人教版高中數(shù)學選修1-1導學案第二章§2.32.3.2拋物線的簡單幾何性質

1、2. 3.2拋物線的簡單幾何性質【學習目標】1掌握拋物線的幾何性質2掌握直線與拋物線的位置關系的判斷及相關問題.3. 能利用方程及數(shù)形結合思想解決焦點弦、弦中點等問題.知識梳理梳理教材夯實懇礎知識點一拋物線的簡單幾何性質標準方程y2=2px(j0)y2= 2px(p0)x2=2py(p0)2py(p0)圖形wTFC才范圍aO, yGR入WO, yR&0, xGRyWO, xER對稱軸兀軸A軸y軸y軸焦點坐標唯0)K-2 )K 2)彳0, 一期準線方程x=2T頂點坐標0(0,0)離心率e=通徑長2p知識點二直線與拋物線的位置關系y=lc(-b,直線y=k.x+b與拋物線y2=2/zv(p0)的交

2、點個數(shù)決泄于方程組，解的個數(shù)，即二次方程Ft2+2kb-p)x+滬=0仗HO)解的個數(shù).當RHO時，若0,則直線與拋物線有亜個不同的公共點；若J=0,直線與拋物線有二個公共點：若0,直線與拋物線沒有公共點.當R=0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合,此時直線與拋物線有二個公共點.思考辨析 判斷正誤1 拋物線關于頂點對稱( X )2.拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心.(V )3 .拋物線*二4y ,尸二4a的x q的范圍是不同的，但是其焦點到準線的距離是相同的,離心率也相同 ( V )4“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件（7）題型探究探究重點索養(yǎng)提升一、拋

3、物線幾何性質的應用例1已知拋物線的焦點F在x軸上，直線/過F且垂直于x軸，/與拋物線交于A, B兩點,0為坐標原點，若AOAB的而積等于4,求此拋物線的標準方程.解 由題意，設拋物線方程為尸二力眥伽H0）,焦點等，0）,直線/:尤二羅，所以A , B兩點坐標為伴,加）,（y,-加）,所以IABI = 2歷M.因為OAB的面積為4 ,所以* |y| -2b”l 二4 ,所以m = 2/2.所以拋物線的標準方程為y2 = 4y/2v.延伸探究等腰直角三角形AOB內接于拋物線尸二2px（p0） , O為拋物線的頂點，04丄OB ,則AAOB的面積是（）A . 8，B . 4p2 C . 2，D .

4、p?答案B解析 因為拋物線的對稱軸為a-軸，內接AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對稱性知,直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45。.y = x, 由方程組r = 2px,x = 0 , x = 2p t得或y = 0 y = 2p t所以易得A , B兩點的坐標分別為(2“,2“)和(2p , - 2p). 所以LABI 二 4p ,所以 Smob 二 * X 4p X 2p = 4p2.反思感悟把握三個要點確定拋物線簡單幾何性質(1) 開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是X還是y ,次項的系數(shù)是正 還是負(2) 關系：頂點位于焦點與準線中間,準線垂

5、直于對稱軸定值：焦點到準線的距離為p ；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p ；離心率恒 等于1.跟蹤訓練1已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓/+尸=4相交于A, B 兩點，IABI=2W，求拋物線方程.解 由已知，拋物線的焦點可能在a軸正半軸上,也可能在負半軸上故可設拋物線方程為2 二 Q(aHO).設拋物線與圓v2 + / = 4的交點A(xi f yi), 8(x2 , yz) 拋物線y2二與圓x2十y2二4都關于x軸對稱，點A與B關于x軸對稱,Iyil = ly2lB.lv 11 十 lyzl = 2*75 ,1川二咧二，代入圓-V2 +) = 4 ,得十3二4,

6、x二1 ,AA(1 ,萌咸A(l , -V3),代入拋物線方程,得(羽F 二 Ll , .It = 3.所求拋物線方程是y2 = 3x或尸二-3x.二、直線與拋物線的位置關系命題角度1直線與拋物線位置關系的判斷例2已知直線/：=戀+1,拋物線C： y2=4x,當斤為何值時，/與C：只有一個公共點：有兩個公共點：沒有公共點.y = kx + 1 #解聯(lián)立消去八尸=4x ,得 k2x2 + (2k - 4)x + 1 =0.(*)當“0時，(*)式只有一個解v = |, :.y= ,直線/與C只有一個公共點(扌,1),此時直線/平行于X軸.當RHO時，(*)式是一個一元二次方程,二(2k-4尸-4

7、疋二 16(1 -k). 當0,即賦1 ,且EH0時，/與C有兩個公共點,此時直線/與C相交； 當丿二0,即2 1時，/與C有一個公共點,此時直線/與C相切； 當0 ,即41時，/與C沒有公共點,此時直線/與C相離.綜上所述，當2 1或0時，/與C有一個公共點；當XI ,且KH0時，/與C有兩個公共點；當41時，/與C沒有公共點.反思感悟直線與拋物線位置關系的判斷方法設直線l：y = k.x + b,拋物線：尸二2/zv(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得心十(2肋 -2p)x 十 b2 二 0.(1) 若Q二0 ,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合(2

8、) 若QH0，當0時，直線與拋物線相交,有兩個交點；當二0時，直線與拋物線相切,有一個交點；當0時，直線與拋物線相離，無公共點跟蹤訓練2經過點P(2,1)且斜率為k的直線/與拋物線j2=4a-只有一個公共點，則k的取值范圍為()A. 0. -1b.!o,務答案D解析 經過點P(-2,l)且斜率為k的直線I的方程可設為尸如+ 2)+1 ,代入拋物線方程y2=4x t整理可得 k2 十(4 后 + 2k-4)x + 4k2 + 4k+=0 r (*) 直線與拋物線只有一個公共點等價于方程(*)只有一個根 當0時宀二1符合題意；當 0 時，/二（4Q 十 2k4）2 -4后（4股十 十 1） = 0

9、 ,整理得2Q + 1二0,解得或2 - 1.綜上可得，心或2 - 1或0時，直線/與拋物線只有一個公共點，故呵-1 , 0 ,務.命題角度2直線與拋物線的相交弦問題例3已知拋物線方程為尸=2/x（p0）,過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A, B兩點， flL4BI=|p,求AB所在的直線方程.解由題意知焦點彳$ , 0j ,設A（xi , yi） , B（X2 , J2）,若AB丄x軸，則L4BI二2“工|/兒不滿足題意所以直線仙的斜率存在設為J則直線AB的方程為y一2l.v2 = 2px t消去x ,整理得ky - 2py - kjr二0. 由根與系數(shù)的關系得yi +央二半，皿二-p2.

10、所以IABI 二 (xi -X2)2 + (ji -V2)2解得二2所以AB所在的直線方程為2a-v-p = 0或 2x + y - /? = 0.延伸探究本例條件不變，求弦AB的中點M到軸的距離解 如圖，過A , B分別作準線X二-與的垂線交準線于C , D點.由走義知L4CI + IBD二蘇則梯形ABDC的中位線IMEI二務,*點M到y(tǒng)軸的距離為務-鄉(xiāng)二務.反思感悟求拋物線弦長問題的方法(1) 般弦長公式AB - yj 1 + 2Lxi - jqI =1 + 右lyi - yj.(2) 焦點弦長設過拋物線.2二2/zr(p0)的焦點的弦的端點為A(xj , V) , B , y2),則AB

11、 = xi + x2 + p ,然后 利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元得到關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關 系求出XI十X2即可跟蹤訓練3已知y=A-+/n與拋物線y2=8.r交于A, B兩點.(1)若L4BI = 10,求實數(shù)加的值；若0A丄OB,求實數(shù)加的值.y = X + m t解由、得 x2 + -8)x + m2 = 0.y = 8x ,由二 -8)2 - 4m2 = 64 - 3加0 r得加v2設 A(m f yi) , B(x2 , yi),貝U .vi + %2 = 8 - 2m , xxi = nr tyiyz = /n(xi 十 X2)十 xixz 十 nr =

12、 8】 (1)因為L4BI 二 yj 1 + k2y(xi + x2)2 - 4xiX2 二頁寸64 - 32加二10 z7 所以加二南，經檢驗符合題意.因為 OA 丄OB ,所以 xX2 十 yiyz = nr + Sm = 0 f解得m-8或m = 0（舍去）.所以加二-8 ,經檢驗符合題意隨堂演練基砒鞏固學以致用 1. 以x軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與對稱軸垂直的弦）長為8,若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為（）A. （2=8xB.護=8xC. 2=8x 或 b= %D. A2=8y 或 *= 8y答案C解析 設拋物線方程為r二Ipx或y2= - 2px（/0）,依題意得將x二

13、號，代入/二2px或將a =-字代入/= - 2px得lyl -p , 2lvl = 2p = S , p = 4.拋物線方程為y2 = 8x或.y2二-8.v.2. （2019全國II）若拋物線尸=2“（“0）的焦點是橢圓話+彳=1的一個焦點，則卩等于（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8答案D解析 由題意知，拋物線的焦點坐標為（$ , 0）,橢圓的焦點坐標為（士回,0）,所以佔島,解得二8,故選D.3. 設A, B是拋物線W=4y上兩點，O為原點，若IOAI = IOBI,且AOB的而積為16,則ZAOB等于（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90答案D解析 由IOAI二OB

14、 ,知拋物線上點A , B關于y軸對稱，設乂 - “，予）,B（“，于） ,qO.Smob1zZ2二產2心孑二16 z解得二4 , AOB為等月要直角三角形，ZAOB = 90.4. 過拋物線y2=4.r的焦點作直線交拋物線于A（xlf y,）, Bg 力）兩點，如果+小=6,則AB=.答案8解析 因為直線AB過焦點F(LO),所以IABI二M十x?十“二6十2二&5. 已知拋物線x=-y直線與拋物線的位置關系 弦長及焦點弦問題(4) 與弦有關的結論2方法歸納：待定系數(shù)法.公式法、轉化法、設而不求與過點(一 1.0)且斜率為k的直線相交于A, B兩點，O為坐標原點, 當8OB的而積為幀時，貝=

15、.答案4解析 過點(-1,0)且斜率為k的直線方程為y二k(x十1 )(RH0),由方程組、一 *消去x整理得妒十y-20,y = k(x + 1),二1十4后0,設 A(m , yi) , Bg , yi),由根與系數(shù)的關系得yi +yi= -1, yiyi = - 1.設直線與-V軸交于點N ,顯然點N的坐標為(-1.0).T SgB = SOAN 十 SOBN=jlOMIyil += ONWy - yzl ,Smob = |x 課堂小結 1知識清單： 拋物線的幾何性質 xy/s 十力）2 4陽2=2十4二幀,解得土右3常見誤區(qū)：不考慮直線斜率的存在情況；焦點弦不能轉化為點到準線的距離課時

16、對點練注重雙基強化落實、9基礎鞏固1. 若拋物線尸=人上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為()A(右普)B (l蹲)c(i f)d(, f)答案B解析 設拋物線的焦點為F.因為點P到準線的距離等于它到頂點的距離，所以點P為線段 OF的垂直平分線與拋物線的交點,易求點P的坐標為時,普).2. 設拋物線的焦點到頂點的距離為3,則拋物線上的點到準線的距離的取值范圍是()A. (6, +8)B6, +8)C(3, +8)D3, +8)答案D解析拋物線的焦點到頂點的距離為3 ,.需二 3 ,即“二 6.又拋物線上的點到準線距離的最小值為$ ,.拋物線上的點到準線距離的取值范圍是3 ,十

17、8).3. 設0為坐標原點，尸為拋物線屮=4兀的焦點，A為拋物線上一點，若OA AF=4,則點 A的坐標為()A. (2, 2y2)B. (1,2)C. (1, 2)D. (2,22)答案C解析設A(x , y)，則護二4*，又頁=(x , y) , AF=( -x, - y),所以OAAF 二 x - a2 - y1- - 4.由解得X二1 , y = 2.4. 設拋物線y2=8.r的焦點為F,準線為/, P為拋物線上一點，朋丄/, A為垂足，如果直線 AF的斜率為一萌，那么1/1等于（）A 4、/5 B. 8 C 83 D 16答案B解析如圖二4,加二 ZAFE 二 60。， ZFAP 二

18、 60 ,又 I加二 IPFI , 用F為等邊三角形，又RkMEF 中 f ZAFE=60 r EF = 4 , IAFI 二 8 #/. PF 二&5. 過拋物線y2=2PA（p0）的焦點作直線交拋物線于P, 0兩點，若線段P0中點的橫坐標為3, IP0I=1O,則拋物線方程是（）A. y2=Sx B y2=2x C y2=6x D y2=4x答案A解析 設 P（xi , yi） , Q（xi , yi）,X 十 X2 貝！J-2 二 3 / 即 Xi + x2 = 6.又陀二“ +兀2十”二10 ,即”二4，.:拋物線方程為y2 = 8x.6. 設拋物線/=16.r一點P到對稱軸的距離為1

19、2,則點P與焦點F的距離PH=.答案13解析 設PUJ2），代入y2 = 16.V，得/二9 ,:.PF = x + 號二 9 十4二 13.7. 過M(2.0)作斜率為1的直線/交拋物線y2=4.r于A, B兩點，則L4BI=.答案4&解析設 A(xi , yi) , 5(x2 , yi),由題意知I的方程為y = x-2,與尸二4.x-聯(lián)立得，%2 - 8.v + 4 = 0 ,貝+a-2 = 8 , xiQ 二 4 ,所以L4BI 二 yj 1 + PLvj - xil =羽、(X】十兀2尸-4xiX2 二 4&.&已知正三角形的一個頂點位于拋物線尸=2丹0)的焦點，另外兩個頂點在拋物線

20、上，那么滿足條件的正三角形的個數(shù)為.答案2解析 根據(jù)拋物線的對稱性,正三角形的兩個頂點一走關于x軸對稱,且過焦點的兩條直線 傾斜角分別為30啣150。，這時過焦點的直線與拋物線只有兩個交點,所以正三角形的個數(shù) 為2.9. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一 點，且SM1=0, L4FI=3,求此拋物線的標準方程.解 設所求拋物線的標準方程為a-2二2py(p0),設 A(ao , yo),由題意知 0 2)VL4FI = 3,5十壬二 3 ,VIAMI 二 0 ,.坊十()十少二17 ,.*妨=8，代入方程xo = 2/7V0得，8 = 2“(3 -

21、,解得 p 二 2 或”二 4.所求拋物線的標準方程為x2二4，或2二8,y.10. 已知直線/經過拋物線y=6x的焦點F,且與拋物線相交于A, B兩點.若直線/的傾斜角為60。，求L4BI的值：(2)若L4BI=9,求線段AB的中點M到準線的距離.解(1)因為直線/的傾斜角為60 J所以其斜率k = tan 60。二萌， 又XL L所以直線/的方程為 二夙x - !)19j肖去)、彳導 4X2 - 20% + 9 = 0 ,解彳尋x/ -2 = 7 f故 IABI 二 y/+(X=2X4 二& 設 A3 , yi) , B(x2 , ya) /由拋物線定義,知L4BI二L4FI十1BF1 二

22、M十g*十X2十與二X】十X2十“二XI十X2 + 3二9 ,所以 M +x2 = 6 , 于是線段AB的中點M的橫坐標是3 f3又準線方程是* 辦 所以M到準線的距離等于3N綜合運用11 .直線y=x+b交拋物線尸芬2于A, B兩點，O為拋物線頂點，OA丄OB,則b的值為(A. 一 1 B. 0 C 1 D 2答案D 解析設 AUi f yi) , B(X2 t yi) t化簡可得-V2 - 2v - 2Z = 0 ,故 X +x2 = 2 , XX2 = - 2h ,所以 yiyi = xiX2 + b(x + x?) + 護 二 b2.又 OA.LOB ,所以xx2 + 2 二 0 ,即

23、-2h + b2 = 0 ,貝忤二2或b二0 ,經檢驗當b二0時，不符合題意，故b二2.12. 已知拋物線y2=2/zv(p0),過其焦點且斜率為1的宜線交拋物線于A, B兩點，若線段的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為()A. x= B. a=1 C. x=2 D. x=2答案A解析 拋物線的焦點為冷，0),所以過焦點且斜率為1的直線方程為y二x詣，即x二y +纟V十 V2 代入)2二2px f得y2 = 2py十p2 ,即y2 - 2py -/r = 0 r由根與系數(shù)的關系,得 =p = 2(yi ,W分別為點A , B的縱坐標)，所以拋物線方程為尸二4x ,準線方程為x二-1.13

24、. 已知拋物線C： 2=8.r的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在拋物線C上，且L4K=V2L4FI,則的面積為( )A. 4 B 8 C 16 D 32答案B解析 如圖，易知F(2.0) f K(2.0),過點A作AM垂直準線于點M ,則L4MI 二 AF.：.AK = yf2AM r.AMK為等腰直角三角形設 A（凡2承?）（?0）,則 8FK 的面積 S 二 * X 2y2m X4 = 42/n.又由IAK1 = y2AM f 得伽? + 2）2 + Sm2 = 2（m2 十 2）2 f解得m二a/2. lAFK 的面積 S 二 4% 二 &14. 已知點A（2,0）, B為拋物線y2=x上的一點，則L4D的最小值為口呆2解析設點B（x ,