高中數(shù)學(xué)奧林匹克基礎(chǔ)教程

1、高中數(shù)學(xué)奧林匹克基礎(chǔ)教程江蘇沛縣 孫統(tǒng)權(quán)教 學(xué) 計(jì) 劃第一講 賽題選例 第二講 組 合第三講 組合幾何 第四講 極端原理 第五講 抽屜原理 第六講 圖 論第七講 數(shù) 論 第八講 軌 跡前 言2007年7月15日至24日，江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營在靖江舉辦，由省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織專家學(xué)者親自授課。編者作為夏令營中的受訓(xùn)教練，親身體會(huì)到與會(huì)專家博大精深的知識(shí)厚度和深入淺出的教學(xué)風(fēng)格，并做了課堂筆記，對(duì)相關(guān)教學(xué)資料進(jìn)行了整理。夏令營結(jié)束后，從自身實(shí)踐出發(fā)，編成本教程。教程共8講，每講4學(xué)時(shí)，共32學(xué)時(shí)。指導(dǎo)思想為“領(lǐng)略奧賽風(fēng)采，拓展數(shù)學(xué)視野，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，啟迪數(shù)學(xué)方法”，內(nèi)容選取原則為 “參照競賽數(shù)學(xué)

2、知識(shí)體系，根據(jù)學(xué)生接受能力，與當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容協(xié)調(diào)互補(bǔ)”。對(duì)本教程建議采用“探索-討論-啟發(fā)-再探索-直至完成”的教學(xué)模式，使學(xué)生思維密度大，所受局限少，能充分的體會(huì)數(shù)學(xué)智慧和創(chuàng)造的樂趣，較直接的感受競賽數(shù)學(xué)。在各知識(shí)點(diǎn)章節(jié)講授時(shí)，宜通過具體解題展示數(shù)學(xué)體系，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語而突出數(shù)學(xué)思想，選擇、補(bǔ)充題目時(shí)注意結(jié)合實(shí)際情況，減少復(fù)雜度，使學(xué)生負(fù)擔(dān)輕，進(jìn)步感強(qiáng)，在領(lǐng)略數(shù)學(xué)美的同時(shí)達(dá)到訓(xùn)練目的。本教程參考了2007年省夏令營專家的授課內(nèi)容，使用了部分原題。同時(shí)，參考了華師大版數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書，安徽少兒版初中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)競賽輔導(dǎo)訓(xùn)練和其他若干書籍。在此予以感謝，并在補(bǔ)注中注明各題的直接來源。本教程

3、可以作為高中奧林匹克訓(xùn)練的起始教材，或供學(xué)生選修的一個(gè)模塊。將它整理出來，意在拋磚引玉，為我們江蘇乃至全國的數(shù)學(xué)奧林匹克的發(fā)展作一點(diǎn)貢獻(xiàn)。雖力求嚴(yán)謹(jǐn)，由于個(gè)人能力經(jīng)驗(yàn)所限，其中錯(cuò)誤和不完善之處仍在所不少，懇請(qǐng)廣大專家、教練、數(shù)學(xué)奧林匹克愛好者不吝指教。本版版本號(hào)1.2。編者電子信箱：。第一講 賽題選例一、課堂討論：1 證明：任何四面體上都存在一個(gè)頂點(diǎn)，可以用由它發(fā)出的三條棱組成三角形。2 用不在形內(nèi)相交的對(duì)角線將正奇數(shù)邊形劃分為一系列三角形。證明：其中有且只有一個(gè)銳角三角形。3 證明：可以找到4個(gè)絕對(duì)值大于10000的整數(shù)a,b,c,d，使 。4 能否用兩個(gè)邊長小于1的正三角形蓋住一個(gè)邊長等于

4、1的正三角形？5 能否用兩個(gè)半徑小于1的圓蓋住一個(gè)半徑等于1的圓？6 a>0，為了能蓋住一個(gè)邊長為4a的正方形，最多需要幾個(gè)半徑為3a的圓？7 數(shù)學(xué)老師讓課代表走出教室，接著讓學(xué)生隨意在黑板上寫上十幾個(gè)數(shù)字，然后老師擦去一個(gè)數(shù)字，讓課代表進(jìn)來。結(jié)果發(fā)現(xiàn)課代表居然能準(zhǔn)確地猜出被擦去的數(shù)字，且屢試不爽。請(qǐng)問這里面可能有什么秘訣？二、課后思考：1 對(duì)于整數(shù)n>3，我們用n?表示所有小于n的素?cái)?shù)的乘積。解方程：n?=2n+162 在黑板上寫有100個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的分子剛好為整數(shù)1-100各出現(xiàn)一次，分母也是這樣。這100個(gè)分?jǐn)?shù)之和可化為分母為2的最簡分?jǐn)?shù)。求證：可以交換某兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，使這

5、100個(gè)分?jǐn)?shù)之和可化為分母為奇數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)。3 10個(gè)人聚會(huì)，每個(gè)人在其余與會(huì)者中都至少有5個(gè)熟人。證明：可以從他們中叫出4個(gè)人圍成一圈，使每兩個(gè)鄰座都是熟人。4 平面上有25個(gè)給定點(diǎn)，其中任何3點(diǎn)中都有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1。證明：可以用1個(gè)單位圓至少蓋住其中13個(gè)點(diǎn)。5 在凸20邊形的每個(gè)定點(diǎn)上都寫有兩個(gè)不同的數(shù)。證明：可以從每個(gè)頂點(diǎn)上劃去一個(gè)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)上剩下的數(shù)都互不相同。6 將邊長為n的正三角形的每邊n等分，過每個(gè)分點(diǎn)分別作另兩邊的平行線。得到若干個(gè)單位正三角形。設(shè)f(n)是從最上面的單位正三角形到最下面一行中間的單位正三角形的通路的數(shù)目，求f(2005)的值。（05年加拿

6、大奧林匹克）（通路是指可以從一個(gè)單位正三角形走向另一個(gè)與其有公共邊，且與其在同一行或在其所在行的下一行。同時(shí)，每個(gè)單位正三角形不能經(jīng)過2次或2次以上。如圖是n=5的一條通路的例子。）第二講 組 合一、 上一講思考題討論二、 組合問題討論： 在數(shù)學(xué)競賽中，組合題泛指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。這類題目往往只是涉及常識(shí)性知識(shí)，然而相當(dāng)靈活。1 已知平面上10個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交。是否存在直線l，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論。2 在一張矩形紙上畫有一個(gè)圓。米老鼠在其中選了一個(gè)點(diǎn)，讓唐老鴨猜。唐老鴨在紙上每指出一個(gè)點(diǎn)，米老鼠就告訴他是否猜中，如果沒有，就告訴他離被猜點(diǎn)有多大距離。唐老鴨帶著刻度尺和圓規(guī)。問：他

7、至少要猜幾次，才能一定猜出米老鼠所選的點(diǎn)？怎樣猜？3 教室里有n排椅子，每排n張，每張椅子上坐一個(gè)學(xué)生?，F(xiàn)在有求按以下規(guī)則調(diào)換座位：(1)每個(gè)學(xué)生必須換到新的座位上；(2)每個(gè)學(xué)生只能換到相鄰（前、后、左、右）的座位上（允許兩個(gè)學(xué)生互換座位）。 證明：n為偶數(shù)時(shí)，可以完成座位調(diào)換，但n為奇數(shù)時(shí)不可以。（06年海灣）4 8個(gè)人圍著桌子坐成一圈，有多少種握手方法，使得4對(duì)握手的人胳膊不交叉？（據(jù)01年英國試題簡化）5 現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值。（02年江蘇初中）三、課后思考：1 在正n邊

8、形的每個(gè)定點(diǎn)上各停有一只喜鵲。偶受驚嚇，眾喜鵲都飛去。一段時(shí)間后，它們又都飛回這些頂點(diǎn)上，仍是每個(gè)頂點(diǎn)上一只，但未必都回到原來的頂點(diǎn)。求所有的正整數(shù)n，使得一定存在3只喜鵲，以它們前后所在的頂點(diǎn)分別形成的三角形或同為銳角三角形，或同為直角三角形，或同為鈍角三角形。（01年中國）2 T稱為淘氣子集：若對(duì)于任意的u、vT(u,v不必不同)，u+vT。求證：1,2,3,，2006的任意一個(gè)淘氣子集至少有1003個(gè)元素。（06年越南）3 高一（1）班語文、數(shù)學(xué)、英語三門課測試，成績優(yōu)秀的分別有15、12、9名，并且這三門課中，至少有一門課優(yōu)秀的共有22名。那么，三門課全是優(yōu)秀的最多有多少名？最少有多少

9、名？（00年江蘇初中）4 把7個(gè)兩兩不同的球分給兩個(gè)人，使每人至少分得兩個(gè)球，則不同的分法共有多少種？（01年五羊杯初中）5 N為自然數(shù)，且,那么N的值是多少？（02年希望杯初中）6 13名小運(yùn)動(dòng)員，他們著裝的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼分別是1-13號(hào)。問：這13名運(yùn)動(dòng)員能否站成一個(gè)圓圈，使得任意相鄰的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于3且不大于5？如果能，試舉一例。如果不能，請(qǐng)說明理由。（03年北京初中）第三講 組合幾何一、上一講思考題討論二、組合幾何問題討論： 凸多邊形：如果多邊形位于它任何一條邊所在直線的同側(cè)，則稱其為凸多邊形。 凸包：給定平面上若干個(gè)點(diǎn)，用一根松緊性很強(qiáng)的線圈住它們，當(dāng)線繃緊時(shí)，所形

10、成的凸多邊形就可以視作這些點(diǎn)的凸包。1 給定平面上n個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線。證明：在這n個(gè)點(diǎn)中可以挑出三個(gè)點(diǎn)，使得從其中一個(gè)點(diǎn)引出的到其他兩個(gè)點(diǎn)的射線之間的夾角不超過。2 平面上給出22個(gè)點(diǎn)，其中無三點(diǎn)共線。證明：可以將這些點(diǎn)配成11對(duì)，使每對(duì)點(diǎn)連成的線段之間至少有五個(gè)交點(diǎn)。3 證明：存在一個(gè)三角形，可以被分割成1989個(gè)全等的三角形。（提示：題目中，若將1989改成13，原理相同。）4 已知格點(diǎn)圖形面積，試確定a,b,c的值并通過多種格點(diǎn)圖形驗(yàn)證之。三、課后思考：1 平面上給出2n+3個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，任意四點(diǎn)不共圓。證明：從這些點(diǎn)中能夠選取三個(gè)點(diǎn)，使得剩余的點(diǎn)中有n個(gè)位于過這三點(diǎn)的圓的內(nèi)

11、部，而另n個(gè)點(diǎn)位于這個(gè)圓的外部。2 在平面上給出有限個(gè)點(diǎn)，證明：在它們之中可以選出這樣的點(diǎn)，使得與它最近的已知點(diǎn)：（1）不超過6個(gè)；（2）不超過3個(gè)。3 證明：任意三角形可以（用直線）分解成三部分，使得由它們能拼成一個(gè)長方形。4 平面上任給n個(gè)不同的點(diǎn)（n2）,確定并證明：以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，至少有多少個(gè)不同的中點(diǎn)。5 證明：整點(diǎn)三角形不能是正三角形。第四講 極端原理一、上一講思考題討論二、極端原理問題討論：1 平面上有n個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成面積不超過1的三角形。證明：存在面積不超過4的三角形覆蓋這n個(gè)點(diǎn)。2 平面上有n個(gè)點(diǎn)不共線。證明：存在三個(gè)點(diǎn)A、B、C使得其余n-3個(gè)點(diǎn)都在ABC外面（

12、至少有5種方法）。3 有n(n3)個(gè)排球隊(duì)參加單循環(huán)賽（排球賽的每場都要分出勝負(fù)），比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)隊(duì)全勝。求證：必存在三個(gè)隊(duì)A,B,C，使A勝B,B勝C，C又勝A。4 平面上有n個(gè)紅點(diǎn)與n個(gè)藍(lán)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都不共線。求證：可以用n條線段連接這2n個(gè)點(diǎn)，每條線段連接一個(gè)紅點(diǎn)和一個(gè)藍(lán)點(diǎn)，且這n條線段沒有公共點(diǎn)。三、課后思考：1 在邊長為一的正方形四邊上各任取一點(diǎn)，連成一個(gè)四邊形。證明：這一四邊形必有一邊長度不小于。2 證明：在任意的凸五邊形中能找到三條對(duì)角線，用他們可以構(gòu)成一個(gè)三角形。3 平面上一個(gè)有限點(diǎn)集，其中任何三點(diǎn)都是直角三角形的頂點(diǎn)。試確定這個(gè)點(diǎn)集最多可包含多少個(gè)點(diǎn)。4 平面上10

13、0個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間的距離1，任意三點(diǎn)為一個(gè)鈍角三角形的頂點(diǎn)。證明：可作一個(gè)直徑為1的圓，蓋住這100個(gè)已知點(diǎn)。5 在某個(gè)星系的每一個(gè)星球上，都有一位天文學(xué)家在觀測最近的星球。若每兩個(gè)星球間的距離都不相等，證明：當(dāng)星球的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，一定有一個(gè)星球沒有被觀測。第五講 抽屜原理一、抽屜原理基本題討論：1 在邊長為1的正三角形中，任意放置5個(gè)點(diǎn)，則必有兩點(diǎn)之間的距離不超過0.5。2 在3行9列共27個(gè)小方格一一涂上紅色或藍(lán)色。證明無論如何涂法，其中至少有兩列涂色方法相同。二、上一講思考題討論三、抽屜原理問題討論：1 在坐標(biāo)平面上，任取5個(gè)格點(diǎn)，其中一定存在兩個(gè)格點(diǎn)，它們的中點(diǎn)仍是格點(diǎn)。2 有99個(gè)

14、人參加了一次聚會(huì)，聚會(huì)正式開始前他們之間相互握手問候。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們每個(gè)人都恰好和66個(gè)人握過手。證明：可能出現(xiàn)這種情況，在任何四人中都一定存在兩個(gè)人沒有握過手。3 有6個(gè)點(diǎn)，任意3點(diǎn)不共線，證明：若將其中任意兩點(diǎn)間的連線染成紅色或藍(lán)色之一，則必存在一個(gè)三邊顏色相同的三角形。4 在邊長為1的正方形內(nèi)部，放置若干個(gè)圓，這些圓的周長之和等于10。證明：可作一條直線，至少和其中四個(gè)圓有交點(diǎn)。5 在邊長為1的正方形內(nèi)部有一條長度為1000的不自身相交的折線。證明：存在一條直線，它垂直于正方形的某一條邊，并且與折線至少有500個(gè)交點(diǎn)。四、課后思考：1 如圖，編號(hào)為1到8的兩組滾珠均勻放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開

15、始時(shí)每兩個(gè)相對(duì)滾珠號(hào)碼均不相同。證明：當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按照相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)同號(hào)碼滾珠相對(duì)。 2 作一個(gè)圓的任意2003條直徑，在它們和圓的4006個(gè)交點(diǎn)上任意填寫不大于1001的正整數(shù)（可以重復(fù)填寫）。證明：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的兩個(gè)數(shù)字的和相等。3 把1到10的自然數(shù)擺成一個(gè)圓周。證明：一定存在三個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)不小于18。 4 把1到10的自然數(shù)擺成一個(gè)圓周。證明：一定存在三個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)不小于17。 5 在3×4的矩形內(nèi)任取六個(gè)點(diǎn)。證明：必有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過。 6 在邊長為1的正方形內(nèi)任取51個(gè)點(diǎn)。證明：它們中有三個(gè)點(diǎn)能被

16、半徑為的圓覆蓋。7 將66個(gè)直徑為的圓任意放入一個(gè)邊長為10的正方形內(nèi)。證明：必有兩個(gè)圓有公共點(diǎn)。第六講 圖 論一、上一講思考題討論二、圖論問題討論：1 七橋問題歐洲的哥尼斯堡，景致迷人，碧波蕩漾的普萊格爾河橫穿其境。河中有兩個(gè)島A與D，河上有七座橋連接這兩個(gè)島及河的兩岸B、C。問：一個(gè)旅游者能否通過每座橋一次且僅一次？2 九名數(shù)學(xué)家在一次國際數(shù)學(xué)會(huì)議上相遇，發(fā)現(xiàn)他們之中的任意三個(gè)人中，至少有兩個(gè)人可以用同一種語言對(duì)話。如果每個(gè)數(shù)學(xué)家至多可說三種語言，證明至少有三名數(shù)學(xué)可以用同一種語言對(duì)話。（78年美國）3 在n(n>2)個(gè)人中，至少有兩個(gè)人，他們的朋友數(shù)目一樣多。4 在一次國際數(shù)學(xué)家大

17、會(huì)上，7位來自不同國家的數(shù)學(xué)家會(huì)話能力如下：A)英語；B)英語和漢語；C)英語、意大利語和西班牙語；D)漢語和日語；E)德語和意大利語；F)法語、日語和西班牙語；G)法語和德語。問：怎樣安排這7名數(shù)學(xué)家圍著一個(gè)圓桌坐下，使得每個(gè)人都能和他身邊的兩個(gè)人交談？5 7個(gè)人參加一次會(huì)議，在會(huì)議期間，每天都要在一張圓桌上共進(jìn)晚餐。如果要求每次晚餐就坐時(shí)，每個(gè)人相鄰就坐者都不相同。問：這樣的晚餐最多能進(jìn)行多少次？畫出各次的座位布置圖。6 證明：在任何六個(gè)人中，總可以找到三個(gè)相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí)的人。7 大廳里會(huì)聚了100個(gè)客人，他們中每人至少認(rèn)識(shí)67人，證明：在這些客人中一定可以找到4人，他們之中任何兩人

18、都彼此相識(shí)。（66年波蘭）三、課后思考：1 某大型聚會(huì)有605個(gè)人參加。已知他們每個(gè)人都至少和其中的另一個(gè)人握過手。證明：必有一個(gè)人至少和其中的兩個(gè)人握過手。2 有n(n>3)個(gè)人，他們之間有些人互相認(rèn)識(shí)，有些人互相不認(rèn)識(shí)，而且至少有一個(gè)人沒有與其他人都認(rèn)識(shí)。問：與其他人都認(rèn)識(shí)的人數(shù)的最大值是多少？（美國）3 有n個(gè)藥箱，每兩個(gè)藥箱里有一種相同的藥，每種藥恰好在兩個(gè)藥箱里出現(xiàn)，問：有多少種藥？4 空間中六個(gè)點(diǎn)兩兩連線，用紅、藍(lán)兩種顏色對(duì)這些邊染色。證明恒存在兩個(gè)同色三角形。5 甲、乙、丙、丁四個(gè)人比賽乒乓球，每兩個(gè)人都要賽一場。結(jié)果甲勝了丁，且甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同。問：乙勝幾場？6

19、 N名棋手進(jìn)行比賽，每一個(gè)人與若干人進(jìn)行了比賽，假定比賽中沒有平局。如果沒有v1勝v2，v2勝v3，vk勝v1這樣的情形出現(xiàn)，證明必有一個(gè)人在所有的比賽中全勝，也必有一個(gè)人在所有的比賽中全負(fù)。第七講 數(shù) 論（含軌跡預(yù)習(xí)作業(yè)）一、上一講思考題討論二、數(shù)論問題討論： 1 （03希望杯全國）對(duì)任意三個(gè)整數(shù)，則 A .它們的和是偶數(shù)的可能性小 B .它們的和是奇數(shù)的可能性小 C .其中必有兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù) D .其中必有兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)2 下列各組數(shù)中，不是方程85x324y=101的解的一組數(shù)是 A . x=329，y=86 B . x=653，y=171 C . x=1301，y=341 D .x

20、=978，y=2563 （01希望杯全國）已知兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)p、q滿足下列關(guān)系：p22001p+m=0，q22001q+m=0，m是適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，那么p2+q2 = A . 4 004 006 B . 3 996 005 C . 3 996 003 D . 4 004 0044 若1 059,1 417和2 312 分別被自然數(shù)x除時(shí),所得的余數(shù)都是正整數(shù)y，則xy等于 A .15 B . 1 C . 164 D . 1795 （02重慶）設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，若x=5，y=-3，z=-2，則x-y+z可以取值的個(gè)數(shù)是： A .1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)6（00五羊杯）設(shè)x表

21、示不大于x的最大整數(shù)，如3.15=3，3=3，則等于 A.2 000 000 B.2 001 000 C.2 002 000 D.2 003 0017 （00五羊杯）今有正整數(shù)帶余除式A÷B=C8，如果A+B+C=2 178，那么A為 A.2 000 B.2 001 C.2 071 D.2 1008 （00五羊杯）設(shè)正整數(shù)x>y，x+y=667，x、y的最小公倍數(shù)為P，最大公約數(shù)為Q，且P=120Q，則x-y的最大值為 。9 （03四川）對(duì)于一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)n5-5n3+4n的最大公約數(shù)是 。10 （02五羊杯）自然數(shù)n1，滿足2002×n是完全立方數(shù)，n&#

22、247;2002是完全平方數(shù)，這樣的n中的最小值是 。三、數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)：1.奇偶性分析 2.質(zhì)因數(shù)分解（注意：2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。）3.帶余除法。設(shè)a,b是兩個(gè)正整數(shù)，則存在唯一整數(shù)p,r(0rb)，使a=bq+r。r=0時(shí)，叫做b整除a，記作b|a。整除的主要性質(zhì)有若a|b,b|c，則a|c；若c|ab，(a,c)=1，則c|b；若c|a,c|b，則c|(ma±nb)4.同余。如果用m去除任意兩個(gè)整數(shù)a與b所得的余數(shù)相同，則a與b對(duì)模m同余，記作ab(modm)。同余的主要性質(zhì)有：若ab(modm)，則ba(modm)；若ab(modm)，bc(modm)，則ac(modm)；同

23、余與整除的關(guān)系：ab(modm) m|(a-b)5.數(shù)論函數(shù)x與x。設(shè)x是實(shí)數(shù)，不大于x的最大整數(shù)叫做x的整數(shù)部分，記作x；x與x的差x-x叫做x的小數(shù)部分，記作x，即x=x-x。數(shù)論函數(shù)的常用性質(zhì)有：xxx+1；若n是整數(shù)，則n+x=n+x；x+yx+y；0x1；x+yx+y。6 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。a、b的最小公倍數(shù)記作a,b，最大公約數(shù)記作(a,b),有。四、課后思考：A.數(shù)論部分1 （03希望杯）正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù)，且m3+n=371，則mn= 。2 （02全國）設(shè)N=23x+92y為完全平方數(shù)，且N不超過2392，則滿足上述條件的一切正整數(shù)對(duì)（x，y）共有 對(duì)。3

24、（01五羊杯）今天是星期六，從今天開始，過了（共2001個(gè)123）天之后是星期 。4 解方程x2-xx-x2=05 （01北京）1與0交替排列，組成下面形式的一串?dāng)?shù)：101，10101，1010101，101010101，請(qǐng)你回答，在這串?dāng)?shù)中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？并證明你的論斷。6 （01北京）在六張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6，打亂秩序后，將紙片反過來，在他們的反面也隨意分別寫上1到6這六個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面和反面所寫數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出六個(gè)數(shù)。請(qǐng)你證明：所得六個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的。B.軌跡部分1 一架立在光滑地板上的梯子抵墻下滑。一只貓正好坐在這架梯子的中間。試問這只

25、貓?jiān)谔葑酉禄瑫r(shí)會(huì)沿著怎樣的一條路線運(yùn)動(dòng)？2 如果這只貓沒有坐在梯子的中間，設(shè)其上部梯子長為a，下部梯子長為b,以地平線為x軸，以墻為y軸建系，貓的坐標(biāo)為(x,y)，那么，在梯子下滑時(shí)，它的軌跡方程是？ 第1題 第3題 第4題3 在一個(gè)定圓O內(nèi)，有一個(gè)直徑為其一半的小圓在作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。試問：動(dòng)圓上的點(diǎn)K將會(huì)劃出一條怎樣的線來？4 半徑為r1和r2（r1>r2）的兩個(gè)輪子沿著一條直線l滾動(dòng)。試求其內(nèi)公切線的交點(diǎn)的集合。5 已知一點(diǎn)A和一圓。求頂點(diǎn)N位于已知圓上的等邊三角形ANM的頂點(diǎn)M的集合。6 已知一角和角內(nèi)一點(diǎn)D，過D作一條直線，使它與已知角兩邊所形成的三角形的面積最小。注：本講所選數(shù)

26、論競賽題均來自初中競賽第八講 軌 跡一、上一講數(shù)論思考題討論，軌跡預(yù)習(xí)思考題討論。二、軌跡問題討論：1 平面內(nèi)有一個(gè)已知圓和一個(gè)已知點(diǎn)A。過A點(diǎn)向已知圓引一系列的直線。試求被圓截取的所有弦的中點(diǎn)的集合。 第1題 第2題2 已知兩點(diǎn)A,B。過B作一系列的直線。試求以這些直線為對(duì)稱軸的A點(diǎn)的所有的對(duì)稱點(diǎn)的集合。3 已知一個(gè)圓和圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)A和B。試求圓的內(nèi)接直角三角形，使得這兩個(gè)已知點(diǎn)在直角的兩邊上。4 已知A,B兩點(diǎn)，求出這樣的點(diǎn)M的集合，使得：直線AB與兩圓相切，與一圓切于A，與另一圓切于B，而兩圓又在M點(diǎn)相切。5 A,B為兩個(gè)不同的城市。求出具有如下性質(zhì)的M點(diǎn)的集合：若一個(gè)人沿一條直線從M

27、點(diǎn)走到B點(diǎn)，那么，從M到A的距離總是在增加。 第5題 第6題6 一個(gè)木制的三角形在一個(gè)平面上移動(dòng)，使它的銳角頂點(diǎn)分別沿著一個(gè)已知直角的兩邊運(yùn)動(dòng)。試問這個(gè)三角形的頂點(diǎn)將如何移動(dòng)？補(bǔ) 注說明：本注中凡涉及“授課內(nèi)容”，均為在2007年江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營上的專家授課內(nèi)容。該屆夏令營由江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主辦，江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)承辦。對(duì)部分專家，因未找到有關(guān)介紹，故只寫姓名，敬請(qǐng)諒解。本教程編者對(duì)原題的少許簡化、改動(dòng)，不再注明。本教程于2007年8月8日首次發(fā)布。當(dāng)前版本號(hào)1.2。本教程各題答案及講解建議請(qǐng)致函電子信箱：，寫明所在學(xué)校、教練姓名、聯(lián)系電話、培訓(xùn)簡況及教程版本號(hào)后索取。一般不接受學(xué)生的答案索取要求。題目來源：第一講 賽題選例 本講課堂討論1-7題，課后思考1-5題源自國家奧數(shù)專家組領(lǐng)隊(duì)蘇淳的授課內(nèi)容。課后思考第6題源自國家奧數(shù)金牌教練周敏澤的授課內(nèi)容。第二講 組 合 本講課堂討論1-4題，課后思考1-2題源自周敏澤的授課內(nèi)容。課堂討論第5題，課后思考3-6題源自繆選民主編初中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)競賽輔導(dǎo)訓(xùn)練（安徽少兒版，2005）。第三講 組合幾何 本講除課堂第四題外，全部內(nèi)容均源自奧數(shù)國家集訓(xùn)隊(duì)教練余紅兵著組