初中數(shù)學竟賽輔導資料1-39

1、初中數(shù)學竟賽輔導資料(1)數(shù)的整除（一）內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整數(shù)整除.一些數(shù)的整除特征除 數(shù) 能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除 4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324) 11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等

2、)能被7整除的數(shù)的特征： 抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)的2倍其差能被7整除。如 1001100298（能被7整除） 又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)其差能被11整除如1001100199（能11整除） 又如10285102851023102399（能11整除）例1已知兩個三位數(shù)和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，能被9整除，y=6. 328567，x=3例2己知五位數(shù)能被12整除，求X解：五位數(shù)能被12整除，必然同時能被3和4整除，當1234X能被3整除時，x=2，5，8 當末兩位能被4整除時，X0，

3、4，8X8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可， 五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）59318591287327610101102962若四位數(shù)能被3整除，那么 a=_3若五位數(shù)能被11整除，那么X_-4當m=_時，能被25整除5當 n=_時，能被7整除6能被11整除的最小五位數(shù)是_,最大五位數(shù)是_7能被4整除的最大四位數(shù)是_，能被8整除的最小四位數(shù)是_88個數(shù)：125，756，1011

4、，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號）：6_,8_,9_,11_9 從1到100這100個自然數(shù)中，能同時被2和3整除的共_個，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共_個。10 由1，2，3，4，5這五個自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個？為什么？11 己知五位數(shù)能被15整除，試求A的值。12 求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13在十進制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是（1989年全國初中聯(lián)賽題）初中數(shù)學競賽輔導資料（2）倍數(shù)約數(shù)內(nèi)容提要1兩個整數(shù)A和B（B0），如果B能整除A（記作BA），那么

5、A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如315，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2因為0除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3整數(shù)A（A0）的倍數(shù)有無數(shù)多個，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，0，±A，±2A，都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有±5，±10，。4整數(shù)A（A0）的約數(shù)是有限個的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其中必包括±1和±A。例如6的約數(shù)是±1，±2，±3，±6。5通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾

6、正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)除數(shù)×商數(shù)余數(shù)若用字母表示可記作：ABQR，當A，B，Q，R都是整數(shù)且B0時，AR能被B整除例如233×72則232能被3整除。例題例1 寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計其個數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，323

7、22×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其規(guī)律是：設Aambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))那么合數(shù)A的正約數(shù)的個是（m+1）(n+1)例如 求360的正約數(shù)的個數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：36023×32×5，360的正約數(shù)的個數(shù)是（31）×（21）×（11）24（個）例2 用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：2423×3，902×32×5最大公約

8、數(shù)是2×3， 記作（24，90）6 最小公倍數(shù)是23×32×5360， 記作24,90=360例3 己知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公約數(shù) （30，42）6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6 經(jīng)檢驗1和2不合題意，N6，3例4一個數(shù)被10余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：10,9,8=360,所以所求的數(shù)是359練習2112的正約數(shù)有_,16的所有約數(shù)是_2分解質(zhì)因數(shù)300_,30

9、0的正約數(shù)的個數(shù)是_3 用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4 一個三位數(shù)能被7，9，11整除，這個三位數(shù)是_5 能同時被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_最大三位數(shù)是_6 己知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A_7 寫出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答_8 一個長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數(shù)寸作國邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9 一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步跨4階，那么最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4

10、階，如果每步跨6階，那么最后剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？初中數(shù)學競賽輔導資料（3）質(zhì)數(shù)合數(shù)內(nèi)容提要1正整數(shù)的一種分類：質(zhì)數(shù)的定義：如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)）。合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。2 根椐質(zhì)數(shù)定義可知1) 質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個正約數(shù)， 2) 質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個是2，如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個是2，3任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。例題例1

11、兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a (a5)。求這兩個數(shù)解：兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)，必有一個是2所求的兩個質(zhì)數(shù)是2和a2。例2己知兩個整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m, 求這兩個數(shù)解：質(zhì)數(shù)m只含兩個正約數(shù)1和m, 又（1）（m）=m，所求的兩個整數(shù)是1和m或者1和m.例3己知三個質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值解：分解質(zhì)因數(shù)：302×3×5適合條件的值共有： 應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2×3×5×7那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個連續(xù)正整

12、數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N2×3×5，那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n 個。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N2，N3，N4，N(n+1)就是所求的合數(shù)。練習31小于100的質(zhì)數(shù)共_個，它們是_2己知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P，Q3己知兩個素數(shù)的差是41，那么它們分別是4 如果兩個自然數(shù)的積等于19，那么這兩個數(shù)是如果兩個整數(shù)的積等于73，那么它們是如果兩個質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是5兩個質(zhì)數(shù)x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_

13、,或x=_,y=_.6三個質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990. 那么7能整除311513的最小質(zhì)數(shù)是8己知兩個質(zhì)數(shù)A和B適合等式AB99，ABM。求M及的值9試寫出6個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。10具備什么條件的最簡正分數(shù)可化為有限小數(shù)？11求適合下列三個條件的最小整數(shù)：1)大于12)沒有小于10的質(zhì)因數(shù)3)不是質(zhì)數(shù)12某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個質(zhì)數(shù)是13，一個質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個質(zhì)數(shù)是。初中數(shù)學競賽輔導資料（4）零的特性內(nèi)容提要一 零既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是介于正數(shù)和負數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1零是

14、表示具有相反意義的量的基準數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高；收支衡可記作結(jié)存0元。2 零是判定正、負數(shù)的界限。若a 0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則 a0記作a0 a是正數(shù)讀作a0等價于a是正數(shù)b<0 b 是負數(shù)c0 c是非負數(shù)（即c不是負數(shù)，而是正數(shù)或0）d0 d是非正數(shù) (即d不是正數(shù)，而是負數(shù)或0)e0 e不是0（即e不是0，而是負數(shù)或正數(shù)）3在一切非負數(shù)中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數(shù)都是非負數(shù)，它們的最小值都是0。記作：|a|0，當a=0時，a的值最小，是0； a20，a2有最小值0（當a=0時）。3 在一切非正數(shù)中有一個最大值是0。例如|X|

15、0，當X0時，|X|值最大，是0，（X0時都是負數(shù)），（X2）20，當X2時，（X2）2的值最大，是0。二 零具有獨特的運算性質(zhì)1乘方：零的正整數(shù)次冪都是零。2除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0沒有倒數(shù)，分數(shù)的分母不能是0。3乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即a×00，反過來如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。要使等式xy=0成立,必須且只需x=0或y=0。4 加法互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。反過來也成立。 即a、b互為相反數(shù)a+b=05 減法兩個數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負來判定，若a-b=0,則a=b; 若a-b0,則ab; 若a-b0,則a

16、b。反過來也成立，當a=b時，a-b=0；當a>b時,a-b>0；當a<b時,a-b<0.三 在近似數(shù)中，當0作為有效數(shù)字時，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過5厘米； 后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米。可用不等式表示其值范圍如下：1.55近似數(shù)1.6<1.651.595近似數(shù)1.60<1605例題例1 兩個數(shù)相除，什么情況下商是1？是1？答：兩個數(shù)相等且不是0時，相除商是1；兩數(shù)互為相反數(shù)且不是0時，相除商是1。例2 絕對值小于3的數(shù)有幾個？它們的和是多少？為什么？答

17、：絕對值小于3的數(shù)有無數(shù)多個，它們的和是0。因為絕對值小于3的數(shù)包括大于3并且小于3的所有數(shù)，它們都以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，而互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。例3 要使下列等式成立X、Y應取什么值？為什么？X（Y1）0，X3（Y2）20答：根據(jù)任何數(shù)乘以0都得0，可知當X0時，Y可取任何數(shù)；當Y1時，X取任何數(shù)等式X（Y1）0都是能成立?；橄喾磾?shù)相加得零，而X30，（Y2）20，它們都必須是0，即X30且Y20，故當X3且Y2時，等式X（Y2）20成立。練習41 有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示: b 0 a比較下列左邊各數(shù)與0的大?。ㄓ?、號連接）2a 0, 3b 0, 0, 0，a2 0, b3 0

18、,a+b 0, ab 0, ab 0, (2b)3 0, 0, 02a表示有理數(shù)，下列四個式子，正確個數(shù)是幾個？答：個。a|>a, a2> a2, a>a, a+1>a3x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：_句。1）（x2）2有最小值0，2）x+3|有最大值0，3）2x2有最大值2， 4）3x1有最小3。4絕對值小于5的有理數(shù)有幾個？它們的積等于多少？為什么？6 要使下列等式成立，字母X、Y應取什么值？0，X（X3）0，X1（Y3）207 下列說法正確嗎？為什么？1）a的倒數(shù)是； 2）方程（a1）X3的解是X3）n表示一切自然數(shù)，2n1表示所有的正奇數(shù)；4）

19、如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理數(shù) )8 X取什么值時，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？ X（X1）X（X1）（X2）初中數(shù)學競賽輔導資料（5）an的個位數(shù)內(nèi)容提要1整數(shù)a的正整數(shù)次冪an,它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個位數(shù)字相同。例如20023與23的個位數(shù)字都是8。20，1，5，6，的任何正整數(shù)次冪的個位數(shù)字都是它們本身。例如57的個位數(shù)是5，620的個位數(shù)是6。32，3，7的正整數(shù)次冪的個位數(shù)字的規(guī)律見下表：指數(shù)12345678910底數(shù)224862486243397139713977931793179其規(guī)律是：2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是按2、4、8、6四

20、個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與21，24K2與22，24K3與23，24K4與24的個位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也有類似的性質(zhì)。44，8，9的正整數(shù)次冪的個位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用422，823，932轉(zhuǎn)化為以2、3為底的冪。5綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4Km與am的個位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù)。例題例1 20032003的個位數(shù)是多少？解：20032003與32003的個位數(shù)是相同的，20034×5003，32003與33的個位數(shù)是相同的，都是7，2003的個位數(shù)是7。例2 試說明6320001472002的和能被10整除的理由解：200

21、04×500，20024×5002632000與34的個位數(shù)相同都是1，1472002與72的個位數(shù)相同都是9，6320001472002的和個位數(shù)是0，6320001472002的和能被10整除。例3 K取什么正整數(shù)值時，3k2k是5的倍數(shù)？解：列表觀察個位數(shù)的規(guī)律K12343的個位數(shù)39712的個位數(shù)24863k2k的個位數(shù)55從表中可知，當K1，3時，3k2k的個位數(shù)是5，am與a4n+m 的個位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）， 當K為任何奇數(shù)時，3k2k是5的倍數(shù)。練習51 在括號里填寫各冪的個位數(shù)（K是正整數(shù)）220的個位數(shù)是（）45的個位數(shù)是（） 330的

22、個位數(shù)是（） 87的個位數(shù)是（） 74K+1的個位數(shù)是（ ）31179的個位數(shù)是（） 216×314的個位數(shù)是（）32k-172k-1的個位數(shù)是（）72k32k的個位數(shù)是（）74k-164k-3的個位數(shù)是（） 7710×3315×2220×5525的個位數(shù)是（）2 目前知道的最大素數(shù)是22160911，它的個位數(shù)是。3 說明如下兩個數(shù)都能被10整除的理由。 5353333319871989199319914 正整數(shù)m取什么值時，3m1是10的倍數(shù)？5 設n是正整數(shù)，試說明2 n 7n+2能被5整除的理由。6 若a4的個位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4

23、的個位數(shù)是1，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4的個位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a2k-1的個位數(shù)是7，那么整數(shù)a的個位數(shù)是712+22+32+92的個位數(shù)是，12+22+32+192的個位數(shù)是，12+22+32+292的個位數(shù)是。8. a,b,c是三個連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116 （B）15129 （C）15144 （D）15321初中數(shù)學競賽輔導資料（6）數(shù)學符號內(nèi)容提要數(shù)學符號是表達數(shù)學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學符號一般可分為：1元素符號：通常用小寫字母表示數(shù)，用大寫字母表

24、示點，用和表示園和三角形等。2關(guān)系符號：如等號，不等號，相似，全等，平行，垂直等。3運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4邏輯符號：略5約定符號和輔助符號：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)部份記作Z（），而它的余數(shù)記作R（）， 那么Z（）3，R（）1；又如設表示不大于x的最大整數(shù)，那么5，6，0，3。正確使用符號的關(guān)健是明確它所表示的意義（即定義）對題設中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確的定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。例題例1 設表示不大于Z的最大

25、整數(shù)，n>為正整數(shù)n除以3的余數(shù) 計算：4.0713;2004 14.7。解：原式4（3）100 原式14202例2 求19871988的個位數(shù) 說明1987198919931991能被10整除的理由解：設N（x）表示整數(shù)x的個位數(shù)， N（19871988）N（74×497）N（74）1 N（19871989）N（19931991）N（74×4971）N（34×4973）N（71）N（33）7701987198919931991能被10整除 由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明瞭。例3 定義一種符號的運算規(guī)則為：ab=2a+b試計算：53（17）4解：532

26、×5313（2×17）4942×9422例4 設ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x解：由題設可知：等式3x=2(-8)就是3（3x7）22×（8）79x+21=18x=4練習61設Qx >表示有理數(shù)x 的整數(shù)部分，那么Q2.15_Q12.3>=_ Q<0.03_Q_2設n表示不小于n的最小整數(shù)，那么4.3_2.3_ 2_ 0.30.3_3設m表示不大于m的最大整數(shù) 若m=2 則m=_ 若n= 3.5則n=_ 若1Y0則Y_ 若7b<8則b_ 若x=4 則x 若nC<n1則C_4正整數(shù)a和b中，設a除以b的商

27、的整數(shù)部分記作Z（）余數(shù)記作R（），ab的個位數(shù)記作n（ab）,寫出下列各數(shù)的結(jié)果： R()R()_ Z()Z()_ n(19891990)=_5設n！表示自然數(shù)由1到n的連乘積。例如5！1×2×3×4×5120。計算：120÷3!6設= a1b2a2b1 計算：7定義一種符號的運算法則為ab= 那么32_23_ （12）3_（3）（10）_8a,b都是正整數(shù)，設a b表示從a起b個連續(xù)正整數(shù)的和。 例如23234；545678。 己知：X52005，求X9 設x表示不大于x數(shù)的最大整數(shù)且xx，求10 設a表示不大于數(shù)a的最大整數(shù)，例如1，2那

28、么，3x+12x-的所有的根的和是（1987年全國初中聯(lián)賽題）初中數(shù)學競賽輔導資料（7）用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1 用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡明而普遍地表達出來，從具體的數(shù)字計算到用抽象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。2 用字母表示數(shù)時，字母所取的值，應使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實際問題有意義。例如寫出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù) 解：當a0時，a的倒數(shù)是 設n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。3 命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒有說明的情況下，它表示所學過的數(shù)，并且能使題設有意義。例1化簡：x 3（x<3） | x+5| 解：x<3,x3<0， x

29、3（x3）x3當x5時，x5x5，當x <5時，x5x5（本題x 表示所有學過的數(shù)）例2己知十位上的數(shù)是a,個位數(shù)是b ,試寫出這個兩位數(shù)解：這個兩位數(shù)是10a+b(本題字母a、b的取值是默認題設有意義,即a 表示1到9的整數(shù)，b表示0到9的整數(shù))4 用字母等式表示運算定律、性質(zhì)、法則、公式時，一般左邊作為題設，所用的字母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對變形到右邊所增加的字母的取值加以說明。例如用字母表示：分數(shù)的基本性質(zhì)分數(shù)除法法則解：分數(shù)的基本性質(zhì)是(m0)， (m0) a作為左邊的分母不另說明a0，(d0) d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。5 用字母等式表示運算定律、性質(zhì)、

30、法則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時字母取值范圍有變化時應加說明。例如：乘法分配律，順用a(b+c)=ab+ac, 2=逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.145.25×3.14=3.14(6.255.25)=3.14路程S=速度V×時間T， V=(T0)， T=(V0)6 用因果關(guān)系表示的性質(zhì)、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號法則 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆絕對值性質(zhì) 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a則a0)7 有規(guī)律的計算，?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果，或概括

31、成公式。例題例1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個？不同的n位數(shù)呢？ 解：不同的五位數(shù)可從最大 五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù)，即99999-9999=90000. 推廣到n位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù),從1到9共9個， 記作9×1二位正整數(shù)從10到99共90個， 記作9×10三位正整數(shù)從100到999共900個， 記作9×102四位正整數(shù)從1000到9999共9000個， 記作9×103 (指數(shù)3=4-1) n位正整數(shù)共9×10 n-1個例2 _A C D E B在線段AB上加了3個點C、D、E后，圖中共有幾條線段？

32、 加n點呢？解：以A為一端的線段有： AC、AD、AE、AB 共4條以C為一端的線段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3條以D為一端的線段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1條共有線段1+2+3+4=10 (條) 注意：3個點時，是從1加到4， 因此 如果是n個點，則共有線段1+2+3+n+1= =條練習71 右邊代數(shù)式中的字母應取什么值？ S正方形=a2 3的倍數(shù)3n2用字母表示：一切奇數(shù)所有正偶數(shù)一個三位數(shù) n個a相乘的結(jié)果負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).3寫出： 從1開始，n 個自然數(shù)的和是_ 從11開始到2n+1 連續(xù)奇數(shù)的和

33、( n>5)是_ m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數(shù)是_4已知999=1031, 9999=1041, 那么各位數(shù)都是9的n位數(shù)=_5 計算112= 1112= (n10時)=_6 寫出圖中所有三角形并計算其個數(shù)，如果線段上有10個點呢？ 初中數(shù)學競賽輔導資料（8）抽屜原則內(nèi)容提要1 4個蘋果放進3個抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個抽屜放進的蘋果不少于2個（即等于或多于2個）；如果7個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少于3個（即的等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2 如果用表示不小于的最小整數(shù)，例如3， 。那么抽屜原則可定義為：m個元素分成n個集合（m、n為正整數(shù)m&g

34、t;n）,則至少有一個集合里元素不少于個。3 根據(jù)的定義，己知m、n可求；己知，則可求的范圍，例如己知3，那么23；己知2，則 12，即3x6，x有最小整數(shù)值4。例題例1某校有學生2000人，問至少有幾個學生生日是同一天？分析：我們把2000名學生看作是蘋果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m（2000）個元素，分成n(366)個集合，至少有一個集合的元素不少于個解：56 答：至少有6名學生的生日是同一天例2從1到10這十個自然數(shù)中，任意取出6個數(shù)，其中至少有兩個是倍數(shù)關(guān)系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為5個集合，它們是：1，2，4，

35、8，3，6，5，10，7，9。要在5個集合里取出6個數(shù)，至少有兩個是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。（本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個,請你從袋中取出一些球，要求至少有3個顏色相同，那么至少應取出幾個才有保證。分析：我們可把4種球看成4個抽屜（4個集合），至少有3個球同顏色，看成是至少有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于3個）。解：設至少應取出x個，用表示不小于的最小整數(shù)，那么3，23，即8x 12，最小整數(shù)值是9。答：至少要取出9個球，才能確保有三個同顏色。例4等邊三角形邊長為2，在這三角形

36、內(nèi)部放入5個點，至少有2個點它們的距離小于1，試說明理由。 解：取等邊三角形各邊中點，并連成四個小三角形（如圖）它們邊長等于1，5個點放入4個三角形，至少有2個點放在同一個三角形內(nèi)，而同一個三角形內(nèi)的2個點之間的距離必小于邊長1。練習81 初一年新生從全縣17個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2 任取30個正整數(shù)分別除以7，那么它們的余數(shù)至少有個是相同的。3 在2003m中，指數(shù)m任意取10個正整數(shù)，那么這10個冪的個位數(shù)中相同的至少于個.4 暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙）那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5 袋子里有黑、白球各

37、一個,紅、藍、黃球各6個.請你拿出一些球,要確保至少有4個同顏色,那么最少要取幾個?6 任意取11個正整數(shù)，至少有兩個它們的差能被10整除，這是為什么？7 右圖有3行9列的方格，若用紅、藍兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說明這是為什么。8 任意取3個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由。9 90粒糖果分給13個小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？1011個互不相同的正整數(shù)，它們都小于20，那么一定有兩個是互質(zhì)數(shù)。（最大公約數(shù)是1的兩個正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11任意6個人中，或者有3個人他們之間都互相認識，或者有3個人他們之間都互不相識

38、，兩者必居其一，這是為什么？ 初中數(shù)學競賽輔導資料(9) 一元一次方程解的討論甲內(nèi)容提要1， 方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分別是：x=3, x=0或x=1, x=±6, 所有的數(shù)，無解。2， 關(guān)于x 的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當a0時，有唯一的解x=；當a=0且b0時，無解；當a=0且b0時，有無數(shù)多解。（不論x取什么值，0x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當ab時，方程有整數(shù)

39、解；當ab，且a、b同號時，方程有正整數(shù)解；當a、b同號時，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax=b乙例題例1 a取什么值時，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數(shù)多解？是正數(shù)解？解：當a0且a2 時，方程有唯一的解，x=當a=0時，原方程就是0x= 8，無解；當a=2時，原方程就是0x=0有無數(shù)多解由可知當a0且a2時，方程的解是x=,只要a與4同號，即當a>0且a2時，方程的解是正數(shù)。例2 k取什么整數(shù)值時，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數(shù)？（1x）k=6的解是負整數(shù)？解：化為最簡方程（k2）x=4當k+2能整除4，即k+2=

40、±1，±2，±4時，方程的解是整數(shù)k=1，3，0，4，2，6時方程的解是整數(shù)。化為最簡方程kx=k6，當k0時x=1，只要k能整除6,即 k=±1，±2，±3，±6時，x就是整數(shù)當k=1,2,3時，方程的解是負整數(shù)5，2，1。例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問a和b應滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應滿足的關(guān)系是a=b0。例4a、b取什么值時，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據(jù)0x0時

41、，方程有無數(shù)多解，可知當時，原方程有無數(shù)多解。解這個方程組得答當a=2且b=1時，原方程有無數(shù)多解。丙練習（9）1, 根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x 2,關(guān)于x的方程ax=x+2無解，那么a_ 3,在方程a(a3)x=a中，當a取值為時，有唯一的解；當a時無解；當a時,有無數(shù)多解；當a時,解是負數(shù)。4， k取什么整數(shù)值時，下列等式中的x是整數(shù)？ x= x= x= x=5， k取什么值時，方程xk=6x的解是 正數(shù)？ 是非負數(shù)？6， m取什么值時，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正數(shù)？7， 己知

42、方程的根是正數(shù)，那么a、b應滿足什么關(guān)系？8， m取什么整數(shù)值時，方程的解是整數(shù)?9， 己知方程有無數(shù)多解，求a、b的值。初中數(shù)學競賽輔導資料（10）二元一次方程的整數(shù)解甲內(nèi)容提要1， 二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數(shù)解。返過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們在正整數(shù)集合里研究公約

43、數(shù)，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。2， 二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個，常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x= (1) , 設是整數(shù)），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二，公式法：設ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）3， 求二元一次方程的正整數(shù)解： 出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值 用觀察法直接寫出。乙例題例1求方程5x9y=18整數(shù)解的能通解解x=設（k為

44、整數(shù)），y=35k,代入得x=99k 原方程整數(shù)解是（k為整數(shù)） 又解：當x=o時，y=2，方程有一個整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)， 設(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k<,k的整數(shù)解是1，2，3，正整數(shù)解是例3，甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設甲種書買x本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）x1時，y=7，是一個整數(shù)解通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,

45、2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。丙練習101， 求下列方程的整數(shù)解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整數(shù)解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4， 兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5， 下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個？答：（填編號） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,

46、18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一張試巻有20道選擇題，選對每題得5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學得48分，他最多得幾分？7用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=142x=初中數(shù)學競賽輔導資料（11）二元一次方程組解的討論甲內(nèi)容提要1 二元一次方程組的解的情況有以下三種： 當時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效） 當時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的） 當（即a1b2a2b10）時，方程組有唯一的解：（這個解可用加減消元法求得）2 方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)

47、解的求法進行。3 求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例2、3）乙例題例1.選擇一組a,c值使方程組 有無數(shù)多解，無解，有唯一的解解：當5a=12=7c時，方程組有無數(shù)多解解比例得a=10,c=14。 當5a127c時，方程組無解。解得a=10,c14。當5a12時，方程組有唯一的解，即當a10時，c不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例2.a取什么值時，方程組 的解是正數(shù)？解：把a作為已知數(shù)，解這個方程組得解不等式組得解集是6答：當a的取值為6時，原方程組的解是正數(shù)。例3.m取何整數(shù)值時，方程組的解x和y都是整數(shù)？解：

48、把m作為已知數(shù)，解方程組得x是整數(shù)，m8取8的約數(shù)±1，±2，±4，±8。y是整數(shù)，m8取2的約數(shù)±1，±2。取它們的公共部分，m8±1，±2。解得m=9，7，10，6。經(jīng)檢驗m=9，7，10，6時，方程組的解都是整數(shù)。例4（古代問題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設桃，李，欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由（1）得x= 100yz (3)把（3）代入（2），整理得y=200+3z 設(k為整數(shù))得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整數(shù)解得（k是整數(shù)）10k<,k是整數(shù)，k=11即x=3（桃）,y=20（李）,z=77（欖橄）(答略)丙練習111 不解方程組，判定下列方程組解的情況：2 a取什么值時方程組的解是正數(shù)？3 a取哪些正整數(shù)值，方程組的解x和y都是正整數(shù)？4 要使方程組的解都是整數(shù)， k應取哪些整數(shù)值？5 （古代問題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？初中數(shù)學競賽輔導資料（12）用交集解題甲內(nèi)容提要1 某種對象的全體組成一個集合。組成集合的各個對象叫這個集合的元素。例如6的正約數(shù)集合記作