高中數(shù)學(xué)奧林匹克基礎(chǔ)教程

1、高中數(shù)學(xué)奧林匹克基礎(chǔ)教程江蘇沛縣 孫統(tǒng)權(quán)教 學(xué) 計 劃第一講 賽題選例 第二講 組 合第三講 組合幾何 第四講 極端原理 第五講 抽屜原理 第六講 圖 論第七講 數(shù) 論 第八講 軌 跡前 言2007年7月15日至24日，江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營在靖江舉辦，由省數(shù)學(xué)學(xué)會組織專家學(xué)者親自授課。編者作為夏令營中的受訓(xùn)教練，親身體會到與會專家博大精深的知識厚度和深入淺出的教學(xué)風(fēng)格，并做了課堂筆記，對相關(guān)教學(xué)資料進行了整理。夏令營結(jié)束后，從自身實踐出發(fā)，編成本教程。教程共8講，每講4學(xué)時，共32學(xué)時。指導(dǎo)思想為“領(lǐng)略奧賽風(fēng)采，拓展數(shù)學(xué)視野，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，啟迪數(shù)學(xué)方法”，內(nèi)容選取原則為 “參照競賽數(shù)學(xué)

2、知識體系，根據(jù)學(xué)生接受能力，與當前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容協(xié)調(diào)互補”。對本教程建議采用“探索-討論-啟發(fā)-再探索-直至完成”的教學(xué)模式，使學(xué)生思維密度大，所受局限少，能充分的體會數(shù)學(xué)智慧和創(chuàng)造的樂趣，較直接的感受競賽數(shù)學(xué)。在各知識點章節(jié)講授時，宜通過具體解題展示數(shù)學(xué)體系，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語而突出數(shù)學(xué)思想，選擇、補充題目時注意結(jié)合實際情況，減少復(fù)雜度，使學(xué)生負擔輕，進步感強，在領(lǐng)略數(shù)學(xué)美的同時達到訓(xùn)練目的。本教程參考了2007年省夏令營專家的授課內(nèi)容，使用了部分原題。同時，參考了華師大版數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書，安徽少兒版初中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識競賽輔導(dǎo)訓(xùn)練和其他若干書籍。在此予以感謝，并在補注中注明各題的直接來源。本教程

3、可以作為高中奧林匹克訓(xùn)練的起始教材，或供學(xué)生選修的一個模塊。將它整理出來，意在拋磚引玉，為我們江蘇乃至全國的數(shù)學(xué)奧林匹克的發(fā)展作一點貢獻。雖力求嚴謹，由于個人能力經(jīng)驗所限，其中錯誤和不完善之處仍在所不少，懇請廣大專家、教練、數(shù)學(xué)奧林匹克愛好者不吝指教。本版版本號1.2。編者電子信箱：。第一講 賽題選例一、課堂討論：1 證明：任何四面體上都存在一個頂點，可以用由它發(fā)出的三條棱組成三角形。2 用不在形內(nèi)相交的對角線將正奇數(shù)邊形劃分為一系列三角形。證明：其中有且只有一個銳角三角形。3 證明：可以找到4個絕對值大于10000的整數(shù)a,b,c,d，使 。4 能否用兩個邊長小于1的正三角形蓋住一個邊長等于

4、1的正三角形？5 能否用兩個半徑小于1的圓蓋住一個半徑等于1的圓？6 a>0，為了能蓋住一個邊長為4a的正方形，最多需要幾個半徑為3a的圓？7 數(shù)學(xué)老師讓課代表走出教室，接著讓學(xué)生隨意在黑板上寫上十幾個數(shù)字，然后老師擦去一個數(shù)字，讓課代表進來。結(jié)果發(fā)現(xiàn)課代表居然能準確地猜出被擦去的數(shù)字，且屢試不爽。請問這里面可能有什么秘訣？二、課后思考：1 對于整數(shù)n>3，我們用n?表示所有小于n的素數(shù)的乘積。解方程：n?=2n+162 在黑板上寫有100個分數(shù)，它們的分子剛好為整數(shù)1-100各出現(xiàn)一次，分母也是這樣。這100個分數(shù)之和可化為分母為2的最簡分數(shù)。求證：可以交換某兩個分數(shù)的分子，使這

5、100個分數(shù)之和可化為分母為奇數(shù)的最簡分數(shù)。3 10個人聚會，每個人在其余與會者中都至少有5個熟人。證明：可以從他們中叫出4個人圍成一圈，使每兩個鄰座都是熟人。4 平面上有25個給定點，其中任何3點中都有兩個點的距離不大于1。證明：可以用1個單位圓至少蓋住其中13個點。5 在凸20邊形的每個定點上都寫有兩個不同的數(shù)。證明：可以從每個頂點上劃去一個數(shù)，使得任意兩個相鄰頂點上剩下的數(shù)都互不相同。6 將邊長為n的正三角形的每邊n等分，過每個分點分別作另兩邊的平行線。得到若干個單位正三角形。設(shè)f(n)是從最上面的單位正三角形到最下面一行中間的單位正三角形的通路的數(shù)目，求f(2005)的值。（05年加拿

6、大奧林匹克）（通路是指可以從一個單位正三角形走向另一個與其有公共邊，且與其在同一行或在其所在行的下一行。同時，每個單位正三角形不能經(jīng)過2次或2次以上。如圖是n=5的一條通路的例子。）第二講 組 合一、 上一講思考題討論二、 組合問題討論： 在數(shù)學(xué)競賽中，組合題泛指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。這類題目往往只是涉及常識性知識，然而相當靈活。1 已知平面上10個圓，任意兩個都相交。是否存在直線l，與每個圓都有公共點？證明你的結(jié)論。2 在一張矩形紙上畫有一個圓。米老鼠在其中選了一個點，讓唐老鴨猜。唐老鴨在紙上每指出一個點，米老鼠就告訴他是否猜中，如果沒有，就告訴他離被猜點有多大距離。唐老鴨帶著刻度尺和圓規(guī)。問：他

7、至少要猜幾次，才能一定猜出米老鼠所選的點？怎樣猜？3 教室里有n排椅子，每排n張，每張椅子上坐一個學(xué)生?，F(xiàn)在有求按以下規(guī)則調(diào)換座位：(1)每個學(xué)生必須換到新的座位上；(2)每個學(xué)生只能換到相鄰（前、后、左、右）的座位上（允許兩個學(xué)生互換座位）。 證明：n為偶數(shù)時，可以完成座位調(diào)換，但n為奇數(shù)時不可以。（06年海灣）4 8個人圍著桌子坐成一圈，有多少種握手方法，使得4對握手的人胳膊不交叉？（據(jù)01年英國試題簡化）5 現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值。（02年江蘇初中）三、課后思考：1 在正n邊

8、形的每個定點上各停有一只喜鵲。偶受驚嚇，眾喜鵲都飛去。一段時間后，它們又都飛回這些頂點上，仍是每個頂點上一只，但未必都回到原來的頂點。求所有的正整數(shù)n，使得一定存在3只喜鵲，以它們前后所在的頂點分別形成的三角形或同為銳角三角形，或同為直角三角形，或同為鈍角三角形。（01年中國）2 T稱為淘氣子集：若對于任意的u、vT(u,v不必不同)，u+vT。求證：1,2,3,，2006的任意一個淘氣子集至少有1003個元素。（06年越南）3 高一（1）班語文、數(shù)學(xué)、英語三門課測試，成績優(yōu)秀的分別有15、12、9名，并且這三門課中，至少有一門課優(yōu)秀的共有22名。那么，三門課全是優(yōu)秀的最多有多少名？最少有多少

9、名？（00年江蘇初中）4 把7個兩兩不同的球分給兩個人，使每人至少分得兩個球，則不同的分法共有多少種？（01年五羊杯初中）5 N為自然數(shù)，且,那么N的值是多少？（02年希望杯初中）6 13名小運動員，他們著裝的運動服號碼分別是1-13號。問：這13名運動員能否站成一個圓圈，使得任意相鄰的兩名運動員號碼數(shù)之差的絕對值都不小于3且不大于5？如果能，試舉一例。如果不能，請說明理由。（03年北京初中）第三講 組合幾何一、上一講思考題討論二、組合幾何問題討論： 凸多邊形：如果多邊形位于它任何一條邊所在直線的同側(cè)，則稱其為凸多邊形。 凸包：給定平面上若干個點，用一根松緊性很強的線圈住它們，當線繃緊時，所形

10、成的凸多邊形就可以視作這些點的凸包。1 給定平面上n個點，無三點共線。證明：在這n個點中可以挑出三個點，使得從其中一個點引出的到其他兩個點的射線之間的夾角不超過。2 平面上給出22個點，其中無三點共線。證明：可以將這些點配成11對，使每對點連成的線段之間至少有五個交點。3 證明：存在一個三角形，可以被分割成1989個全等的三角形。（提示：題目中，若將1989改成13，原理相同。）4 已知格點圖形面積，試確定a,b,c的值并通過多種格點圖形驗證之。三、課后思考：1 平面上給出2n+3個點，其中任意三點不共線，任意四點不共圓。證明：從這些點中能夠選取三個點，使得剩余的點中有n個位于過這三點的圓的內(nèi)

11、部，而另n個點位于這個圓的外部。2 在平面上給出有限個點，證明：在它們之中可以選出這樣的點，使得與它最近的已知點：（1）不超過6個；（2）不超過3個。3 證明：任意三角形可以（用直線）分解成三部分，使得由它們能拼成一個長方形。4 平面上任給n個不同的點（n2）,確定并證明：以這些點為端點的線段，至少有多少個不同的中點。5 證明：整點三角形不能是正三角形。第四講 極端原理一、上一講思考題討論二、極端原理問題討論：1 平面上有n個點，任意三個點構(gòu)成面積不超過1的三角形。證明：存在面積不超過4的三角形覆蓋這n個點。2 平面上有n個點不共線。證明：存在三個點A、B、C使得其余n-3個點都在ABC外面（

12、至少有5種方法）。3 有n(n3)個排球隊參加單循環(huán)賽（排球賽的每場都要分出勝負），比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)沒有一個隊全勝。求證：必存在三個隊A,B,C，使A勝B,B勝C，C又勝A。4 平面上有n個紅點與n個藍點，任意三點都不共線。求證：可以用n條線段連接這2n個點，每條線段連接一個紅點和一個藍點，且這n條線段沒有公共點。三、課后思考：1 在邊長為一的正方形四邊上各任取一點，連成一個四邊形。證明：這一四邊形必有一邊長度不小于。2 證明：在任意的凸五邊形中能找到三條對角線，用他們可以構(gòu)成一個三角形。3 平面上一個有限點集，其中任何三點都是直角三角形的頂點。試確定這個點集最多可包含多少個點。4 平面上10

13、0個點，任意兩點之間的距離1，任意三點為一個鈍角三角形的頂點。證明：可作一個直徑為1的圓，蓋住這100個已知點。5 在某個星系的每一個星球上，都有一位天文學(xué)家在觀測最近的星球。若每兩個星球間的距離都不相等，證明：當星球的個數(shù)為奇數(shù)時，一定有一個星球沒有被觀測。第五講 抽屜原理一、抽屜原理基本題討論：1 在邊長為1的正三角形中，任意放置5個點，則必有兩點之間的距離不超過0.5。2 在3行9列共27個小方格一一涂上紅色或藍色。證明無論如何涂法，其中至少有兩列涂色方法相同。二、上一講思考題討論三、抽屜原理問題討論：1 在坐標平面上，任取5個格點，其中一定存在兩個格點，它們的中點仍是格點。2 有99個

14、人參加了一次聚會，聚會正式開始前他們之間相互握手問候。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)他們每個人都恰好和66個人握過手。證明：可能出現(xiàn)這種情況，在任何四人中都一定存在兩個人沒有握過手。3 有6個點，任意3點不共線，證明：若將其中任意兩點間的連線染成紅色或藍色之一，則必存在一個三邊顏色相同的三角形。4 在邊長為1的正方形內(nèi)部，放置若干個圓，這些圓的周長之和等于10。證明：可作一條直線，至少和其中四個圓有交點。5 在邊長為1的正方形內(nèi)部有一條長度為1000的不自身相交的折線。證明：存在一條直線，它垂直于正方形的某一條邊，并且與折線至少有500個交點。四、課后思考：1 如圖，編號為1到8的兩組滾珠均勻放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開

15、始時每兩個相對滾珠號碼均不相同。證明：當兩個圓環(huán)按照相反方向轉(zhuǎn)動時，必有一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對同號碼滾珠相對。 2 作一個圓的任意2003條直徑，在它們和圓的4006個交點上任意填寫不大于1001的正整數(shù)（可以重復(fù)填寫）。證明：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的兩個數(shù)字的和相等。3 把1到10的自然數(shù)擺成一個圓周。證明：一定存在三個相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)不小于18。 4 把1到10的自然數(shù)擺成一個圓周。證明：一定存在三個相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)不小于17。 5 在3×4的矩形內(nèi)任取六個點。證明：必有兩個點之間的距離不超過。 6 在邊長為1的正方形內(nèi)任取51個點。證明：它們中有三個點能被

16、半徑為的圓覆蓋。7 將66個直徑為的圓任意放入一個邊長為10的正方形內(nèi)。證明：必有兩個圓有公共點。第六講 圖 論一、上一講思考題討論二、圖論問題討論：1 七橋問題歐洲的哥尼斯堡，景致迷人，碧波蕩漾的普萊格爾河橫穿其境。河中有兩個島A與D，河上有七座橋連接這兩個島及河的兩岸B、C。問：一個旅游者能否通過每座橋一次且僅一次？2 九名數(shù)學(xué)家在一次國際數(shù)學(xué)會議上相遇，發(fā)現(xiàn)他們之中的任意三個人中，至少有兩個人可以用同一種語言對話。如果每個數(shù)學(xué)家至多可說三種語言，證明至少有三名數(shù)學(xué)可以用同一種語言對話。（78年美國）3 在n(n>2)個人中，至少有兩個人，他們的朋友數(shù)目一樣多。4 在一次國際數(shù)學(xué)家大

17、會上，7位來自不同國家的數(shù)學(xué)家會話能力如下：A)英語；B)英語和漢語；C)英語、意大利語和西班牙語；D)漢語和日語；E)德語和意大利語；F)法語、日語和西班牙語；G)法語和德語。問：怎樣安排這7名數(shù)學(xué)家圍著一個圓桌坐下，使得每個人都能和他身邊的兩個人交談？5 7個人參加一次會議，在會議期間，每天都要在一張圓桌上共進晚餐。如果要求每次晚餐就坐時，每個人相鄰就坐者都不相同。問：這樣的晚餐最多能進行多少次？畫出各次的座位布置圖。6 證明：在任何六個人中，總可以找到三個相互認識或相互不認識的人。7 大廳里會聚了100個客人，他們中每人至少認識67人，證明：在這些客人中一定可以找到4人，他們之中任何兩人

18、都彼此相識。（66年波蘭）三、課后思考：1 某大型聚會有605個人參加。已知他們每個人都至少和其中的另一個人握過手。證明：必有一個人至少和其中的兩個人握過手。2 有n(n>3)個人，他們之間有些人互相認識，有些人互相不認識，而且至少有一個人沒有與其他人都認識。問：與其他人都認識的人數(shù)的最大值是多少？（美國）3 有n個藥箱，每兩個藥箱里有一種相同的藥，每種藥恰好在兩個藥箱里出現(xiàn)，問：有多少種藥？4 空間中六個點兩兩連線，用紅、藍兩種顏色對這些邊染色。證明恒存在兩個同色三角形。5 甲、乙、丙、丁四個人比賽乒乓球，每兩個人都要賽一場。結(jié)果甲勝了丁，且甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同。問：乙勝幾場？6

19、 N名棋手進行比賽，每一個人與若干人進行了比賽，假定比賽中沒有平局。如果沒有v1勝v2，v2勝v3，vk勝v1這樣的情形出現(xiàn)，證明必有一個人在所有的比賽中全勝，也必有一個人在所有的比賽中全負。第七講 數(shù) 論（含軌跡預(yù)習(xí)作業(yè)）一、上一講思考題討論二、數(shù)論問題討論： 1 （03希望杯全國）對任意三個整數(shù)，則 A .它們的和是偶數(shù)的可能性小 B .它們的和是奇數(shù)的可能性小 C .其中必有兩個數(shù)的和是奇數(shù) D .其中必有兩個數(shù)的和是偶數(shù)2 下列各組數(shù)中，不是方程85x324y=101的解的一組數(shù)是 A . x=329，y=86 B . x=653，y=171 C . x=1301，y=341 D .x

20、=978，y=2563 （01希望杯全國）已知兩個不同的質(zhì)數(shù)p、q滿足下列關(guān)系：p22001p+m=0，q22001q+m=0，m是適當?shù)恼麛?shù)，那么p2+q2 = A . 4 004 006 B . 3 996 005 C . 3 996 003 D . 4 004 0044 若1 059,1 417和2 312 分別被自然數(shù)x除時,所得的余數(shù)都是正整數(shù)y，則xy等于 A .15 B . 1 C . 164 D . 1795 （02重慶）設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，若x=5，y=-3，z=-2，則x-y+z可以取值的個數(shù)是： A .1個 B .2個 C .3個 D .4個6（00五羊杯）設(shè)x表

21、示不大于x的最大整數(shù)，如3.15=3，3=3，則等于 A.2 000 000 B.2 001 000 C.2 002 000 D.2 003 0017 （00五羊杯）今有正整數(shù)帶余除式A÷B=C8，如果A+B+C=2 178，那么A為 A.2 000 B.2 001 C.2 071 D.2 1008 （00五羊杯）設(shè)正整數(shù)x>y，x+y=667，x、y的最小公倍數(shù)為P，最大公約數(shù)為Q，且P=120Q，則x-y的最大值為 。9 （03四川）對于一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)n5-5n3+4n的最大公約數(shù)是 。10 （02五羊杯）自然數(shù)n1，滿足2002×n是完全立方數(shù)，n&#

22、247;2002是完全平方數(shù)，這樣的n中的最小值是 。三、數(shù)論基礎(chǔ)知識：1.奇偶性分析 2.質(zhì)因數(shù)分解（注意：2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。）3.帶余除法。設(shè)a,b是兩個正整數(shù)，則存在唯一整數(shù)p,r(0rb)，使a=bq+r。r=0時，叫做b整除a，記作b|a。整除的主要性質(zhì)有若a|b,b|c，則a|c；若c|ab，(a,c)=1，則c|b；若c|a,c|b，則c|(ma±nb)4.同余。如果用m去除任意兩個整數(shù)a與b所得的余數(shù)相同，則a與b對模m同余，記作ab(modm)。同余的主要性質(zhì)有：若ab(modm)，則ba(modm)；若ab(modm)，bc(modm)，則ac(modm)；同

23、余與整除的關(guān)系：ab(modm) m|(a-b)5.數(shù)論函數(shù)x與x。設(shè)x是實數(shù)，不大于x的最大整數(shù)叫做x的整數(shù)部分，記作x；x與x的差x-x叫做x的小數(shù)部分，記作x，即x=x-x。數(shù)論函數(shù)的常用性質(zhì)有：xxx+1；若n是整數(shù)，則n+x=n+x；x+yx+y；0x1；x+yx+y。6 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。a、b的最小公倍數(shù)記作a,b，最大公約數(shù)記作(a,b),有。四、課后思考：A.數(shù)論部分1 （03希望杯）正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù)，且m3+n=371，則mn= 。2 （02全國）設(shè)N=23x+92y為完全平方數(shù)，且N不超過2392，則滿足上述條件的一切正整數(shù)對（x，y）共有 對。3

24、（01五羊杯）今天是星期六，從今天開始，過了（共2001個123）天之后是星期 。4 解方程x2-xx-x2=05 （01北京）1與0交替排列，組成下面形式的一串數(shù)：101，10101，1010101，101010101，請你回答，在這串數(shù)中有多少個質(zhì)數(shù)？并證明你的論斷。6 （01北京）在六張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6，打亂秩序后，將紙片反過來，在他們的反面也隨意分別寫上1到6這六個整數(shù)，然后計算每張紙片正面和反面所寫數(shù)字之差的絕對值，得出六個數(shù)。請你證明：所得六個數(shù)中至少有兩個是相同的。B.軌跡部分1 一架立在光滑地板上的梯子抵墻下滑。一只貓正好坐在這架梯子的中間。試問這只

25、貓在梯子下滑時會沿著怎樣的一條路線運動？2 如果這只貓沒有坐在梯子的中間，設(shè)其上部梯子長為a，下部梯子長為b,以地平線為x軸，以墻為y軸建系，貓的坐標為(x,y)，那么，在梯子下滑時，它的軌跡方程是？ 第1題 第3題 第4題3 在一個定圓O內(nèi)，有一個直徑為其一半的小圓在作無滑動的滾動。試問：動圓上的點K將會劃出一條怎樣的線來？4 半徑為r1和r2（r1>r2）的兩個輪子沿著一條直線l滾動。試求其內(nèi)公切線的交點的集合。5 已知一點A和一圓。求頂點N位于已知圓上的等邊三角形ANM的頂點M的集合。6 已知一角和角內(nèi)一點D，過D作一條直線，使它與已知角兩邊所形成的三角形的面積最小。注：本講所選數(shù)

26、論競賽題均來自初中競賽第八講 軌 跡一、上一講數(shù)論思考題討論，軌跡預(yù)習(xí)思考題討論。二、軌跡問題討論：1 平面內(nèi)有一個已知圓和一個已知點A。過A點向已知圓引一系列的直線。試求被圓截取的所有弦的中點的集合。 第1題 第2題2 已知兩點A,B。過B作一系列的直線。試求以這些直線為對稱軸的A點的所有的對稱點的集合。3 已知一個圓和圓內(nèi)兩個已知點A和B。試求圓的內(nèi)接直角三角形，使得這兩個已知點在直角的兩邊上。4 已知A,B兩點，求出這樣的點M的集合，使得：直線AB與兩圓相切，與一圓切于A，與另一圓切于B，而兩圓又在M點相切。5 A,B為兩個不同的城市。求出具有如下性質(zhì)的M點的集合：若一個人沿一條直線從M

27、點走到B點，那么，從M到A的距離總是在增加。 第5題 第6題6 一個木制的三角形在一個平面上移動，使它的銳角頂點分別沿著一個已知直角的兩邊運動。試問這個三角形的頂點將如何移動？補 注說明：本注中凡涉及“授課內(nèi)容”，均為在2007年江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營上的專家授課內(nèi)容。該屆夏令營由江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)會主辦，江蘇省靖江高級中學(xué)承辦。對部分專家，因未找到有關(guān)介紹，故只寫姓名，敬請諒解。本教程編者對原題的少許簡化、改動，不再注明。本教程于2007年8月8日首次發(fā)布。當前版本號1.2。本教程各題答案及講解建議請致函電子信箱：，寫明所在學(xué)校、教練姓名、聯(lián)系電話、培訓(xùn)簡況及教程版本號后索取。一般不接受學(xué)生的答案索取要求。題目來源：第一講 賽題選例 本講課堂討論1-7題，課后思考1-5題源自國家奧數(shù)專家組領(lǐng)隊蘇淳的授課內(nèi)容。課后思考第6題源自國家奧數(shù)金牌教練周敏澤的授課內(nèi)容。第二講 組 合 本講課堂討論1-4題，課后思考1-2題源自周敏澤的授課內(nèi)容。課堂討論第5題，課后思考3-6題源自繆選民主編初中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識競賽輔導(dǎo)訓(xùn)練（安徽少兒版，2005）。第三講 組合幾何 本講除課堂第四題外，全部內(nèi)容均源自奧數(shù)國家集訓(xùn)隊教練余紅兵著組