數(shù)學(xué)發(fā)展歷史

1、數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科， 它伴隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生， 至少有四、 五千 年的歷史 但它不是某一個(gè)民族或某一個(gè)地區(qū)的產(chǎn)物， 而是世界許多民族、 諸多 地區(qū)世世代代的產(chǎn)物，是人們?cè)谏a(chǎn)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)踐中逐漸形成和發(fā)展而成的。 數(shù)學(xué)的最初的概念和原理在遠(yuǎn)古時(shí)代就萌芽了， 經(jīng)過四千多年世界許多民族的共 同努力，才發(fā)展到今天這樣內(nèi)容豐富、分支眾多、應(yīng)用廣泛的龐大系統(tǒng)。第一節(jié) 發(fā)展歷史一般認(rèn)為，從遠(yuǎn)古到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了五個(gè)歷史階段一、數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期 （ 公元 6 世紀(jì)以前 ） 在人類歷史上， 這是原始社會(huì)和奴隸社會(huì)的初期。 這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的成就以巴 比倫、埃及和中國(guó)的數(shù)學(xué)為代表。 古巴比倫是位于幼發(fā)拉底

2、河和底格里斯河兩河 流域的一個(gè)文明古國(guó)。巴比倫王國(guó)形成于約公元前 19 世紀(jì)，從出土的古巴比倫 的泥板上的楔形文字中發(fā)現(xiàn)，古巴比倫人具有算術(shù)和代數(shù)方面的知識(shí)，建立了 60 進(jìn)位制的記數(shù)系統(tǒng)，掌握了自然數(shù)的四則運(yùn)算，廣泛使用了分?jǐn)?shù)，能進(jìn)行平 方、立方和簡(jiǎn)單的開平方、 開立方運(yùn)算 他們邁出了代數(shù)的第一步， 能用一些特 別的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)代表未知數(shù)， 能解特殊的幾種一元一次、 二元一次方程和一元二 次方程，甚至某些三次、 四次（ 可化為二次的 ）和個(gè)別指數(shù)方程， 并且能夠把它們 應(yīng)用于天文學(xué)和商業(yè)等實(shí)際問題中去。 幾何方面掌握了簡(jiǎn)單平面圖形的面積和簡(jiǎn) 單立體體積的計(jì)算方法。中國(guó)是最早使用十進(jìn)位值制記數(shù)法

3、的國(guó)家。 早在三千多年前的商代中期， 在 甲骨文中產(chǎn)生了一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法， 最大的數(shù)字為三萬 與此同時(shí)， 殷人 用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成六十甲子，用以記日、記月、記年。用陰（ ） 、陽(yáng)（一）符號(hào)構(gòu)成八卦表示 8 種事物，后來發(fā)展為 64 卦。春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已 普遍應(yīng)用， 其記數(shù)法是十進(jìn)位值制。 數(shù)的概念從整數(shù)擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)、 負(fù)數(shù)，建立了 數(shù)的四則運(yùn)算的算術(shù)系統(tǒng)。幾何方面， 4500 年前就有測(cè)量工具規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩， 有圓方平直的概念。公元前 1100 年左右的商高知道“勾三股四弦五”的勾股定 理春秋末戰(zhàn)國(guó)初的墨子在墨經(jīng)中給出了一些數(shù)學(xué)定義，包含有許多算術(shù)、 幾何方面的知識(shí)和無窮、極限

4、的概念。在這個(gè)歷史時(shí)期， 由于生產(chǎn)水平很低， 商品生產(chǎn)極其有限， 社會(huì)實(shí)踐對(duì)數(shù)學(xué) 的要求不高 因此只是在長(zhǎng)期實(shí)踐中逐漸形成了數(shù)的概念， 初步掌握了數(shù)的運(yùn)算 方法，積累了幾何學(xué)的一些知識(shí) 但這些知識(shí)是片斷的、 零碎的， 沒有形成體系， 缺少邏輯因素， 沒有命題的證明 數(shù)學(xué)這門學(xué)科的最顯著的特點(diǎn)之一的演繹推理 和公理法在這個(gè)時(shí)期沒有出現(xiàn)二、初等數(shù)學(xué)時(shí)期 （ 從公元前 5 世紀(jì)到公元 17世紀(jì)）在人類歷史上， 這是發(fā)達(dá)的奴隸社會(huì)和整個(gè)封建社會(huì)時(shí)期 這個(gè)時(shí)期外國(guó)數(shù) 學(xué)發(fā)展的中心先在古希臘， 后在印度和阿拉伯國(guó)家， 之后又轉(zhuǎn)到西歐諸國(guó) 這時(shí) 期的中國(guó)數(shù)學(xué)獨(dú)立發(fā)展，在許多方面居世界領(lǐng)先地位在數(shù)學(xué)內(nèi)容上，

5、2 世紀(jì)以 前是幾何優(yōu)先發(fā)展階段， 2 世紀(jì)以后是代數(shù)優(yōu)先發(fā)展階段如果說古希臘的幾何 證明的較突出， 則中國(guó)和印度的代數(shù)計(jì)算可與其媲美 這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)發(fā)生了本 質(zhì)的變化，數(shù)學(xué) （主要是幾何學(xué) ） 由具體的、實(shí)用階段發(fā)展到抽象的、理論階段； 從以實(shí)驗(yàn)和觀察為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)學(xué)科過渡到演繹的科學(xué)， 并形成了自己的體系， 初 等幾何、 算術(shù)、初等代數(shù)和三角學(xué)都已成為獨(dú)立的學(xué)科 這個(gè)時(shí)期的研究?jī)?nèi)容是 常量和不變的圖形，因此又稱為常量數(shù)學(xué)。從公元前 6 世紀(jì)到公元前 3 世紀(jì)是希臘數(shù)學(xué)的古典時(shí)期 這段時(shí)期， 古希臘 形成了很多學(xué)派， 廣泛探討哲學(xué)和自然科學(xué)問題， 促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的建立 在數(shù) 學(xué)方面主要在初等幾

6、何取得了輝煌的成就， 不僅創(chuàng)造了邏輯推理的演繹方法， 而 且使幾何形成系統(tǒng)的理論 在數(shù)的研究方面， 使算術(shù)應(yīng)用過渡到理論討論， 建立 了整除性理論， 產(chǎn)生了數(shù)論。 數(shù)學(xué)成就的精華是歐幾里得的幾何原本 和阿波 羅尼斯的圓錐曲線論 。希臘數(shù)學(xué)的第二個(gè)時(shí)期即亞歷山大里亞時(shí)期的數(shù)學(xué) 特點(diǎn)是基礎(chǔ)研究與應(yīng)用緊密結(jié)合， 幾何學(xué)開始了定量的研究， 阿基米德求面積與 體積的計(jì)算接近于微積分的計(jì)算方法。 丟番圖發(fā)展了巴比倫的代數(shù)， 采用了一整 套符號(hào)，使代數(shù)發(fā)展到一個(gè)新階段。從 9 世紀(jì)開始， 外國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向了阿拉伯和中亞細(xì)亞地區(qū) 阿拉伯 數(shù)學(xué)起著承前啟后的作用， 阿拉伯人大量搜集、 翻譯古希臘的著作，

7、并把這些著 作及印度數(shù)碼、 計(jì)數(shù)法及中國(guó)的四大發(fā)明 （火藥、印刷術(shù)、指南針和造紙術(shù) ） 傳到 歐洲他們發(fā)展了代數(shù)，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式， 并把三角學(xué)發(fā)展成一門獨(dú)立的系統(tǒng)的學(xué)科。1427年伊朗數(shù)學(xué)家阿爾卡西求得 圓周率的 17 位準(zhǔn)確值。中世紀(jì)的歐洲， 由于羅馬和基督教的統(tǒng)治使歐洲數(shù)學(xué)一直處于落后狀態(tài) 文 藝復(fù)興時(shí)期 （15-17 世紀(jì)上半葉 ） 歐洲數(shù)學(xué)開始繁榮， 他們吸取古希臘和東方數(shù)學(xué) 的精華，取得了許多重要成就 在代數(shù)方面， 韋達(dá)等系統(tǒng)地使用符號(hào)， 使代數(shù)產(chǎn) 生巨大變革 意大利數(shù)學(xué)家得到三次、 四次方程的公式解法、 韋達(dá)得到根與系數(shù) 之間的關(guān)系定理、 笛卡爾引人

8、了待定系數(shù)原理、 帕斯卡得到指數(shù)是正整數(shù)的二項(xiàng) 式展開定理，牛頓又把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)和實(shí)數(shù) .17 世紀(jì)上半葉，初等代數(shù)的理論 和內(nèi)容才全部完成了 初等代數(shù)的建立， 標(biāo)志著常量數(shù)學(xué)也就是初等數(shù)學(xué)時(shí)期的 結(jié)束，接著是向高等數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)過渡。三、變量數(shù)學(xué)時(shí)期 （17 世紀(jì)上半葉 -19 世紀(jì) 20 年代） 這是社會(huì)生產(chǎn)力急劇增長(zhǎng)， 自然科學(xué)蓬勃發(fā)展的時(shí)期。 變量數(shù)學(xué)是以笛卡爾 的解析幾何為開始的 1637 年，笛卡爾通過引進(jìn)坐標(biāo)把幾何曲線表示成代數(shù)方 程，然后通過方程的研究來揭示曲線的性質(zhì) 并把變量、函數(shù)引進(jìn)數(shù)學(xué)， 把幾何 和代數(shù)密切地聯(lián)系起來， 這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)， 也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一

9、個(gè)決定性步驟第二個(gè)決定性步驟是牛頓和萊布尼茲在 17 世紀(jì)后半葉各自獨(dú)立 地建立了微積分， 由于力學(xué)問題的研究、 函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù) 方法來解決等的影響，促使了微積分的產(chǎn)生 17 世紀(jì)還創(chuàng)立了概率論和射影幾 何等新的數(shù)學(xué)學(xué)科 17 世紀(jì)的另一特點(diǎn)是代數(shù)化的趨勢(shì)古希臘數(shù)學(xué)的主體是 幾何學(xué)，三角學(xué)從屬于幾何，代數(shù)問題也往往要用幾何方法論證 17 世紀(jì)代數(shù) 比幾何占有重要的地位，幾何問題常常反過來用代數(shù)方法去解決18 世紀(jì)是變量數(shù)學(xué)發(fā)展階段在 18世紀(jì)，微積分產(chǎn)生若干新科目，如微分 方程、變分法、級(jí)數(shù)論、函數(shù)論等，形成廣闊的分析領(lǐng)域 18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)有三 個(gè)特征： 第一是數(shù)學(xué)家從物理

10、、 力學(xué)、天文學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)新 分支，如變分法、常微分方程、偏微分方程、微分幾何和高等代數(shù)等第二個(gè)特 征是自古以來的幾何論證方法在 17世紀(jì)被代數(shù)的方法所代替， 到 18世紀(jì)又被分 析方法代替了， 代數(shù)也變成從屬于數(shù)學(xué)分析 第三個(gè)特征是直覺性和經(jīng)驗(yàn)性 因 為缺乏嚴(yán)密邏輯和理論基礎(chǔ)， 由物理見解所指引， 所以是直觀的， 又因?yàn)轭I(lǐng)域太 廣闊，還來不及打基礎(chǔ)， 因而是不嚴(yán)密的 數(shù)學(xué)分析中任何一個(gè)比較細(xì)微的問題， 如級(jí)數(shù)和積分的收斂性、 微分積分的次序交換、 高階微分的使用， 以及微分方程 解的存在性問題，結(jié)果出現(xiàn)謬誤越來越多的混亂局面為此，到19 世紀(jì)在德國(guó) 數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下， 對(duì)數(shù)學(xué)

11、進(jìn)行了一場(chǎng)批判性的檢查運(yùn)動(dòng) 這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)不僅使數(shù)學(xué)奠 定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且產(chǎn)生了公理化方法和許多新穎學(xué)科四、近代數(shù)學(xué)時(shí)期 （19 世紀(jì) 20年代-20世紀(jì) 40年代） 近代數(shù)學(xué)時(shí)期是數(shù)學(xué)的全面發(fā)展和成熟階段，數(shù)學(xué)的面貌發(fā)生了深刻的變 化，數(shù)學(xué)絕大多數(shù)分支在這個(gè)時(shí)期都已形成，整個(gè)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)全面繁榮的景象。變量數(shù)學(xué)時(shí)期興起的許多數(shù)學(xué)分支， 蓬勃地向前發(fā)展， 內(nèi)容不斷充實(shí)、擴(kuò)大， 方法不斷地更新 19 世紀(jì)是幾何復(fù)興時(shí)期，繼羅巴切夫斯基幾何之后，又出現(xiàn) 了更廣泛的一類非歐幾何黎曼幾何， 并產(chǎn)生拓?fù)淞餍蔚母拍?克萊因提出愛 爾朗根綱領(lǐng)， 用群的觀點(diǎn)統(tǒng)一了各種度量幾何 在這個(gè)時(shí)期還產(chǎn)生了一系列新的 幾何分支畫

12、法幾何、 射影幾何、 微分幾何和拓?fù)鋵W(xué)在代數(shù)方面， 不僅開創(chuàng) 了抽象代數(shù)， 而且產(chǎn)生了以方程論為主要內(nèi)容的、 包括行列式與矩陣?yán)碚摗?二次 型和線性變換在內(nèi)的高等代數(shù) 分析的嚴(yán)格化是從波爾察諾和柯西開始的， 他們 用極限概念給出了導(dǎo)數(shù)和連續(xù)的定義。 19 世紀(jì)末，關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論形成了 三大學(xué)派， 以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派、 以布勞維爾為代表的直覺主義學(xué)派和 以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派， 三大學(xué)派激烈論戰(zhàn)， 對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行了深入 的考察集合論的建立、 數(shù)理邏輯、羅素悖論、 哥德爾定理的出現(xiàn)更深化了數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)的研究五、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期 （20 世紀(jì) 40年代以來 ）第二次世界大戰(zhàn)以后， 科學(xué)

13、技術(shù)突飛猛進(jìn)， 原子能的利用、 電子計(jì)算機(jī)的發(fā) 明、空間技術(shù)的發(fā)展， 促使數(shù)學(xué)發(fā)生劇烈的變化 數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)： 高度的抽象 性、體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性更明顯地表露出來 純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展， 集合論的觀點(diǎn)滲透到各個(gè)領(lǐng)域， 公理化方法日臻完善， 數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已成 為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)， 而現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的三大支柱是泛函分析， 抽象代數(shù)和拓 撲學(xué)，代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涑蔀閿?shù)學(xué)的主流20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了三種新趨勢(shì)：一是不同分支交錯(cuò)發(fā)展多種理論高度 綜合，數(shù)學(xué)逐步走向統(tǒng)一的趨勢(shì) 自從克萊因用 “群”的觀點(diǎn)統(tǒng)一了當(dāng)時(shí)的各種 度量幾何以后，許多數(shù)學(xué)家試圖提出各種不同的方案來統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué) 1938

14、 年 法國(guó)布爾巴基學(xué)派提出“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)來統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué)， 1948 年愛倫伯克和桑麥克倫提出用范疇和函子理論作為統(tǒng)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).二是邊緣學(xué)科、綜合 性學(xué)科和交叉學(xué)科與日俱增的趨勢(shì) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)在代數(shù)、 幾何、分析等原有基礎(chǔ)學(xué) 科的鄰接領(lǐng)域產(chǎn)生出一系列的邊緣學(xué)科 綜合性學(xué)科是以多學(xué)科的理論知識(shí)和方 法對(duì)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行研究 數(shù)學(xué)與其他學(xué)科產(chǎn)生許多交叉學(xué)科， 如計(jì)算物理 學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，數(shù)理語(yǔ)言學(xué)等正是科學(xué)研究的不斷深人、擴(kuò)大所引 起的，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)展的重大標(biāo)志60 年代以后數(shù)學(xué)界的思想異?；钴S，出現(xiàn)了多種新思潮一一非標(biāo)準(zhǔn)分析、 模糊數(shù)學(xué)、 突變理論和泛系理論等 非標(biāo)準(zhǔn)分析使無窮小重返

15、數(shù)壇， 微積分的基 礎(chǔ)又得到新發(fā)展突變理論使數(shù)學(xué)由研究連續(xù)變量和平滑過程發(fā)展到研究不連續(xù) （ 突變） 過程模糊數(shù)學(xué)使數(shù)學(xué)由研究精確領(lǐng)域發(fā)展到研究模糊領(lǐng)域和模擬人腦功 能的領(lǐng)域泛系理論應(yīng)用廣泛， 在科學(xué)方法、思維科學(xué)數(shù)學(xué)化方面有重要意義 現(xiàn) 代科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐將向數(shù)學(xué)提出更多、 更復(fù)雜的新課題， 必將產(chǎn)生許多更深 刻的數(shù)學(xué)思想和更強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法， 數(shù)學(xué)將向更高、 更廣、更深的領(lǐng)域去探索、 去開發(fā)，成為分析和理解世界上各種現(xiàn)象的工具和手段第二節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在機(jī)制數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在機(jī)制 , 實(shí)際上就是數(shù)學(xué)內(nèi)部各要素之間的相互作用怎樣推 動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的機(jī)制。對(duì)懷爾德所述的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的 11 種力量進(jìn)

16、行綜合分析，容易看出，這一 論述在整體上存在有一定的缺陷和不足。 特別是，懷爾德在此首先強(qiáng)調(diào)了關(guān)于數(shù) 學(xué)發(fā)展的外部力量（“環(huán)境力量” ）與內(nèi)在力量 （ “遺傳力量” ）的區(qū)分，但在后面 的討論中卻未能把這種 “二分”的思想貫徹到底， 從而在整體上就造成了一定的 混亂。懷爾德所謂的“一體化” ，不僅是指數(shù)學(xué)不同分支之間的相互滲透，而且 也是指數(shù)學(xué)與外部成分的相互滲透 . 類似地，所謂的“文化阻滯”不僅是指一般 文化傳統(tǒng)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的消極影響， 而且是指已有的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)也可能阻礙數(shù)學(xué)的 發(fā)展，從而在此就無法把這兩者明確地歸結(jié)到環(huán)境力量或遺傳力量中去。另外， 懷爾德在討論中還常常把“抽象” 、“一般化

17、”等說成是與“遺傳力量”相并列的 內(nèi)在力量，從而也就造成了一定的層次混亂。正是出于上述的考慮， 就要對(duì)懷爾德所說的各種力量重新進(jìn)行整理和歸類。 無論就數(shù)學(xué)發(fā)展的外部力量或內(nèi)在力量而言，它們既可能促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，也 可能阻礙數(shù)學(xué)的發(fā)展。 好的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)可以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展， 不好的數(shù)學(xué)傳統(tǒng) （ 特 別是思想的僵化 ） 則就會(huì)阻礙數(shù)學(xué)的發(fā)展。 由于以往的研究往往只是注意到了各 種因素對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用，而懷爾德則十分明確地指出了兩個(gè)方向上的 作用，因此，這就是一個(gè)重要的進(jìn)步。就數(shù)學(xué)發(fā)展的外部力量、也即懷爾德所謂的“環(huán)境力量”而言，我們不僅 應(yīng)當(dāng)看到“物質(zhì)成分”的作用，而且也應(yīng)看到“文化成分”的作用

18、。就后者而 言，除去其他科學(xué)，特別是物理學(xué)研究的需要以外，我們又應(yīng)清楚地看到整個(gè) 文化環(huán)境對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的重大影響。例如，古希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展即是與古希臘社 會(huì)在整體上的繁榮相適應(yīng)的，更受到了古希臘哲學(xué)的直接影響。另外，政治上 的封閉則就可能成為數(shù)學(xué)發(fā)展的“文化阻滯” 。我們可對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在力量， 也即懷爾德所謂的 “遺傳力量” 作出如下的 進(jìn)一步分析：我們不僅應(yīng)當(dāng)看到已有的數(shù)學(xué)工作與已有的數(shù)學(xué)傳統(tǒng) （ 這即是“數(shù) 學(xué)活動(dòng)”的兩個(gè)組成部分 ） ，對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，而且應(yīng)當(dāng)看到在這兩者之間 所存在的辯證關(guān)系。具體地說，由數(shù)學(xué)的歷史可以看出， 處于一定數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之下的數(shù)學(xué)家并不是 盲目地去從事符號(hào)化、

19、一般化、嚴(yán)格化、系統(tǒng)化等方面的研究的；恰恰相反，這 種研究在很大程度上是由數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)狀所決定的。 例如，矛盾（悖論） 的發(fā)現(xiàn)就 將促使數(shù)學(xué)家去從事嚴(yán)格化的工作；理論的多樣化則將直接導(dǎo)致統(tǒng)一性的研究； 某個(gè)領(lǐng)域中長(zhǎng)期未能得到解決的問題的存在為不同學(xué)科的滲透 （“一體化” ） 提供 了直接的動(dòng)力； 理論在數(shù)量上的增長(zhǎng)則又必然會(huì)引起系統(tǒng)化和嚴(yán)格化的任務(wù)， 等 等。由此可見，在數(shù)學(xué)活動(dòng)的這兩種成分， 即已有的數(shù)學(xué)工作與已有的數(shù)學(xué)傳單 之間事實(shí)上存在著相互促進(jìn)、 互相依賴的辯證關(guān)系， 而這種辯證關(guān)系也就為數(shù)學(xué) 的進(jìn)一步發(fā)展提供了必要的內(nèi)在機(jī)制。依據(jù)上面的分析，我們就可以把數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在力量歸結(jié)為“知識(shí)

20、成分” 與“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”這樣兩種成分。從而，從整體上說，對(duì)于導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的各種力 量就可歸結(jié)如下：環(huán)境力量 （ 外部力量 ） 包括物質(zhì)成分和文化成分 ; 遺傳力量 （內(nèi) 在力量 ） 包括知識(shí)成分和文化傳統(tǒng) .另外，如果對(duì)問題作廣義的理解，即不僅是指已有的數(shù)學(xué)理論中所存在的、尚未得到的問題， 包括已有數(shù)學(xué)工作中的種種不足之處， 而且也是指由數(shù)學(xué)外部所提出的問題，那么，數(shù)學(xué)發(fā)展的主要形式就可歸結(jié)為以下的模式:第三節(jié)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論一、數(shù)形概念的深化數(shù)學(xué)的發(fā)展是以數(shù)和形兩個(gè)基本概念為主干的，整個(gè)數(shù)學(xué)就是圍繞數(shù)與形兩 個(gè)概念的提煉、演變和發(fā)展而發(fā)展的.數(shù)學(xué)發(fā)展史中一直存在著數(shù)與形兩條并行 不悖的發(fā)展路線，一條

21、以發(fā)展計(jì)算為中心的算術(shù)代數(shù)路線， 一條以發(fā)展形為主的 幾何路線.前者有兩個(gè)源頭，一個(gè)源頭是獨(dú)立發(fā)展的中國(guó)數(shù)學(xué)， 另一源頭是古巴 比倫數(shù)學(xué).這一路線在古希臘亞里山大里亞時(shí)期進(jìn)一步得到發(fā)展，在中國(guó)、印度和阿拉伯國(guó)家發(fā)揚(yáng)光大，到17世紀(jì)的歐洲才形成完整的初等代數(shù)學(xué)這兩種數(shù) 學(xué)在17世紀(jì)在歐洲匯合，經(jīng)過進(jìn)一步發(fā)展，導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生，產(chǎn)生了變 量數(shù)學(xué).隨后由于微積分的產(chǎn)生，開始了數(shù)學(xué)的巨大變革，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)分析這一 廣闊的領(lǐng)域，形成了代數(shù)、幾何、分析三足鼎立的形勢(shì).18、19世紀(jì)由于數(shù)學(xué)的不斷分化，代數(shù)、幾何、分析形成了各自不同的研究領(lǐng)域. 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象日 益彰、展，數(shù)與形的概念不斷擴(kuò)大，日趨抽象化

22、，以至不再有任何原始計(jì)算與簡(jiǎn) 單圖形的蹤影了。幾何不僅研究物質(zhì)世界的空間形式，而且研究同空間形式和關(guān)系相似的其他 形式和關(guān)系，產(chǎn)生了各種新“空間”：羅巴切夫斯基空間、射影空間、四維的黎 曼空間、各種拓?fù)淇臻g等都成為幾何研究的對(duì)象。 現(xiàn)代化數(shù)學(xué)所考察的對(duì)象是具 有更普遍的“量”，如向量、矩陣、張量、旋量、超復(fù)數(shù)、群等，并且研究這些 量的運(yùn)算.這些運(yùn)算在某種程度上和算術(shù)中的四則運(yùn)算類似，但復(fù)雜得多.矢量是簡(jiǎn)單的例子，矢量的加法是按照平行四邊形法則相加的.在現(xiàn)代代數(shù)中進(jìn)行的抽象達(dá)到這樣的程度。以致“量”這個(gè)術(shù)語(yǔ)也失去本身的意義，而一般地變成討 論“對(duì)象” 了.對(duì)于這種“對(duì)象”可以進(jìn)行同普通代數(shù)運(yùn)算相

23、似的運(yùn)算. 不但“數(shù)” 是變的，在泛函分析中，函數(shù)本身也被看作是變的.某一給定函數(shù)的性質(zhì)在這里 不能單獨(dú)地確定，而是在這個(gè)函數(shù)對(duì)另外一些函數(shù)的關(guān)系上確定的. 因此考察的 已經(jīng)不是一些單個(gè)的函數(shù)， 而是所有以這種或那種共同性質(zhì)作為特征的函數(shù)的集 合函數(shù)的這種集合結(jié)合成“函數(shù)空間” 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展促使數(shù)和形的概念不 斷深化，形成了多種多樣的邊緣學(xué)科這些學(xué)科不僅沒有加深各學(xué)科間的分離， 而且導(dǎo)致了各學(xué)科的互相聯(lián)系和滲透，使以前基本分離的領(lǐng)域互相溝通了起來， 并且填滿了基本學(xué)科之間中斷了的部分 各門學(xué)科形成了一個(gè)牢固聯(lián)系的有機(jī)整 體各門科學(xué)的數(shù)學(xué)化，使得數(shù)學(xué)和其他學(xué)科交叉結(jié)合，產(chǎn)生許多交叉學(xué)科 二、數(shù)

24、學(xué)思想的演變數(shù)學(xué)思想的發(fā)展大致可劃分為常量數(shù)學(xué)思想、 變量數(shù)學(xué)思想、 隨機(jī)數(shù)學(xué)思想 三個(gè)階段 每個(gè)階段不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想發(fā)生質(zhì)的變化， 而且標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究對(duì)象 和方法的重大變化常量數(shù)學(xué)思想階段即初等數(shù)學(xué)時(shí)期， 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是不變的數(shù)量關(guān)系和固 定的空間形式， 數(shù)與形是分開研究的 研究數(shù)的學(xué)科是算術(shù)和代數(shù)， 算術(shù)是研究 離散固定的數(shù)，代數(shù)研究方程的固定解， 幾何則是研究平面或空間的固定圖形 常 量數(shù)學(xué)思想是與當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的水平相適應(yīng)的， 是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界固定的數(shù) 與形關(guān)系的抽象，是孤立、靜止地研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系變量數(shù)學(xué)思想階段是從 17 世紀(jì)上半葉開始的，這時(shí)資本主義處于上升時(shí)期， 天體

25、運(yùn)行軌道推算、 航海導(dǎo)航， 拋射體彈道曲線的計(jì)算， 力學(xué)中對(duì)變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律 的描述等等， 使數(shù)學(xué)突破常量數(shù)學(xué)傳統(tǒng)研究范圍， 開始了數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)本質(zhì)不 同的嶄新時(shí)期數(shù)學(xué)研究對(duì)象從常量轉(zhuǎn)到變量， 這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)， 數(shù)學(xué)發(fā)展到用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和聯(lián)系的辯證觀點(diǎn)來分析把握對(duì)象的數(shù)與形的統(tǒng)一關(guān) 系，其主要標(biāo)志是解析幾何和微積分的誕生 解析幾何在數(shù)學(xué)概念思維領(lǐng)域里實(shí) 現(xiàn)了數(shù)與形關(guān)系的溝通， 微積分使人類思維進(jìn)入無限小分析領(lǐng)域， 使人類視野由 有限發(fā)展到無限， 由靜止發(fā)展到運(yùn)動(dòng)， 微積分為人們描述宇宙運(yùn)動(dòng)及變化過程提 供了簡(jiǎn)明而精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具， 成為自然科學(xué)和技術(shù)發(fā)展中精確表述它們規(guī) 律和解決

26、它們問題的有力武器隨機(jī)數(shù)學(xué)思想階段是以概率論為其標(biāo)志的 概率論使數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域由確定 性領(lǐng)域進(jìn)人非確定性領(lǐng)域 如果初等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析稱為研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) 的話，概率論則是研究非確定性 （ 隨機(jī)性 ） 現(xiàn)象的數(shù)學(xué)，這是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè) 轉(zhuǎn)折點(diǎn) 它標(biāo)志著直接以不確定性現(xiàn)象為研究對(duì)象， 并提供把握“大勢(shì)所趨” 的 途徑，為偶然性和必然性之間的轉(zhuǎn)化提供了數(shù)學(xué)刻劃的手段數(shù)學(xué)思想從常量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)隨機(jī)數(shù)學(xué)的演進(jìn)， 與人類實(shí)踐活動(dòng)水 平的提高， 認(rèn)識(shí)活動(dòng)中心的轉(zhuǎn)移， 以及科學(xué)數(shù)學(xué)化的過程， 存在著某種同步發(fā)展 的內(nèi)在統(tǒng)一性當(dāng)人類認(rèn)識(shí)以自然為中心時(shí)，精確的經(jīng)典數(shù)學(xué) （ 包括常量與變量 數(shù)學(xué)） 在自然科學(xué)

27、中取得巨大的成就當(dāng)人們的視野重心轉(zhuǎn)向社會(huì)規(guī)律考察時(shí)， 隨機(jī)數(shù)學(xué)向社會(huì)科學(xué)滲透 當(dāng)人們注意到自身思維機(jī)制的研究時(shí)， 近來的模糊數(shù) 學(xué)又為思維科學(xué)的發(fā)展提供有效的社會(huì)工具第四節(jié) 數(shù)學(xué)方法論 定理證明和數(shù)值計(jì)算是數(shù)學(xué)中兩項(xiàng)最主要的活動(dòng)形式證明主要是用演繹 法，以公理化思想為主； 計(jì)算若是按一定程序， 即按一種機(jī)械的過程進(jìn)行就叫做 機(jī)械化思想的算法 貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中， 有兩個(gè)中心思想， 一個(gè)是 公理化思想， 另一個(gè)是機(jī)械化思想 公理化思想導(dǎo)源于古希臘， 歐幾里得的 幾 何原本是公理化思想的代表機(jī)械化思想則貫穿于整個(gè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)， 九章 算術(shù)為其代表作為數(shù)學(xué)兩種主流的公理化思想和機(jī)械化思想都

28、對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展 起過巨大的作用 現(xiàn)在我們從思想方法論的角度， 即從數(shù)學(xué)發(fā)展中以公理化思想 為主的演繹傾向和以機(jī)械化思想為主的算法傾向交替取得主導(dǎo)地位的線索來描 述整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史古代巴比倫和埃及的原始算法最早占主導(dǎo)地位， 后來被希臘式的演繹幾何所 接替19 世紀(jì)初，特別是 70 年代起，幾何演繹傾向又重新在比古希臘幾何高得 多的水準(zhǔn)上占優(yōu)勢(shì)近代數(shù)學(xué)時(shí)期的演繹傾向是從 19世紀(jì) 20 至 30 年代開始， 在 70 年代以后進(jìn)入全盛時(shí)期這個(gè)新的演繹時(shí)代與古希臘一個(gè)顯著的不同是演 繹方法的運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何而擴(kuò)展到其他領(lǐng)域， 首先是數(shù)學(xué)分析 探討微積分 運(yùn)算的嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)， 導(dǎo)致了從柯西極限論到外爾斯特拉斯的極限算術(shù)化和康 托爾集合論貫穿了整個(gè) 19 世紀(jì)的分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)如果說， 17 世紀(jì)將代數(shù)算法 運(yùn)用于幾何而發(fā)展出解析幾何， 19 世紀(jì)則反過來，將幾何演繹運(yùn)用于代數(shù)而產(chǎn) 生抽象代數(shù)抽象代數(shù)則充滿了演繹精神 19 世紀(jì)開辟的新的演繹數(shù)學(xué)，在幾 何領(lǐng)域本