山東省2014屆理科數學一輪復習試題選編：數列的綜合問題(教師版)

1、山東省2014屆理科數學一輪復習試題選編：數列的綜合問題一、選擇題 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數學（理）試題）已知定義在R上的函數f(x),g(x)滿足,且(x)g(x),若有窮數列的前n項和等于126,則n等于（）A4B5C6D7【答案】C （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數學理試題）已知函數f(x)=,把函數g(x)=f(x)-x的零點按從小到大的順序排列成一個數列,則該數列的通項公式為（）AB CD【答案】B 若0x1,則1x10,得f(x)=f(x1)+1=2x1, 若1x2,則0x11,得f(x)=f(x1)+1=2x2+1 若2x3,則1x12,得f(x)

2、=f(x1)+1=2x3+2 若3x4,則2x13,得f(x)=f(x1)+1=2x4+3 以此類推,若nxn+1(其中nN),則f(x)=f(x1)+1=2xn1+n, 下面分析函數f(x)=2x的圖象與直線y=x+1的交點 很顯然,它們有兩個交點(0,1)和(1,2), 由于指數函數f(x)=2x為增函數且圖象下凸,故它們只有這兩個交點. 然后將函數f(x)=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數f(x)=2x1和y=x的圖象, 取x0的部分,可見它們有且僅有一個交點(0,0). 即當x0時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=0. 取中函數f(x)=2x1和y=x圖象1x0

3、的部分,再同時向上和向右各平移一個單位, 即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,顯然,此時它們仍然只有一個交點(1,1). 即當0x1時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=1. 取中函數f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進行, 即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的圖象,顯然,此時它們仍然只有一個交點(2,2). 即當1x2時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=2. 以此類推,函數y=f(x)與y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交點依次為(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)x=0在(2,3,(3,4,(n,n+1上的

4、根依次為3,4,n+1. 綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為 0.,1,2,3,4, 其通項公式為,選B 二、填空題 （山東省濟南市2013屆高三上學期期末考試理科數學）根據下面一組等式 可得 _.【答案】 【 解析】;,由歸納推理可知. （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數學理試題）對大于l的自然數m的三次冪可用奇數進行以下方式的“分裂”:23,仿此,若m3的“分裂數”中有一個是59,則m的值為_.【答案】8 即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m增加1,累加的奇數個數便多1,我們不難計算59是第30個奇數,若它是m的

5、分解,則1至m-1的分解中,累加的奇數一定不能超過30個,故可列出不等式,進行求解,由且,解得. （山東省濟寧市2013屆高三第一次模擬考試理科數學 ）對大于或等于2的自然數m的n次方冪有如下分解式:22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+1124=7+9此規(guī)律,54的分解式中的第三個數為 _【答案】125 【解析】由題意可知,所以54的分解式中的第三個數為. （山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試數學（理）試題）對正整數n,設曲線在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為,則的前n項和是_.【答案】 【解析】曲線,曲線導數為,所以切線效率為,切點為,

6、所以切線方程為,令得,即,所以,所以,是以2為首項,為公比的等比數列,所以. （山東省淄博市2013屆高三復習階段性檢測（二模）數學（理）試題）如圖,一個類似楊輝三角的數陣,請寫出第行的第2個數為_.【答案】 每行的第二個數構成一個數列,由題意知,所以 ,等式兩邊同時相加得 , 所以. （2011年高考（山東理）設函數,觀察:,根據以上事實,由歸納推理可得:當且時,_.【答案】解析:, ,以此類推可得. 答案應填: 三、解答題 （山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試理科數學）(本小題滿分】2分)某工廠為擴大生產規(guī)模,今年年初新購置了一條高性能的生產線,該生產線在使用過程中的維護費用會逐年增

7、加,第一年的維護費用是4萬元,從第二年到第七年,每年的維護費用均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年的維護費用比上年增加25%(I)設第n年該生產線的維護費用為,求的表達式;()若該生產線前n年每年的平均維護費用大于12萬元時,需要更新生產線,求該生產線前n年每年的平均維護費用,并判斷第幾年年初需要更新該生產線?【答案】 （2011年高考（山東理）等比數列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個數,且中的任何兩個數不在下表的同一列.(1)求數列的通項公式;(2)若數列滿足:,求數列的前項和.【答案】解析:()由題意可知,公比, 通項公式為; () 當時, 當時 故 另解:令,即 則 故 . （山

8、東省菏澤市2013屆高三第二次模擬考試數學（理）試題）已知函數f(x)=ax的圖象過點(1,),且點(n-1,)(nN*)在函數f(x)=ax的圖象上.(1)求數列an的通項公式;(2)令bn=an+1-an,若數列bn的前n項和為Sn,求證:Sn5.【答案】(1)函數f(x)=ax的圖象過點(1,), a=,f(x)=()x. 又點(n-1,)(nN*)在函數f(x)=ax的圖象上,從而=,即an=. (2)證明:由bn=-=得, (3)Sn=+, 則Sn=+, 兩式相減得:Sn=+2(+)-, Sn=5-, Sn5 （2013年山東臨沂市高三教學質量檢測考試理科數學）已知數列的前n項和滿足

9、,設.(I)求證:數列是等差數列,并求數列的通項公式;(II)按以下規(guī)律構造數列,具體方法如下:,第n項bn由相應的中2n-1項的和組成,求數列的通項.【答案】 （山東省濰坊市2013屆高三第一次模擬考試理科數學）已知數列的各項排成如圖所示的三角形數陣,數陣中每一行的第一個數構成等差數列,是的前n項和,且( I )若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列,且公比相等,已知,求的值;()設,當時,對任意,不等式恒成立,求t的取值范圍.【答案】解: ()為等差數列,設公差為 設從第3行起,每行的公比都是,且, 1+2+3+9=45,故是數陣中第10行第5個數, 而

10、() 令, 當時上為減函數, 為遞減數列,的最大值為 不等式變?yōu)楹愠闪?設 則,解得 （山東省青島市2013屆高三上學期期中考試數學（理）試題）已知函數的圖象是曲線,點是曲線上的一系列點,曲線在點處的切線與軸交于點. 若數列是公差為的等差數列,且.()分別求出數列與數列的通項公式;()設為坐標原點,表示的面積,求數列的前項和.【答案】解:(), 曲線在點處的切線方程: 令, 該切線與軸交于點, （山東省菏澤市2013屆高三5月份模擬考試數學（理）試題）已知數列an的首項為a1=5,前n項和為Sn,且.(1)證明數列是等比數列;(2)令是函數的導函數,令,求數列 的通項公式;(3)若成立,試求n

11、的最大值.【答案】 （山東省2013屆高三高考模擬卷（一）理科數學）已知數列的前項和為,且滿足,數列為等差數列,且,.(1)求數列與的通項公式;(2)若,求的值.【答案】【解析】(1)由題意得, 當時, 又,所以 設等差數列的公差為.由, 可得,解得. 所以,所以. (2)由(1)得,當時,當時, 所以當時,; 當時, . 記, , -得, 故, 則. 因為,所以. （2013山東高考數學（理）設等差數列的前n項和為,且,.()求數列的通項公式;()設數列前n項和為,且 (為常數).令.求數列的前n項和.【答案】解:()設等差數列的首項為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所

12、以時, 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數列數列的前n項和 （山東省青島市2013屆高三第一次模擬考試理科數學）已知,數列滿足,數列滿足;又知數列中,且對任意正整數,.()求數列和數列的通項公式;()將數列中的第項,第項,第項,第項,刪去后,剩余的項按從小到大的順序排成新數列,求數列的前項和.【答案】解:, 又由題知:令 ,則, 若,則,所以恒成立 若,當,不成立,所以 ()由題知將數列中的第3項、第6項、第9項刪去后構成的新數列中的奇數列與偶數列仍成等比數列,首項分別是,公比均是 （山東省濟寧市2013屆高三4月聯考理科數學）已知數列中,(1)求數列的通項公式(2)若數列滿足數列的

13、前項和為若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.【答案】 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數學（理）試題）各項均為正數的等比數列an中,已知a1=2,a5=512,Tn是數列l(wèi)og2an的前n項和.(I)求數列an的通項公式;()求Tn;()求滿足的最大正整數n的值.【答案】 所以數列是以為首項,公比為4的等比數列 （山東省淄博市2013屆高三復習階段性檢測（二模）數學（理）試題）等比數列滿足的前n項和為,且(I)求;(II)數列的前n項和,是否存在正整數m,使得成等比數列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.【答案】(本小題滿分12分) 解: (),所以公比 得 所以 ()由(

14、)知 于是 假設存在正整數,使得成等比數列,則 , 可得, 所以 從而有, 由,得 此時. 當且僅當,時,成等比數列 （山東省濱州市2013屆高三第一次（3月）模擬考試數學（理）試題）某產品在不做廣告宣傳且每千克獲利元的前提下,可賣出千克.若做廣告宣傳,廣告費為()千元時比廣告費為()千元時多賣出千克.()當廣告費分別為1千元和2千元時,用表示銷售量;()試寫出銷售量與的函數關系式;()當時,要使廠家獲利最大,銷售量和廣告費分別應為多少?【答案】 （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數學理試題）已知公差大于零的等差數列an的前n項和Sn,且滿足:a2a4=65,a1+a5=18.(1)若

15、1i21,a1,ai,a21是某等比數列的連續(xù)三項,求i的值;(2)設,是否存在一個最小的常數m使得b1+b2+bnm對于任意的正整數n均成立,若存在,求出常數m;若不存在,請說明理由.【答案】 （2009高考(山東理)）等比數列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立【答案】解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數列,所以,公比為,（2）當b=2時，, 則,所以下面用數學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設當時不等式

16、成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. （山東省臨沂市2013屆高三5月高考模擬理科數學）已知數列滿足(為常數),成等差數列.()求p的值及數列的通項公式;()設數列滿足,證明:.【答案】解:()由 得 成等差數列, 即得 依題意知, 當時, 相加得 又適合上式, 故 ()證明: 若則 即當時,有 又因為 故 ()法二:要證 只要證 下面用數學歸納法證明: 當時,左邊=12,右邊=9,不等式成立; 當時,左邊=36,右邊=36,不等式成立. 假設當時,成立. 則當時,左邊=43k+1=343k39k2, 要證39k29(k+1)2 , 只要正3k2(k+1)2 , 即證2k2-2k-10. 而當k即且時,上述不等式成立. 由可知,對任意,所證不等式成立. （山東省臨沂市2013屆高三第三次模擬考試 理科數學）已知當時,二次函數取得最小值,等差數列的前n項和,.()求數列的通項公式;()數列的前n項和為且,證明.【答案】()當時, 當時, 又適合上式,得 . 由已知 解方程組得 . (), -得 , . 則, , , 當時, , 綜上,得. （2011年高考（山東理） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設計要求容器的容積為立方米,且.假設該容器的建造費用僅與其表面積