中考數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題 集錦三輪沖刺

1、2013中考總結(jié)復(fù)習(xí)沖刺練： “最值問(wèn)題” 集錦平面幾何中的最值問(wèn)題 01幾何的定值與最值 07最短路線(xiàn)問(wèn)題 14對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 18巧作“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”妙解最值題 22數(shù)學(xué)最值題的常用解法26求最值問(wèn)題29有理數(shù)的一題多解344道經(jīng)典題37平面幾何中的最值問(wèn)題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱(chēng)最值問(wèn)題如果把最值問(wèn)題和生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例 在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。 最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：

2、（1） 應(yīng)用幾何性質(zhì)： 三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； 兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短； 連結(jié)直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短； 定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。 運(yùn)用代數(shù)證法： 運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值； 運(yùn)用一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的同側(cè)，在直線(xiàn)L上取一點(diǎn)P，使PA+PB最小。 分析：在直線(xiàn)L上任取一點(diǎn)P，連結(jié)A P，BP，在A(yíng)BP中AP+BPAB，如果AP+BPAB,則P必在線(xiàn)段AB上，而線(xiàn)段AB與直線(xiàn)L無(wú)交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。取點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，則AP AP，在A(yíng)BP中AP+BPAB,當(dāng)P移到AB與直線(xiàn)L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)AP+B

3、PAB，所以這時(shí)PA+PB最小。1 已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問(wèn)怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長(zhǎng)最大(圖391)？分析 本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長(zhǎng)，可設(shè)半圓半徑為R由于A(yíng)BCD，必有AC=BD若設(shè)CD=2y，AC=x，那么只須求梯形ABDC的半周長(zhǎng)u=x+y+R的最大值即可 解 作DEAB于E，則x2=BD2=AB·BE2R·(R-y)2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有當(dāng)x=R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有所以2y=R=x

4、所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C，D，這時(shí)，梯形的底角恰為60°和120°2 .如圖392是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶(hù)，如果窗戶(hù)的周長(zhǎng)為8米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶(hù)透光最好？分析與解 設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長(zhǎng)AD，則必有       2x+2y+x=8，若窗戶(hù)的最大面積為S，則把代入有即當(dāng)窗戶(hù)周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶(hù)下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶(hù)面積最大3. 已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)P在什么位置時(shí)，PA+PB最大(圖393)？分析與解 因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A(yíng)或B時(shí)，顯然P

5、A+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時(shí))等于A(yíng)B因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB取最大值設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB，PA，延長(zhǎng)AP到C，使PC=PA，連CB，則CB是切線(xiàn)為了證PA+PB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)P，連PA，PB，延長(zhǎng)AP到C，使PC=BP，連CB，CC，則PCB=PBC=PCB=45°，所以A，B，C，C四點(diǎn)共圓，所以CCA=CBA=90°，所以在A(yíng)CC中，ACAC，即PA+PBPA+PB 4 如圖394，在直角ABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是ABD，ACD的內(nèi)心，直線(xiàn)MN交AB，AC于K，L求證：SABC2SAKL 證 連結(jié)AM，BM，DM

6、，AN，DN，CN因?yàn)樵贏(yíng)BC中，A=90°，ADBC于D，所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90°因?yàn)镸，N分別是ABD和ACD的內(nèi)心，所以1=2=45°，3=4，所以ADNBDM，又因?yàn)镸DN=90°=ADB，所以 MDNBDA，所以 BAD=MND由于BAD=LCD，所以   MND=LCD， 所以D，C，L，N四點(diǎn)共圓，所以 ALK=NDC=45°同理，AKL=1=45°，所以AK=AL因?yàn)?AKMADM，所以 AK=AD=AL而而從而所以 SABCSAKL5. 如圖395已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊

7、上)有兩點(diǎn)P，Q求證：PQAB證 設(shè)過(guò)P，Q的直線(xiàn)與AB，AC分別交于P1，Q1，連結(jié)P1C，顯然，PQP1Q1因?yàn)锳Q1P1+P1Q1C=180°，所以AQ1P1和P1Q1C中至少有一個(gè)直角或鈍角若AQ1P190°，則 PQP1Q1AP1AB；若P1Q1C90°，則 PQP1Q1P1C同理，AP1C和BP1C中也至少有一個(gè)直角或鈍角，不妨設(shè)BP1C90°，則 P1CBC=AB 對(duì)于P，Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類(lèi)似的討論，因此，PQAB 6. 設(shè)ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，過(guò)頂點(diǎn)A引直線(xiàn)l，頂點(diǎn)B，C到l的距離設(shè)為d1，d2，求d1+d2的最大值(1992

8、年上海初中賽題)解 如圖396，延長(zhǎng)BA到B，使AB=AB，連BC，則過(guò)頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l或者與BC相交，或者與BC相交以下分兩種情況討論(1)若l與BC相交于D，則 所以 只有當(dāng)lBC時(shí)，取等號(hào) (2)若l與BC相交于D，則所以 上式只有l(wèi)BC時(shí)，等號(hào)成立 7. 如圖397已知直角AOB中，直角頂點(diǎn)O在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長(zhǎng)AO，BO分別與單位圓交于C，D試求四邊形ABCD面積的最小值解 設(shè)O與AB相切于E，有OE=1，從而即 AB2當(dāng)AO=BO時(shí)，AB有最小值2從而所以，當(dāng)AO=OB時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為幾何的定值與最值幾何中的定值問(wèn)題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何

9、量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類(lèi)問(wèn)題，解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量(如線(xiàn)段長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：1特殊位置與極端位置法；2幾何定理(公理)法；3數(shù)形結(jié)合法等注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競(jìng)賽中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn)這是由于這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法【例題就解】【例1】

10、 如圖，已知AB=10，P是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)，在A(yíng)B的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊APC和等邊BPD，則CD長(zhǎng)度的最小值為 思路點(diǎn)撥 如圖，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD越小，本例也可設(shè)AP=，則PB=，從代數(shù)角度探求CD的最小值 注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：(1)中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；(2)端點(diǎn)處、臨界位置等 【例2】 如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB滾動(dòng)，切點(diǎn)為T(mén)，圓交AC、BC于M、N，則對(duì)于所有可能的圓的位置而言， MTN為的度數(shù)（

11、 ） A從30°到60°變動(dòng) B從60°到90°變動(dòng)C保持30°不變 D保持60°不變 思路點(diǎn)撥 先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時(shí)，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷注：幾何定值與最值問(wèn)題，一般都是置于動(dòng)態(tài)背景下，動(dòng)與靜是相對(duì)的，我們可以研究問(wèn)題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運(yùn)動(dòng)到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時(shí)，研究的量取得定值與最值【例3】 如圖，已知平行四邊形ABCD，AB=，BC=(>)，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)DP交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，求AP+BQ的最小值思路點(diǎn)撥 設(shè)AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等

12、式 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))來(lái)求最小值 【例4】 如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A(yíng)、B的點(diǎn)M，設(shè)直線(xiàn)AC與BM相交于K，直線(xiàn)CB與AM相交于點(diǎn)N，證明：線(xiàn)段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)思路點(diǎn)撥 即要證AK·BN是一個(gè)定值，在圖形中ABC的邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，說(shuō)明AK·BN與AB有關(guān)，從圖知AB為ABM與ANB的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標(biāo)更加明確注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問(wèn)題【例5】 已知XYZ是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(Z=90°)，它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰R

13、tABC(C=90°)的三邊上，求ABC直角邊長(zhǎng)的最大可能值思路點(diǎn)撥 頂點(diǎn)Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當(dāng)頂點(diǎn)Z在斜邊AB上時(shí)，取xy的中點(diǎn)，通過(guò)幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點(diǎn)Z在(AC或CB)上時(shí)，設(shè)CX=，CZ=，建立，的關(guān)系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值 注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問(wèn)題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識(shí)方法求解常見(jiàn)的解題途徑是：(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何最值；(2)構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值學(xué)力訓(xùn)練1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重

14、合），分別過(guò)B、C、D作射線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足分別是B、C、D，則BB+CC+DD的最大值為 ，最小值為 2如圖，AOB=45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R(均不同于點(diǎn)O)，則PQR的周長(zhǎng)的最小值為 3如圖，兩點(diǎn)A、B在直線(xiàn)MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于 4如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，O的半徑為1，則AP+BP的最小值為( ) A1 B C D5如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S

15、的最短距離是( ) A B C D6如圖、已知矩形ABCD，R，P戶(hù)分別是DC、BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是( ) A線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸減小C線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不改變 D線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不能確定7如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)(C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合)，分別以AC、BC為邊在直線(xiàn)AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N(1)求證：MNAB；(2)若AB的長(zhǎng)為l0cm，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的一點(diǎn)C，使線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)確定C點(diǎn)的位置并求

16、出MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(2002年云南省中考題)8如圖，定長(zhǎng)的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，M是ST的中點(diǎn)，P是S對(duì)AB作垂線(xiàn)的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角9已知ABC是O的內(nèi)接三角形，BT為O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，P為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)(如圖)，求證：PA·PB=PE·PF；(2)當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 10如圖，已知；邊長(zhǎng)為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l

17、，在A(yíng)B上的一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是( ) A8 B12 C D1411如圖，AB是半圓的直徑，線(xiàn)段CA上AB于點(diǎn)A，線(xiàn)段DB上AB于點(diǎn)B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則封閉圖形ACPDB的最大面積是( ) A B C D12如圖，在A(yíng)BC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點(diǎn)D、E，使線(xiàn)段DE將ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線(xiàn)段的最小長(zhǎng)度13如圖，ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點(diǎn)，AV與DU相交于點(diǎn)P，BV與CU相交于點(diǎn)Q求四邊形PUQV面積的最大值 14利用兩個(gè)相同的噴水

18、器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部都能?chē)姷剿阎總€(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問(wèn)如何設(shè)計(jì)(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、寬)，才能使矩形花壇的面積最大?15某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)八邊形居民廣場(chǎng)(平面圖如圖所示)其中，正方形MNPQ與四個(gè)相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為800平方米(1)設(shè)矩形的邊AB=(米)，AM=(米)，用含的代數(shù)式表示為 (2)現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為2100元；在四個(gè)相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價(jià)為105元；在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價(jià)為40元 設(shè)該工程的總造價(jià)為S(

19、元)，求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式 若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問(wèn)能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請(qǐng)列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(鎮(zhèn)江市中考題)16某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長(zhǎng)和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長(zhǎng)方形東西走向的公寓，請(qǐng)劃出這塊地基，并求地基的最大面積(精確到1m2) 參考答案最短路線(xiàn)問(wèn)題通常最短路線(xiàn)問(wèn)題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線(xiàn)中，直線(xiàn)段最短”為原則引申出來(lái)的人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的

20、最近路線(xiàn)即最短路線(xiàn)問(wèn)題在本講所舉的例中，如果研究問(wèn)題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線(xiàn)是線(xiàn)段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線(xiàn)是折線(xiàn)段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線(xiàn)是曲線(xiàn)段；但允許上述哪種情況，它們都有一個(gè)共同點(diǎn)：當(dāng)研究曲面僅限于可展開(kāi)為平面的曲面時(shí)，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開(kāi)在一個(gè)平面上，兩點(diǎn)間的最短路線(xiàn)則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線(xiàn)段這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點(diǎn)之間的最短路線(xiàn)如何求呢？我們用過(guò)A、B兩點(diǎn)及地球球心O的平面截地球，在地

21、球表面留下的截痕為圓周（稱(chēng)大圓），在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不超過(guò)半個(gè)圓周的弧線(xiàn)就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線(xiàn)，航海上叫短程線(xiàn)關(guān)于這個(gè)問(wèn)題本講不做研究，以后中學(xué)會(huì)詳講在求最短路線(xiàn)時(shí)，一般我們先用“對(duì)稱(chēng)”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，而兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短，從而找到所需的最短路線(xiàn)像這樣將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問(wèn)題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法例1 如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報(bào)在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒(méi)有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線(xiàn)最節(jié)省時(shí)間，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出來(lái)解：要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線(xiàn)就是要選擇最短路線(xiàn)作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A，即作 A

22、A垂直于河岸，與河岸交于點(diǎn)C，且使AC=AC，連接AB交河岸于一點(diǎn)P，這時(shí) P點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連接 PA，此時(shí) PAPB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線(xiàn)證明：設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P，連接PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而這里不等式 PAPBAB成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線(xiàn)段大于直線(xiàn)段，所以PA+PB是最短路線(xiàn)此例利用對(duì)稱(chēng)性把折線(xiàn)APB化成了易求的另一條最短路線(xiàn)即直線(xiàn)段AB，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等看下面例題例2 如圖一只壁虎要從一面墻壁上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁上的B點(diǎn)捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線(xiàn)呢？解：

23、我們假想把含B點(diǎn)的墻順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如下頁(yè)右圖），使它和含A點(diǎn)的墻處在同一平面上，此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的位置記為，B點(diǎn)的位置記為B，則A、B之間最短路線(xiàn)應(yīng)該是線(xiàn)段AB，設(shè)這條線(xiàn)段與墻棱線(xiàn)交于一點(diǎn)P，那么，折線(xiàn)4PB就是從A點(diǎn)沿著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線(xiàn)證明：在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P點(diǎn)，若沿折線(xiàn)APB走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90°后的路線(xiàn)APB走都比直線(xiàn)段APB長(zhǎng)，所以折線(xiàn)APB是壁虎捕蛾的最短路線(xiàn)由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線(xiàn)時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來(lái)，所得到的線(xiàn)段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線(xiàn)段所構(gòu)成的折

24、線(xiàn)，就是所求的最短路線(xiàn)例3 長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小蟲(chóng)從頂點(diǎn)D出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到B點(diǎn)，問(wèn)這只小蟲(chóng)怎樣爬距離最短？（見(jiàn)圖（1）解：因?yàn)樾∠x(chóng)是在長(zhǎng)方體的表面上爬行的，所以必需把含D、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開(kāi)”在同一平面上，在這個(gè)“展開(kāi)”后的平面上 DB間的最短路線(xiàn)就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)段，這樣，從D點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線(xiàn)供選擇從D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面攤開(kāi)在一個(gè)平面上（上頁(yè)圖（2），這時(shí)在這個(gè)平面上D、B間的最短路線(xiàn)距離就是連接D、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)段，它是直角三角形ABD的斜邊，根據(jù)勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2

25、）242=25，DB=5容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過(guò)后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5從D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)將這兩個(gè)面攤開(kāi)在同一平面上，同理求得在這個(gè)平面上D、B兩點(diǎn)間的最短路線(xiàn)（上頁(yè)圖（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過(guò)后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29從D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)平面攤開(kāi)在同一平面上，同理可求得在這個(gè)平面上D、B兩點(diǎn)間的最短路線(xiàn)（見(jiàn)圖），DB2=（2+4）2+12=37容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過(guò)上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37比較六條路線(xiàn)，顯然情形、中的路線(xiàn)最短，

26、所以小蟲(chóng)從D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁(yè)圖（2），或者經(jīng)過(guò)后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的路線(xiàn)是最短路線(xiàn)，它的長(zhǎng)度是5個(gè)單位長(zhǎng)度利用例2、例3中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決一些類(lèi)似的問(wèn)題，例如求六棱柱兩個(gè)不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線(xiàn)問(wèn)題（下左圖），同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開(kāi)成同一個(gè)平面（下右圖），連接A、B成線(xiàn)段AP1P2B，P1、P2是線(xiàn)段AB與兩條側(cè)棱線(xiàn)的交點(diǎn)，則折線(xiàn)AP1P2B就是AB間的最短路線(xiàn)圓柱表面的最短路線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，“展開(kāi)”后也是直線(xiàn)，這條曲線(xiàn)稱(chēng)為螺旋線(xiàn)因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活

27、中有著很廣泛的應(yīng)用如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線(xiàn)，看下面例題例4 景泰藍(lán)廠(chǎng)的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線(xiàn)，如下左圖，如果將金線(xiàn)的起點(diǎn)固定在A(yíng)點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問(wèn)沿什么線(xiàn)路嵌金線(xiàn)才能使金線(xiàn)的用量最少？解：將上左圖中圓柱面沿母線(xiàn)AB剪開(kāi)，展開(kāi)成平面圖形如上頁(yè)右圖（把圖中的長(zhǎng)方形卷成上頁(yè)左圖中的圓柱面時(shí)，A、B分別與A、B重合），連接AB，再將上頁(yè)右圖還原成上頁(yè)左圖的形狀，則AB在圓柱面上形成的曲線(xiàn)就是連接AB且繞一周的最短線(xiàn)路圓錐表面的最短路線(xiàn)也是一條曲線(xiàn)，展開(kāi)后也是直線(xiàn)請(qǐng)看下面例題例5 有一圓錐如下圖，A、B在同一母線(xiàn)上，B為AO

28、的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線(xiàn) 解：將圓錐面沿母線(xiàn)AO剪開(kāi)，展開(kāi)如上右圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時(shí)，A、B分別與A、B重合），在扇形中連AB，則將扇形還原成圓錐之后，AB所成的曲線(xiàn)為所求例6 如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物，已知A點(diǎn)沿母線(xiàn)到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米， B點(diǎn)沿母線(xiàn)到桶口 D點(diǎn)的距離是8厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長(zhǎng)是15厘米如果螞蟻爬行的是最短路線(xiàn)，應(yīng)該怎么走？路程總長(zhǎng)是多少？分析 我們首先想到將桶的圓柱面展開(kāi)成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長(zhǎng)到F，使DFBD，即

29、以直線(xiàn)CD為對(duì)稱(chēng)軸，作出點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，用F代替B，即可找出最短路線(xiàn)了解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長(zhǎng)BD到F，使DF=BD，即作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，交桶口沿線(xiàn)CD于O因?yàn)橥翱谘鼐€(xiàn)CD是 B、F的對(duì)稱(chēng)軸，所以O(shè)BOF，而A、F之間的最短線(xiàn)路是直線(xiàn)段AF，又AF=AOOF，那么A、B之間的最短距離就是AOOB，故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去延長(zhǎng)AC到E，使CE=DF，易知AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 （128）2152625=252，解得AF=25即螞蟻爬行的最短路程是25厘米例7 A、B兩個(gè)村子

30、，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一座小木橋，使它垂直于河岸請(qǐng)你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間路程最短分析 因?yàn)闃虼怪庇诤影叮宰疃搪肪€(xiàn)必然是條折線(xiàn)，直接找出這條折線(xiàn)很困難，于是想到要把折線(xiàn)化為直線(xiàn)由于橋的長(zhǎng)度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長(zhǎng)是定值因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線(xiàn)，并在垂線(xiàn)上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除，找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線(xiàn)，問(wèn)題就可以解決解：如上圖，過(guò)A點(diǎn)作河岸的垂線(xiàn)，在垂線(xiàn)上截取AC的長(zhǎng)為河寬，連結(jié)BC交河岸于D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交對(duì)岸于E點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn)即兩村的最短路程是AEEDDB例8 在河中有

31、A、B兩島（如下圖），六年級(jí)一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問(wèn)應(yīng)選擇怎樣的路線(xiàn)才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線(xiàn)、乙岸線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A和B，連結(jié)A、B分別交甲岸線(xiàn)、乙岸線(xiàn)于E、F兩點(diǎn)，則AEFBA是最短路線(xiàn)，即最短路程為：AEEFFBBA證明：由對(duì)稱(chēng)性可知路線(xiàn)AEFB的長(zhǎng)度恰等于線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線(xiàn)，利用對(duì)稱(chēng)方法都可以化成一條連接A、B之間的折線(xiàn)，它們的長(zhǎng)度都大于線(xiàn)段 AB，例如上圖中用“···”表示的路線(xiàn)AEFB的長(zhǎng)度等于折線(xiàn)AEFB的長(zhǎng)度，

32、它大于A(yíng)B的長(zhǎng)度，所以AEFBA是最短路線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有一個(gè)比較深入的認(rèn)識(shí)，可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：猜想驗(yàn)證的過(guò)程，及幾何問(wèn)題的說(shuō)理性。一、點(diǎn)關(guān)于一條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題問(wèn)題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A(yíng)處，家在B處，小河為L(zhǎng)，小明要在直線(xiàn)L上找一個(gè)點(diǎn)C（小狗在C處飲水），使得AC+BC最短。（如圖所示）知識(shí)介紹：兩條線(xiàn)段之和最短，往往利用對(duì)稱(chēng)的思想，把兩條線(xiàn)段的和變?yōu)?/p>

33、一條線(xiàn)段來(lái)研究，利用兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段最短，可以得出結(jié)果。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)有兩類(lèi)，一類(lèi)是軸對(duì)稱(chēng)，一類(lèi)是中心對(duì)稱(chēng)。軸對(duì)稱(chēng)有兩個(gè)基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PQ的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的方法是：過(guò)M作MO垂直于PQ于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)MO到點(diǎn)N，使NO=MO，則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。問(wèn)題分析：過(guò)A作AO垂直于直線(xiàn)L于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)A，使AO=AO，連接AB，交直線(xiàn)L于點(diǎn)C，則小明沿著ACB的路徑就可以滿(mǎn)足小狗喝上水，同時(shí)又使回家的路程最短。問(wèn)題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)。問(wèn)題的延伸1：已知直線(xiàn)L外有一個(gè)定點(diǎn)P，在直線(xiàn)L上找兩點(diǎn)A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其

34、中m為定值）提示：作PC平行于A(yíng)B，且PC=AB，則問(wèn)題變?yōu)椋涸谥本€(xiàn)L上找一個(gè)點(diǎn)B，使它到P、C兩點(diǎn)的距離之和最短。問(wèn)題的延伸2：在兩條相交線(xiàn)之外有一個(gè)定點(diǎn)P，分別在兩條直線(xiàn)上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定B、C的位置？提示：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)L1和直線(xiàn)L2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1和P2，連接P1P2分別與兩直線(xiàn)交于B、C點(diǎn)，則PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里：?jiǎn)栴}超市：農(nóng)場(chǎng)里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚(yú)。在河的兩岸有兩個(gè)加工廠(chǎng)，農(nóng)場(chǎng)主經(jīng)常要在這兩個(gè)工廠(chǎng)之間來(lái)回奔波。農(nóng)場(chǎng)新買(mǎi)了一輛汽車(chē)，想在農(nóng)場(chǎng)內(nèi)建造一條馬路，同時(shí)在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能

35、使兩個(gè)加工廠(chǎng)之間的路程最短？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：在直線(xiàn)L1和直線(xiàn)L2之間作一條垂線(xiàn)段CD，使得BC+CD+DA最短。知識(shí)介紹：關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線(xiàn)中，線(xiàn)段最短（兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。一般說(shuō)來(lái)，線(xiàn)段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線(xiàn)段連接成一條線(xiàn)段，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來(lái)加以證明。另外，在平移線(xiàn)段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）問(wèn)題分析

36、：由于CD的長(zhǎng)度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線(xiàn)段AD平移到和線(xiàn)段BC共線(xiàn)的位置，于是變化為下面兩圖。問(wèn)題的總結(jié)與結(jié)論：一般來(lái)說(shuō)，我們利用圖形的對(duì)稱(chēng)性尋找到最近的位置，然后利用三角形和對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問(wèn)題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又該如何呢？如圖，把A向下平移到A的位置，使線(xiàn)段AA等于河L1L2的寬度；把B向上平移到B的位置，使線(xiàn)段BB等于河L3L4的寬度。連接線(xiàn)段BA，交L2于點(diǎn)C，交L3于點(diǎn)F。過(guò)C、F分別作垂線(xiàn)段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對(duì)稱(chēng)問(wèn)

37、題的進(jìn)一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線(xiàn)段和最小，那么對(duì)于線(xiàn)段差最小的問(wèn)題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢？1、直線(xiàn)L的異側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線(xiàn)L上求一個(gè)點(diǎn)C，使得：A、B到C的距離的差的絕對(duì)值最小。2、你認(rèn)識(shí)一些什么樣的軸對(duì)稱(chēng)圖形，它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)？ 等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：?jiǎn)栴}超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫(huà)一條直線(xiàn)為分界線(xiàn)，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個(gè)人，BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個(gè)人不知道怎么平分土地最能滿(mǎn)足個(gè)人的需要，你看這個(gè)土地的形狀（比較規(guī)則的L形）（如右圖所示），應(yīng)該怎樣平分呢？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個(gè)矩形所組

38、成（割、補(bǔ)）的圖形中尋找一條直線(xiàn)，使得圖形被分成兩部分，且兩部分的面積相等，而且，均含有BC邊的一部分。問(wèn)題分析：1、如何才能把一個(gè)矩形的面積等分。如圖，可以應(yīng)用矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)AC、BD，每組對(duì)邊的中點(diǎn)所在直線(xiàn)MP、NQ，且這四條直線(xiàn)都交于同一點(diǎn)O，對(duì)矩形的對(duì)稱(chēng)中心。即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心O的任意一條直線(xiàn)都可以平分矩形的面積。2、利用這個(gè)結(jié)論，土地可以看成是兩個(gè)矩形進(jìn)行割、補(bǔ)得到的，分別在每個(gè)圖中作兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心，經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就可以把這兩個(gè)矩形的面積進(jìn)行平分，分別如上面三個(gè)圖形所示：?jiǎn)栴}的延伸：三個(gè)方案確定之后，兩個(gè)農(nóng)民并不滿(mǎn)意，他們認(rèn)為：“這三種方法只是把土地平分

39、了，但是靠近水源的BC邊并沒(méi)有被平分?！眱扇藶榱斯喔确绞?，都想把靠近水源的BC邊也平分了，誰(shuí)會(huì)愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地，也平分水源，有什么辦法呢？問(wèn)題的分析：（如右圖所示）直線(xiàn)QR就是原來(lái)的分界線(xiàn)l，取線(xiàn)段QR的中點(diǎn)為S，取線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為P，則直線(xiàn)PS就是滿(mǎn)足兩個(gè)農(nóng)民要求的分界線(xiàn)。問(wèn)題的證明：與中，三組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且RS=PS，則兩個(gè)三角形全等，所以?xún)蓚€(gè)三角形的面積相等，于是經(jīng)過(guò)直線(xiàn)TP的分界仍保證了土地的平分，且過(guò)點(diǎn)P也使得水源得到了平分。思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、臺(tái)球桌上的數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題超市：臺(tái)球被

40、打到臺(tái)球桌邊上，反彈回來(lái)，就是我們常用的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。臺(tái)球從球桌的一個(gè)角出發(fā)，若沿著角將球打到對(duì)邊，然后，球經(jīng)過(guò)幾次碰撞，最后到另外的三個(gè)角落之一。如果臺(tái)球桌的長(zhǎng)和寬之比為2:1，需要碰撞幾次？如果臺(tái)球桌的長(zhǎng)和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3情況又會(huì)怎樣？知識(shí)介紹：此題類(lèi)似于物理中光線(xiàn)的反射，當(dāng)光線(xiàn)入射到平面鏡上的時(shí)候，光線(xiàn)會(huì)被鏡子反射。把反射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)看成兩條直線(xiàn)的話(huà)，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對(duì)稱(chēng)。在臺(tái)球桌（長(zhǎng)方形），由于入射角是，所以反射角也是，這樣入射線(xiàn)和反射線(xiàn)形成一個(gè)直角，相應(yīng)的，在臺(tái)球桌上就構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形，利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問(wèn)題分析

41、：我們分下面幾種情況進(jìn)行分析：（1）如果長(zhǎng)寬比為2:1，如圖，則1次就夠了；（2）如果長(zhǎng)寬比為3:2，如圖，則要碰撞3次，可以到左下角；（3）如果長(zhǎng)寬比為4:3，如圖，則要碰撞5次，可以進(jìn)洞；（4）如果長(zhǎng)寬比為5:3和7:5，分別如下圖所示，分別需要6和10次碰撞可以進(jìn)洞。問(wèn)題的總結(jié)：臺(tái)球桌的長(zhǎng)a臺(tái)球桌的寬b碰撞的次數(shù)c可能的關(guān)系2112+12=13233+22=34354+32=55365+32=675107+52=10ab?問(wèn)題的猜想：如果臺(tái)球桌的長(zhǎng)和寬之比為m:n（其中m、n互質(zhì)的正整數(shù)），那么碰撞的次數(shù)是：巧作“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”妙解最值題在初中平面幾何尤其在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，我們經(jīng)常會(huì)碰到求兩

42、線(xiàn)段和的最大值或和最小值的問(wèn)題，對(duì)這類(lèi)題目大家感到無(wú)從下手，求解有一定的難度，但只要通過(guò)作“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”都可迎刃而解的，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：例1 如圖1，點(diǎn)A、B表示兩個(gè)村莊，直線(xiàn)L表示一條公路，（村莊A、B在公路的同側(cè)）現(xiàn)要在公路L上建造一個(gè)汽車(chē)站，使車(chē)站到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最短，問(wèn)車(chē)站應(yīng)建在何處？解 作A點(diǎn)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)B交L于C，則點(diǎn)C就是所建車(chē)站的位置。證明 在直線(xiàn)L上另取一點(diǎn)連結(jié)AC，A，因?yàn)橹本€(xiàn)L是點(diǎn)A、的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸上，所以AC=A，A=，所以AC+CB= A+CB=B，在中，因?yàn)锽<+，所以AC+CB<A+即AC+CB最小例2 已知定點(diǎn)A（1，2），B（3

43、，4），在x軸的點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和最短，求P點(diǎn)坐標(biāo)。解 由例1啟發(fā)，如圖2作A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（1，-2）則過(guò)點(diǎn)（1，-2）、B（3，4）兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析為：，該直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為即為所求P點(diǎn)坐標(biāo)。（證略）例3 如圖3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE與PC的長(zhǎng)度和的最小值。解 因?yàn)锳BCD為正方形，所以A、C是關(guān)于BD所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)AP，由對(duì)稱(chēng)性知：AP=PC，則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線(xiàn)段AE。 在中。本例還可如圖4，在A(yíng)B上作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連，同樣有。例

44、4 三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，P是邊BC上任意一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t則=_分析 本題比上例更有一定的難度，S還好求，因?yàn)镻AAC，PMCM，所以，當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)C時(shí)，等號(hào)成立，所以。關(guān)鍵在于T，以BC為邊作正三角形，如圖5，作M關(guān)于BC所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、，因?yàn)?，所以在上，且，PM=，PA+PM=PA+，連結(jié)，則，所以所以。所以例5 矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在A(yíng)C、AB上各取一點(diǎn)M、N，使MB+MN值最小，求這個(gè)最小值。解 如圖6，作B關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)，則N點(diǎn)關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，這時(shí)BM+MN的最小值，即為BM+M的

45、最小值，顯然BM+M的最小值等于點(diǎn)B到的距離BH?，F(xiàn)在求BH的長(zhǎng)，設(shè)與DC交于P點(diǎn)，連結(jié)BP，則設(shè)AP=PC=x，則DP=20-x在RtAPD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即，解得x=12.5（厘米），即AP=12.5（厘米）。所以，即BM+MN的最小值是16厘米。通過(guò)作“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”使幾何題中求兩線(xiàn)段和的最大或最小值，這類(lèi)難題得到順利解決。此法簡(jiǎn)單明了，直觀(guān)易懂，而對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生空間想象能力確有一定的幫助。數(shù)學(xué)最值題的常用解法在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見(jiàn)題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一. 二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)（a

46、、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有若當(dāng)時(shí)，y有最小值。；若當(dāng)時(shí)，y有最大值。利用二次函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題之目的。 例1. 某玩具廠(chǎng)計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為，。（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)為1750元； （2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 解：（1）根據(jù)題意得 整理得 解得，（不合題意，舍去） （2）由題意知，利潤(rùn)為 所以當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)為1950元。二. 一

47、次函數(shù)的增減性 一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線(xiàn)，因而沒(méi)有最大（?。┲?；但當(dāng)時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線(xiàn)段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（小）值。例2. 某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問(wèn)甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為x人，則乙種工種的工人為人，由題意得： 所以 設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元，則有： （） 因?yàn)閥隨x的增大而減小 所以當(dāng)時(shí)，（元）三. 判別式法 例3. 求的最大值與最小值。分析：此題要求出最

48、大值與最小值，直接求則較困難，若根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實(shí)數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值范圍，并由此得出y的最值。解：設(shè)，整理得 即 因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以 即 解得 所以的最大值是3，最小值是。四. 構(gòu)造函數(shù)法“最值”問(wèn)題中一般都存在某些變量變化的過(guò)程，因此它們的解往往離不開(kāi)函數(shù)。 例4. 求代數(shù)式的最大值和最小值。 解：設(shè)，再令，則有 所以得y的最大值為，最小值為五. 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為k。例5. 設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么的最小值為_(kāi)。 解： 當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立。故所求的最小值為1。六. 零點(diǎn)區(qū)間討論法例6. 求函

49、數(shù)的最大值。分析：本題先用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。 解：易知該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)?shù)?當(dāng)時(shí)， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，y有最大值為七. 利用不等式與判別式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7. 已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)m最大值與最小值。 解：由題意得 所以x、y是關(guān)于t的方程的兩實(shí)數(shù)根，所以 即 解得 m的最大值是，m的最小值是1。八. “夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過(guò)解不等式獲取問(wèn)題的答案，這一方法稱(chēng)為“夾逼

50、法”。例8. 不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為_(kāi)。解：設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h 因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?得，所以 又因?yàn)?，代?得，所以 所以3<h<6，故整數(shù)h的最大值為5。求最值問(wèn)題最值型應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類(lèi)問(wèn)題貼近生活、貼近社會(huì)，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問(wèn)題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題對(duì)于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大最小值（簡(jiǎn)稱(chēng)“最值”），但在實(shí)際問(wèn)題中，因題目

51、中的自變量受到實(shí)際問(wèn)題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類(lèi)問(wèn)題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例、（2008年泉州市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）紅星服裝廠(chǎng)準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、B兩種型號(hào)的演出服，已知每小時(shí)生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套，且生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn)24套B型演出服所用的時(shí)間相同。設(shè)該廠(chǎng)每小時(shí)可生產(chǎn)A型演出服a套，用含a的代數(shù)式表示該廠(chǎng)生產(chǎn)24套B型演出服所用的時(shí)間；求出a的值。若該廠(chǎng)要在8小時(shí)之內(nèi)（含8小時(shí)）先后生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的演出服50套，且生產(chǎn)一套A、B兩種型號(hào)的演出服可得利潤(rùn)分別為40元和30元，問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤(rùn)最大？最大的總利潤(rùn)是多少元？分析：（）或解得（）設(shè)生產(chǎn)A型演出