)派和萊布尼學(xué)派關(guān)于“運(yùn)動(dòng)”的一場礦日久的爭論

6、。 笛卡爾學(xué)派從運(yùn)動(dòng)量守恒的基本定律出發(fā)，認(rèn)為應(yīng)該把物體的質(zhì)量和速度的基本定律出發(fā)，認(rèn)為應(yīng)該把物體的質(zhì)量和速度的乘積作為“力”或物體的“運(yùn)動(dòng)量”的量度。1687年，牛頓在他的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中明確提出了動(dòng)量的定義，并且通過他所總結(jié)的第二定律揭示出在物體的相互作用中，正是動(dòng)量這個(gè)物理量反映著運(yùn)動(dòng)變化的客觀效果。1686年，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家布萊尼次在他的論文中，對(duì)笛卡爾學(xué)派的這個(gè)量度提出批判。他認(rèn)為，動(dòng)力不能用“物體”（質(zhì)量）與速度的成績來衡量，而只能用它所產(chǎn)生的效果來衡量。例如它能將一重物舉起多么的高；因此，應(yīng)該用來量度力。萊布尼茨從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)論證說，把質(zhì)量為m的物體舉高h(yuǎn)的“力

7、”將同樣能吧質(zhì)量的物體舉高nh；當(dāng)著兩個(gè)物體降落下來是運(yùn)動(dòng)量必然相等。有計(jì)算可知，如果第一個(gè)物體落到地面時(shí)速度為v，第二個(gè)物體的速度為。按照笛卡爾的量，則有，表明了二物體落下時(shí)有相等的運(yùn)動(dòng)量。萊布尼茨由此得出結(jié)論：笛卡爾的運(yùn)動(dòng)的量度是同裸體定律相矛盾的。萊布尼茨也看到笛卡爾提出的量度在某些情況下是適用的，所以于1696年指出，mv是“死力”的量度度，即相對(duì)靜止的物體力的量度；而則是“活力的量度”，宇宙中真正守恒的東西是總是活力。兩種量度的爭論，持續(xù)了半個(gè)世際之久，不少著名的數(shù)學(xué)學(xué)家都參加于到爭論中去，1743年，法國力學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的動(dòng)力學(xué)論的序言中，指出兩種量度的同樣有效性。他譏為，“動(dòng)動(dòng)

8、物體的力”只能用物體克服障礙的能力來表示。在其阻抗足以使運(yùn)動(dòng)在一瞬間停止下來的障礙，即平衡的情況下，動(dòng)量可以用來作為“運(yùn)動(dòng)物體力” 的量度；而在障礙逐漸使運(yùn)動(dòng)停睛的減速運(yùn)動(dòng)的情況下，活力可作為“運(yùn)動(dòng)物體的力”的量度。達(dá)朗貝爾對(duì)這個(gè)爭論所作的這個(gè)“最后判決”，模糊地談到了動(dòng)量的變化和力的作用時(shí)間有關(guān)，活力的變化和力的作用距離有力，但是還沒有完全澄清這一爭論的混亂，恩格斯在1880或1881年所做的運(yùn)動(dòng)的量度 功一文中，根據(jù)當(dāng)時(shí)自然學(xué)科的最新成就，揭示了兩種量度的本質(zhì)區(qū)別。他指出，在不發(fā)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化的情況下，運(yùn)動(dòng)的傳遞和變化的情況可以用動(dòng)量去量度；但當(dāng)發(fā)生了機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式的運(yùn)

9、動(dòng)的轉(zhuǎn)化的情況下，則應(yīng)用動(dòng)能（活力）去量度。他說：“一句話，mv 是以機(jī)械運(yùn)動(dòng)來量度的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，是以機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為一定量的其它形式的運(yùn)動(dòng)的能力來是度的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。上述兩面種學(xué)派的爭論，在物體發(fā)生完過程之后，效果上是等效的。即: 死力：活力：我們有:死力的效果=活力的效果mmt建立橡型：一質(zhì)量為m 的小車在力F的作用下沿光滑水面運(yùn)動(dòng)，且在內(nèi)速度由變到。 注：這種效果的相等我們可以理解或。抽化模型：，即在兩種變量的結(jié)果下，兩邊的值是等同的，沒有高底階之分。我們對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行數(shù)學(xué)上的外理，可以脫化為二元函數(shù)。脫化結(jié)果：設(shè)D是的非空子集，稱映射f:DR為定義在D上的二元函數(shù)，記作：其中點(diǎn)集稱為該函數(shù)的定

10、義域，x,y稱為自變量，Z稱為因變量。廷展結(jié)果：定義三元函數(shù)n=(x,y,z)，(x,y,z)D，如果對(duì)D進(jìn)行擴(kuò)展R，從；那么我們有：二 微分的背景1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)某點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，在直線上引入原點(diǎn)和單位點(diǎn)（即表示實(shí)數(shù)I上的點(diǎn)），使直線為實(shí)軸，此外，再取定一個(gè)作為測量時(shí)間的零點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻t在直線上的位置的坐標(biāo)s（簡稱位置s）,這樣，運(yùn)動(dòng)完全由某個(gè)函數(shù)s=f（t）。所確定，這函數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中所出現(xiàn)的t值有定義，稱為位置函數(shù)，在最簡單的情形，該點(diǎn)所經(jīng)過的路程與花費(fèi)的時(shí)間在正比，就是說，無論取哪一段時(shí)間間隔，比值：（）總是相同，這個(gè)比值就稱動(dòng)點(diǎn)的速度，并說該點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，如果運(yùn)動(dòng)不是勻

11、速的，那么在運(yùn)動(dòng)的不同時(shí)間間隔內(nèi)，比值（）會(huì)有不同的值，這樣，把比值（）籠統(tǒng)地稱為該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度就不合適了，而需要按不同時(shí)該來考慮，那么，這種非勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻（設(shè)為）的速度如何理解又如何求解呢？首先取從時(shí)間到t這樣一個(gè)時(shí)間間隔，在這段時(shí)間內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)從位置S=f()移動(dòng)到S=f(t)，這時(shí)由（）式得的比值：（）可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在上述時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度，如果時(shí)間間隔取的較短，這個(gè)比值（）在實(shí)踐中也可以說明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度，但對(duì)于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間的速度的精確概念來說，這樣做是不夠的，而更確切地應(yīng)這樣：令t?。?）式的極限，如果這個(gè)極限存在，設(shè)為v，即：這時(shí)就把這個(gè)極限v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的（瞬間）速度抽

12、化模型：從上面討論的問題看出，非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度可以歸結(jié)如下的極限：這里x和f(x)f()分別是函數(shù)y=f(x)的自變量的增量和函數(shù)的增量因?yàn)閤相當(dāng)于是，故極限式可寫成:在自然科學(xué)和工程領(lǐng)域內(nèi)，還有許多的概念，例電流強(qiáng)度，角速度，線密度等，都可以歸結(jié)為上式極限形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們撇開這些量的物理背景，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的共性，得出導(dǎo)數(shù)結(jié)論。抽化結(jié)果：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某個(gè)定義域有定義，當(dāng)自變量x在處取得增量（點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取增量；如果與之比當(dāng)時(shí)極限存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為：即： 注：小車動(dòng)快慢的

13、問題抽化成數(shù)學(xué)問題就是變化率，導(dǎo)數(shù)的引入是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，導(dǎo)數(shù)是站在局部者待問題，也就是S 0的時(shí)間刻描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。三 積分的背景1、變力所作的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力的F沿X軸由點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b，并設(shè)F處平行于X軸，如果F為常力，則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為W=F（b-a），現(xiàn)在的問題是，F(xiàn)為變力，它連續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)X，即F=F（x），為一連續(xù)函數(shù)，此時(shí)F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功W又該如何計(jì)算呢？由假設(shè)F（x）為一連續(xù)函數(shù)，故在很小的一段位移區(qū)間上F（x）可以近似也可以看作一常量，把細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間,并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，在上変力F（x）所作的功近似等于一個(gè)常數(shù)。即 但這只是近似等于，總是與真

14、實(shí)值之間存在誤差，因此我們對(duì)每一個(gè)區(qū)間分的越窄越好，當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從a位移到b時(shí)，我們對(duì)每一個(gè)小區(qū)間上的所作的功做累加，因此力F所作的功就近似等于 撇開物理背景，對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行取極限：因此，這就產(chǎn)生了定定積分概念。定義如下：設(shè)f是定義在上的一個(gè)函數(shù)，J是一具確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)任給的q，總存在某一正數(shù)了，使得對(duì)的任佑分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有：則稱函數(shù)f在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)J稱為f在上的定積分或黎曼積分，記作： 其中,f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，a,b分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。說明：積分是對(duì)連續(xù)變動(dòng)的量的積累運(yùn)算。 2、微積分學(xué)的統(tǒng)一我們建立一個(gè)模型：設(shè)地球質(zhì)量為M，萬有引力常數(shù)為G，地球半徑為R，今有一質(zhì)量為m的火箭，由地而以初速度垂直向上發(fā)射，試求火箭高度v與時(shí)間的關(guān)系。解：如右圖建立坐標(biāo)系，火箭所受的地心吸引力為：由牛頓第二定律，有關(guān)系：orRo'于是，得方程：令,則有，原方程化為：積分后得到：以初值條件：代入，得到C=0于是或積分后得，以初值條件代入，得，所以高度與時(shí)間的關(guān)系為：由此可解出r來。綜上所述，決大部分?jǐn)?shù)學(xué)課是在物理環(huán)境下發(fā)展起來的。物理如果沒有