量子力學數(shù)學形式表述的由來和特點(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上量子力學數(shù)學形式表述的由來和特點量子力學是用數(shù)學語言來調和兩種對立的經典概念波和粒子應用到原子現(xiàn)象上描寫同一微觀客體的佯謬（表觀矛盾）的。波概念的用場在于通過波動的各部分振幅的（線性）疊加引起加強削弱的所謂干涉效應來說明原子現(xiàn)象在空間時間上的強弱分布；粒子概念的用場在于說明原子過程的單個性特色。盡管這兩者在表觀上是矛盾的，事實表明，兩種概仿可借助作用量量子充當調停者的角色對應起來，寫出如下兩種等式：普朗克（1900）愛因斯坦（1905）玻爾（1913）關系： 能量/h=頻率；愛因斯坦（1909）德布羅意（1923）薛定諤（1926）關系： 動量/h=波數(shù)兩式的左邊由粒

2、子概念組成，右邊由波概念組成。象玻恩所說，等式本身就完全不合理。何以有這種對應到今仍是個謎。但是玻恩也認為，如果放棄物理學一向接受的決定論原理，這種等式就通過量子力學的建立而合理化了?？梢哉J為，為了解釋原子現(xiàn)象在表觀上的二得性，物理學家面臨的問題是要把經典物理學作一個合理的推廣，以便把作用量量子以合理的方式合并進去。這一困難任務終于通過引進合適的數(shù)學抽象完成了。完成的過程及其特點大致如下：推導量子論的數(shù)學結構，不管用粒子圖景還是用波圖景，都靠兩個來源：經驗事實和玻爾的對應原理。但是，這種推導并不是數(shù)學意義上的推導，因為所得各方程本身就是所建立理論的假定。雖然這些假定看來很合理，最后的證明還得看

3、它們的預言和實驗符合得怎樣。（一） 矩陣力學192526年海森堡發(fā)起，隨后經玻恩和約旦協(xié)助，從粒子類似出發(fā)，在“試圖解開原子謎，必須只考慮可觀察的數(shù)量”這個觀念指導下，試圖推出量子力學的數(shù)學結構。出發(fā)點仍是經典力學的數(shù)學結構，即哈密頓的正則運動方程。根據原子物理學中公認的經驗事實（里德堡里茲原子光譜線并合規(guī)則，分立的原子能量值的存在，玻爾頻率關系），在對應原理的指引下，他們發(fā)出原子穩(wěn)定態(tài)的理論要求電子坐標、動量及其函數(shù)都可用（厄米）矩陣來表示。這個穩(wěn)定態(tài)理論構成量子力學的初始階段，在其中分立能量值的存在是通過把多周期性振動這個經典運動固定下來而得到的。他們不考慮原子內部是否有觀察不到的電子軌道

4、的存在，離開在空間時間上的客觀過程這個觀念，只用和光譜線聯(lián)系的頻率和振幅這兩種直接可觀測的數(shù)值來組成原子內部電子運動的力學量的表示，從而找到了能綜合原子光譜線經驗事實、確定原子穩(wěn)定態(tài)的量子條件。這個條件相當于位置矩陣q和動量矩陣p的乘積次序不能隨意對調的一個神秘方程，即所謂的對易關系： 這個計算規(guī)則被認為反映著與q、p相應的測量操作的不可對易性。接受這個規(guī)則，穩(wěn)定態(tài)力學性質，包括能量確定值和其他量的平均值，以及兩穩(wěn)定態(tài)之間量子躍遷過程發(fā)生的幾率（相對次數(shù)）就都能推算出來，而不帶任何任意性。這就是矩陣力學的功效。實際上也就是整個量子力學能辦到的那類功效。玻爾認為這是對應原理的第一次定量表述。由于

5、把物理量看成是具有不連續(xù)結構的矩陣，把量子躍遷過程看成不能用傳統(tǒng)概念（即不能作為空間時間上的過程）來描寫或抗拒任何描寫的不連續(xù)過程，所以矩陣力學在形式上強調了原子可觀測量的不連續(xù)性和原子客體象粒子的這一面。（二） 波力學1923年德布羅意根據類比提出電子也和光子一樣有其波粒二得性，認為和電子連在一起有個導航波在指導電子的行動，并發(fā)現(xiàn)可按前述第二個關系（動量和波數(shù)的關系）用駐波解釋原子中穩(wěn)定的玻爾電子軌道。德布羅意的導航波理論經哥派的泡里（1927）舉出一個不能和事實符合的碰撞例子給否決了。1926年初，薛定諤把電子看作實質上是一團帶電物理作松緊振動的實體波，并據此從經典力學類似出發(fā)，試圖建立原

6、子發(fā)光理論。他也按上述第二個關系發(fā)出這個物質波的振幅服從一個微分方程（薛定諤方程）。它是物質波隨時間在空間上演變的因果規(guī)律。解此方程，可以計算原子中電子的駐波式振動頻率（相對于玻爾的穩(wěn)態(tài)能量），并用經典電動力學計算以拍頻率放出的輻射頻率及強度。這樣，他就從完全新的方式（不用不連續(xù)的代數(shù)法，恢復連續(xù)的微積分法）算出和矩陣力學一致的結果，但其運算遠比矩陣力學簡便。他在一不假定有分立能級存在，二不假定有量子躍遷，三不假定穩(wěn)態(tài)方程的本征值有頻率以外的任何其也意義的堅定信念下，得到了如同玻爾的量子假定都成立那樣的相同結果。他認為物質波完全可以經作象電磁波、聲波那樣在時空上的過程，這立刻排除了象量子躍遷那

7、樣含糊的觀念，原子發(fā)光就象無線電發(fā)射器的天線發(fā)出無線電波那樣容易地理解，細銳光譜線的存在不再視為怪事。哥派接受波力學方程這個數(shù)學形式，認為它是從波類似出發(fā)得出的量子論在形式表述上的新進展，對數(shù)學上的澄清和簡化作出了莫大的貢獻。但是，他們不能接受薛定諤完全放棄粒子圖景，把電子看成一團帶電物質的連續(xù)分帽或一個波包實體這一觀點。他們論證了這一觀點不但不能保持下去，并且認為也無助于解釋普朗克輻射律。他們特別指出，愛因斯坦對普朗克律的推導不可避免地要求原子能量應取分立數(shù)值，并隨時作不連續(xù)的突變。此外，哥派認為薛定諤 力景無法直接觀測證實，并且許多事實證明不能放棄電子類似于粒子的一面。人們曾試圖跟隨薛定諤

8、把作為物質分布密度，把當作電荷分布密度，而玻恩則首先于1926年底站在粒子的立場上，把看成處時找到這個電子的幾率密度。這是對波函數(shù)作出的一個統(tǒng)計性解釋，或者說非決定論的解釋。這個解釋不久就得到哥派的一致承認。他們把看成僅是幾率知識波，而不是客體存在的實體，即不代表實在，而只代表人們對實在的不完備的知識。按哥派的解釋，一原子的物理場合的特征得由其波函數(shù)業(yè)表示，它使我們能表示出任何一個力學量（可觀測量）在它的各個可能有的數(shù)值上分布的幾率定律。服從薛定諤方程的圓滿的描寫出任何時刻的物理狀況，即它能用一個幾率性的統(tǒng)計說明來答復在經典概念上關于狀況的一切有意義的問題。（三） 整套量子力學（變換理論或表象

9、理論）1926-1927年間狄拉克和約旦發(fā)展出概括矩陣力學和波力學的普遍量子力學理論，即普遍的表象理論或變換理論?；居^念是從矩陣力學和波力學找出共同特色，連成一個體系，借助于這個體系得到量子論的各種不同形式，它們適合于在不同的特殊問題中使用，各有各的方便之處。這就說明了矩陣力學和波力學有其完全的等效笥，這個等效性最早由薛定諤本人證明了。量子力學認為關于原子體系的一切信息都是以測量結果的形式 得到的，所以原子體系的運動狀態(tài)決定于對它所做的各個測量。任何時刻體系都處于一定的運動狀態(tài)上，這個態(tài)可看成是體系的可觀察性質的總和。量子力學的特征之一是把一體系的幾個不同狀態(tài)疊加起來構造出一個新狀態(tài)，正象很

10、多具有一定單個頻率的平面波疊加起來組成聲波光波那樣。即在量子力學中體系的動力學狀態(tài)有個怪特征，即服從線性疊加大原理。根據這個疊加原理可以建立量子論的更為普遍的表示方式（表象），它可被應用到沒有經典類似的那些新的量子化體系上。線性疊加原理說的是同一客體可以存在于同時有兩個以上的狀態(tài)組成的線性疊加態(tài)，即同一客體的任兩個態(tài)可組合成組合態(tài)。這就迫使人們認為原子客體的任何狀態(tài)都不等同于客體，它只表達關于客體的信息或知識。這一原理可上某種操作步驟來實現(xiàn)。在觀測之前，客體處于態(tài)上被說成是客體同時部分地處于，部分地處于態(tài)上，客體的這兩種性質在統(tǒng)計上共存。我們不能說在觀測之前客體就已經處于或，因為在這個組合態(tài)上

11、多次測量某個可觀察量的平均值含有和的干涉項，它的存在只能被測量中客體和儀器的相互作用破壞。線性疊加原理這個基本假定允許用數(shù)學的線性空間希爾伯特空間的（復數(shù)）矢量來代表原子客體的狀態(tài)。這個空間對應于波力學中客體體系的位形空間的（復數(shù)）波函數(shù)，因為這種空間也有完備性特征，即任何一組合用的波函數(shù)的線性組合都收斂到另一個合用的波函數(shù)。在希爾伯特空間中線性獨立矢量為數(shù)無限多，即這個空間的維數(shù)是無限大，但其子空間的維數(shù)則可以是有限的。希爾伯特空間的任何矢量都等于一組線性獨立矢量即“基矢”的線性組合。這些基矢組成希爾伯特空間的坐標軸。和狀態(tài)聯(lián)系著的位置和動量的函數(shù)都算是體系的可觀察量。在量子力學中任何可觀察

12、量都用一個（厄米）算符來表示，它代表一個測量?？捎^察量的算符作用于狀態(tài)上一般就把這個態(tài)變?yōu)榱硪粋€態(tài)。能同時有確定值的兩個可觀察量的算符對易；不同同時有確定值的兩個可觀察量的算符不可對易。成對的所謂共軛量A及B的對易關系是： 體系的任一可觀察量在這個量的本征態(tài)上才有其確定值，這個確定值叫這個量的本征值。可對易量有共同本征態(tài)，所以可同時有確定值，不可對易量則否。任何可觀察量的一組本征態(tài)在希爾伯特空間中是一組線性獨立矢量，可取為希爾伯特空間的基矢。對有經典類似的問題來說，用經典力學的哈密頓函數(shù)H，在正則方程的啟示下，得以建立原子體系的可觀察量的統(tǒng)計平均值隨時間演變的因果律方程。但這個因果律不是原子客

13、體本身在空間時間上行動的因果律，而只是確定幾率振幅的統(tǒng)計知識的因果律。所以量子力學本質上是幾率振幅的理論。薛定諤 主程僅系其形式的一種，是在能量已知后求位置分布的幾率振幅的理論。在其他表示形式上，已知量可以不是能量，所求的可以不是位置禁上的分布，命名 如可以是動量坐標上分布的幾率振幅。這些普遍性問題都能用變換理論來解出。變換理論反映了原子現(xiàn)象測量的特色。以疊加原理為基礎的這個統(tǒng)計理論，不但預言測量結果的各個可能數(shù)值，也預言在測量活動中某特殊數(shù)值出現(xiàn)的幾率。實驗安排可制備出某力學量A的本征態(tài)，隨后測量另一不與之對易的力學量B時，政府只能預言多次等同實驗所測得B的各個可能結果的幾率分布，即各種結果

14、發(fā)生的相對次數(shù)。它由原態(tài)按疊加原理用B的各個本征態(tài)展開，各態(tài)的系數(shù)作為幾率振幅而給出。這個系數(shù)就是希爾伯特空間中原態(tài)矢量和B的相應本征態(tài)的標量積，即原態(tài)在這個本征矢上的投影。但當這個觀察已被做出且明確得到某值時，就不得不認為測量以前的原有狀態(tài)立刻不連續(xù)的突變到量B的該本征態(tài)上。很多人不能接受測量活動導致的這種狀態(tài)突變即狀態(tài)收縮。它使知識因果律在測量時不能與此后的知識因果律連結上。這個必然要有的狀態(tài)突變或因果律中斷的結論反映著“觀察本身不連續(xù)地改變了幾率函數(shù)，它人一切可能事件中挑選出實際上發(fā)生的那一個。因為通過觀察，我們對體系的知識不連續(xù)地改變了，其數(shù)學表示也發(fā)生了不連續(xù)的改變，所以就有個“量子

15、跳躍”。海森堡強調，我們的知識肯定能突然改變，這個事實就是用“量子跳躍”這個詞的根據。所以，從“可能的”躍遷到“實在的”躍遷是在觀測活動中發(fā)生的；可以說，一旦客體和測量裝備發(fā)生了相互作用，從“可能的”到“實在的”這個躍遷也隨即發(fā)生。顯然，哥派的這一解釋完全是主觀的。由以上可觀，在量子力學里原子客體的狀態(tài)可改變的方式有二：其一，在未受觀察的干擾時，在嚴密的因果律支配著；其二，在對處于某狀態(tài)上的客體做可觀察量Q的測量時刻，這個狀態(tài)立刻收縮到Q的某一個本征態(tài)上，觀察到這一結果的幾率由原態(tài)按態(tài)疊加原理所作的展開式中這個本征成的系數(shù)決定。后一種改變是不連續(xù)的突變，其過程本身量子力學不能描寫（這點愛因斯坦

16、很反對，他要求量子力學應該能描寫在一切量子躍遷過程里粒子究竟干了些什么），這被認為是無決定性的因果律可循。這就意味著，量子力學定律只能提供對一原子體系相斷做觀測所得結果之間的幾率聯(lián)系。整個量子力學只不過是從某一時刻的一個實驗結果計算后一時刻實驗結果所發(fā)生的幾率的一種方法。哥派認為，量子力學只能做到這一點，不能象經典力學中那樣可以用客觀實在來表述。由此可知，在相繼做出的兩個實驗之間的時期內不必要求量子力學的狀態(tài)函數(shù)（波函數(shù)）有任何物理意義。在形式上強調波和連續(xù)性方面的波力學和在形式上強調粒子和不連續(xù)性方面的矩陣力學是整套量子力學中各種等效形式的兩個極端。不管哪一形式都有著描寫關于原子客體的知識隨時間演變的嚴格數(shù)學定律。但是，這個因果律卻不是描述客體本身在空間時間上行動的因果律，并且這個知識因果律也不能貫徹到底，因為每次觀測都打斷知識工事件的連續(xù)演變程序，并突然引進新的起始條件。這正是量子力學的特色。這個狀態(tài)突變或因果鏈中斷既然是由測