高中數(shù)學基礎集合與簡易邏輯

1、數(shù)學基礎知識與典型例題第一章集合與簡易邏輯集合1.元素與集合的關系:用或表示；2.集合中元素具有確定性、無序性、互異性.3.集合的分類：按元素個數(shù)分：有限集，無限集；按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集y|y=x2,表示非負實數(shù)集，點集(x，y)|y=x2表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；4.集合的表示法：列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+=0，1，2，3，；描述法字母表示法:常用數(shù)集的符號：自然數(shù)集N；正整數(shù)集；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q、實數(shù)集R;例1 下列關系式中正確的是（ ）(A) (B)(C)0 (D)0例2 解集為_.例3設,已知,求實數(shù)的值.子集集合與集合的關系:用，

2、=表示;A是B的子集記為AB；A是B的真子集記為AB。任何一個集合是它本身的子集，記為；空集是任何集合的子集，記為；空集是任何非空集合的真子集；如果，同時，那么A = B；如果.n個元素的子集有2n個；n個元素的真子集有2n 1個；n個元素的非空真子集有2n2個.例4設，a=lg(lg10)，則a與M的關系是( )(A)a=M (B)Ma (C)aM (D)Ma例5集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3n+1，nZ，S=y|y=6m+1，mZ之間的關系是( )(A)SBA (B)S=BA (C)SB=A (D)SB=A例6用適當?shù)姆柼羁眨篲;3.14_;R+_R;x|x=2k+1,

3、kZ_x|x=2k1, kZ。例7已知全集U2，4，1a，A2，a2a2如果，那么a的值為_.交、并、補1.交集AB=x|xA且xB;并集AB=x|xA，或xB;補集CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集.2.集合運算中常用結論:例8設集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，則AB中的元素個數(shù)是( )(A)11 (B)1 (C)16 (D)15例9已知A=，B=x|，則AB=_。例10已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。交、并、補例11若A =(x，y)| y =x+1,B=y|y =x2+1, 則AB =_.例12設全集，則例13設全集

4、U = 1，2，3，4，5，6，7，8，A = 3，4，5 B = 4，7，8,求：（CU A）(CU B), (CU A)(CU B), CU(AB), CU (AB).不等式1.絕對值不等式的解法：的解集是;的解集是 公式法:,.(2)幾何法 (3)定義法（利用定義打開絕對值） (4)兩邊平方2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函數(shù)的圖象通過二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系從而推證出任何一元二次不等式的解集。 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根 R 注:分式、高次不等式的解法：標根法不等式14.不等式的解集是,則15.分式不等式的解集為：_.16.求使有意義的取值

5、范圍.不等式17.解不等式：|4x-3|>2x+1.18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1.19.解不等式：.20.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數(shù)k的取值范圍.命題1.命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復合命題；2.復合命題的形式：p且q，p或q，非p；(“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞；不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假即當q、p為真時，p且q為真；當p、q中有一個為假時，p且q為假。“p或q”形式復合命題當

6、p與q同為假時為假，其他情況時為真即當p、q均為假時，p或q為假；當p、q中有一個為真時，p或q為真；“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反即當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真。例21寫出命題：“若 x + y = 5則 x = 3且 y = 2”的逆命題否命題逆否命題，并判斷它們的真假。例22:“若” 是_命題.(填真、假)例23命題“若ab=0，則a、b中至少有一個為零”的逆否命題為_。例24：用反證法證明：已知x、yR，x+y2，求 證x、y中至少有一個不小于1。命題3.四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p

7、“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即Û。一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. （否命題逆命題.）一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.（ 原命題逆否命題.）4.反證法是中學數(shù)學的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。例25已知設P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減.：不等式的 解集為R，如果P和有且僅有一個正確，求的取值范圍.充分條件與必要條件充分條件與必要條件1.定義：當“若p則q”是真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件;當“若p則q”的逆命題為真時，q是p的充分條件，p是q的必要條件;當“若p則q”, “若q則p”均為真時，稱p是q的充要條件；2.在判斷充分條件及必要條件時，首先

8、要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合q，則當AB時，p是q的充分條件;BA時，p是q的充分條件;A=B時，p是q的充要條件；注：當p和q互為充要時，體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.例26:.(填,Ü)例27:條件甲:;條件乙:, 則乙是甲的_條件.例28“”是coscos”的( )(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件例29 已知p

9、：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，則p是q的( )(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分又不必要條件答案見下一頁數(shù)學基礎知識與典型例題(第一章集合與簡易邏輯)答案例1選A;例2填(2，1) 注:方程組解的集合應是點集.例3解:,.若,則,此時,與已知矛盾,舍去.若,則當時,.B中有兩個元素均為,與集合中元素的互異性矛盾,應舍去.當時,符合題意.綜上所述,.點評本題考查集合元素基本特征確定性、互異性、無序性，切入點是分類討論思想，由于集合中元素用字母表示，檢驗必不可少。例4C 例5C 例6Ï, 例7填2 例8C 例9例10解：M

10、=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1注：在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認為是點集，從而解方程組。其次要化簡集合。實際上，從函數(shù)角度看，本題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA應看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本質(zhì)差異的，后者是點集，表示拋物線y=x2+1上的所有點，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關，例如y|y1=x|x1。例11填注：點集與數(shù)集的交集是. 例12埴,R例1

11、3解：CU A = 1，2，6，7，8 ,CU B = 1，2，3，5，6,(CU A)(CU B) = 1，2，6 ,(CU A)(CU B) = 1，2，3，5，6，7，8, AB = 3,4,5,7,8,AB = 4, CU (AB) = 1,2,6 ,CU (AB) = 1,2,3,5,6,7,8例14;例15原不等式的解集是例16 例17分析：關鍵是去掉絕對值.方法1：原不等式等價于,即，x>2或x<，原不等式的解集為x| x>2或x<.方法2：(整體換元轉(zhuǎn)化法)分析：把右邊看成常數(shù)c，就同一樣|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3&l

12、t;-(2x+1) x>2 或x<，原不等式的解集為x| x>2或x<.例18分析：關鍵是去掉絕對值. 方法1：零點分段討論法（利用絕對值的代數(shù)定義）當時，4<1當時，當時-4<1綜上,原不等式的解集為也可以這樣寫：解：原不等式等價于或或 ，解的解集為，的解集為x|<x<3，的解集為x|x3,原不等式的解集為x|x>.方法2：數(shù)形結合:從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|<1表示數(shù)軸上到3和-1兩點的距離之差小于1的點原不等式的解集為x|x>.例19答：x|x0或1<x<2例20解：要原方程有兩個負實根，必須

13、:.實數(shù)k的取值范圍是k|-2<k<-1或<k<1.例21解：逆命題：若 x = 3 且 y = 2 則 x + y = 5（真）否命題：若 x + y ¹ 5 則 x ¹ 3且y¹2（真）逆否命題：若 x ¹ 3 或y¹2 則 x + y ¹5（假）例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，則a+b = 5，成立，所以此命題為真.例23答:若a、b都不為0，則ab0例24解：假設x<1且y<1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2與已知x+y2矛盾, 假設不成立 x、y中至少有一個不小于

14、1注反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證“若p則非q”為假，因在條件p下，q與非q是對立事件（不能同時成立，但必有一個成立），所以當“若p則非q”為假時，“若p則q”一定為真。例25解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減不等式例26答：.例27答既不充分也不必要解:“若 x + y =3,則x = 1或y = 2”是假命題,其逆命題也不成立.逆否命題: “若,則”是假命題, 否命題也不成立.故是的既不充分也不必要條件.例28選B 例29選A1、當別人說你“有缺陷”時，你就“瘋狂地戰(zhàn)勝它”吧！瘋狂就是：“Practice while others are com

15、plaining.   當別人抱怨時你練習。Believe while others are doubting.    當別人疑惑時你堅信?！?#160;   從一個人的“反彈爆發(fā)力”上，我最佩服乒乓球雙料冠軍鄧亞萍。    她因為身高只有1米5，曾經(jīng)被省隊和國家隊都拒絕過，她父親就對她說：“你個子矮，就必須把球打得快，這樣才有進攻性；你個子矮，別人跑一步，你就要跑兩步，所以你一定要跑得快?！?#160;   因為她要克服個子矮的弱點，所以在訓練時，她比任何人都要付出多兩倍的努力，每天要換幾次衣服，晚上趁別人睡下時，還要再悄悄躲進訓練房苦練到暈倒為止。    鄧亞萍說：“我打球打贏了還不一定能進國家隊，更別說輸了。所以我打球很兇狠，那是逼出來的?！?#160;   假如你感覺自己有某方面缺陷弱點時，你就瘋狂地戰(zhàn)勝它吧，像鄧亞萍一樣，當別人休息時你練習；當別人疑惑時你堅信；當別人放棄時你堅持苦練短處，把短處變