廣東省華南師范大學(xué)附中2013屆高三5月綜合測(cè)試數(shù)學(xué)理試題

1、2013年華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三綜合測(cè)試數(shù)學(xué)（理） 2013.5.23第卷（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的1. 已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限 2. 已知全集，則A. ； B. ； C. ； D. 3. 公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則A. 4； B. 5； C. 6； D. 7 4. 若滿足約束條件，則的取值范圍是A. ； B. ； C. ； D. 5. 分別是正方體的棱的中點(diǎn)，如圖是過(guò)和的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾

2、何體的主視圖為6. 若將函數(shù)表示為，其中，為實(shí)數(shù)，則A. 10； B. 20； C. ； D. 7. 在中，已知向量，則的面積為A. ； B. ； C. ； D. 8. 對(duì)應(yīng)定義域和值域均為的函數(shù)，定義：，方程的零點(diǎn)稱為的階不動(dòng)點(diǎn)。 設(shè)，則的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A. ； B. ； C. ； D. 第卷（共110分）Ks5u二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。（一）必作題（913題）9. 雙曲線的焦距是 Ks5u10. 11. 已知，則的值為 12. 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序， 則輸出的結(jié)果是 13. 已知命題“，”是假命題， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （二）

3、選作題（請(qǐng)考生在以下兩個(gè)小題中任選一題作答）14. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選作題）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。已知圓的方程是，則它的圓心到直線（為參數(shù)）的距離等于 15. （幾何證明選講選作題）如圖，已知是外一點(diǎn)，為的切線，為切點(diǎn)，割線經(jīng)過(guò)圓心，若，則的半徑長(zhǎng)為 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。16. （滿分12分）已知函數(shù)，的圖像的一部分，如圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的的值 17.（滿分12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加

4、重，大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病，為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表。 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為， （1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （2）是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由； （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其它方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望以及方差。 下面的臨界值表僅供參考： 18. （滿分14分）數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，、且是方程的兩根，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列、的

5、通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和19. （滿分14分）如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，分別是、的中點(diǎn)，平面，（1）證明：平面 Ks5u（2）若，求與平面所成角的正弦值 Ks5u20. （滿分14分）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，（1）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；（2）求線段的長(zhǎng)的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。 21. （滿分14分）已知函數(shù)，（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對(duì)于任意的，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，求證：，2013年華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三綜合測(cè)試答

6、案一、選擇題：18： CDAD BBAC；8. ，其圖像為兩條線段組成的折線，如圖，與有兩個(gè)交點(diǎn)，故的一階不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為2； ，其圖像為四條線段組成的折線，如圖，與有4個(gè)交點(diǎn)，故的2階不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，由此可否定選項(xiàng)B、D； ，其圖像為八條線段組成的折線，如圖，與有8個(gè)交點(diǎn)，故的3階不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，由此可否定選項(xiàng)A； 二、填空題： 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. 4；三、解答題16. 解：（1）由圖像知，得， 由對(duì)應(yīng)點(diǎn)得，當(dāng)時(shí)，又，。 （2） ， 當(dāng)，即時(shí)，的最大值為； 當(dāng)，即時(shí)，的最小值為；17. （1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下： （2）解：因?yàn)椋?即，又，

7、那么，我們有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)。（3）的所以可能取值為0，1，2，3. ； ； ； 分別列如下： 則， 。 的數(shù)學(xué)期望與方差分別為，。18. 解（1）由，且得：，。，。在中，令得：，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，。（2） ， ， 兩式錯(cuò)位相減得：， 。19. （1）證明：連接，分別為的中點(diǎn)， 又，且，四邊形為平行四邊形。即，平面，平面。（2）解一：由（1）知，平面，平面，又，。 分別以、為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，從而，又是平面的法向量，是所求角為，則 所以與平面所成角的正弦值為。解二：作過(guò)C的母線，連接，則是上底面圓的直徑，連接， 得，由（1）已知，平面，平面，平面，連接，則為 與平面所成的角。設(shè)， 則， 在中，所以與平面所成角的正弦值為。20. 解（1），令，則由題設(shè)可知， 直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以 ，（），從而有。（2）由題設(shè)可以得到直線的方程為，直線的方程為，ks5u由， 由，直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)。 又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，即，故線段長(zhǎng)的最小值是。（3）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則， 故有，又，所以以為直徑的圓的 方程為， 令， 解得，或，所以以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或。注：寫(xiě)出一個(gè)坐標(biāo)即可給分。21. 解：（1）由得：，所以，由，得，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。