近獨(dú)立粒子的量子統(tǒng)計(jì)習(xí)習(xí)題解答

1、 第3章 近獨(dú)立粒子的量子統(tǒng)計(jì)（最該然統(tǒng)計(jì)理論）習(xí)題解答3-1 一系統(tǒng)由兩個(gè)獨(dú)立粒子組成,每個(gè)粒子可處于能量為的任一狀態(tài)中,系統(tǒng)與大熱源相平衡.試分別寫出下列條件下系統(tǒng)的配分函數(shù):(1) 粒子是可分辨的; (2)粒子是不可分辨的Bose子; (3) 粒子是不可分辨的Fermi子.【解】：(1)、粒子可分辨，系統(tǒng)與大熱源相平衡.，說明系統(tǒng)溫度一定，而系統(tǒng)能量不沒限制，所以粒子在能級(jí)上的各種可能的分布為：2EE0系統(tǒng) 0 E E 2E 4E 2E 2E 3E 3E能級(jí)用系統(tǒng)配分函數(shù)可得;(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子態(tài)上對(duì)粒子數(shù)沒有限制。系統(tǒng)與大熱源相平衡.，說明系統(tǒng)溫度一定，而系統(tǒng)能量

2、不沒限制，所以粒子在能級(jí)上的各種可能的分布為：2EE0系統(tǒng) 0 2E 4E E 2E 3E 能級(jí)用系統(tǒng)配分函數(shù)可得;（3）、粒子是不可分辨的Fermi子，每個(gè)量子態(tài)上最多容納一個(gè)粒子。系統(tǒng)與大熱源相平衡.，說明系統(tǒng)溫度一定，而系統(tǒng)能量不沒限制，所以粒子在能級(jí)上的各種可能的分布為：系統(tǒng) E 2E 3E 能級(jí)2EE0用系統(tǒng)配分函數(shù)可得;3-2 試證明:對(duì)于理想Bose氣體和理想Fermi氣體有下列關(guān)系: ,而對(duì)于光子氣體有下列關(guān)系: ,并分析兩式不同的原因, 其中,、分別為氣體的壓強(qiáng)、體積和內(nèi)能.【解】：（1）處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中的理想Bose氣體和理想Fermi氣體，粒子的能量本征值為，=0，

3、±1，可記為所以，即：（2）處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中的光子氣體，光子的能量本征值為，=0，±1，±2，可記為所以，即：兩式不同的原因是：理想Bose氣體和理想Fermi氣體的粒子速度較低，屬于非相對(duì)論粒子，而光子速度很大，是相對(duì)論粒子。3-3 電子氣體中電子的質(zhì)量為, Fermi能級(jí)為.求絕對(duì)零度下電子氣體中電子的平均速度和電子氣體的壓強(qiáng). 【解】(1)、對(duì)自由電子，考慮到自旋后，在體積內(nèi)，動(dòng)量大小在范圍內(nèi)的量子態(tài)密度利用，可得到速率在范圍內(nèi)的量子態(tài)密度考慮到時(shí)電子按速率的分布函數(shù) 為時(shí)電子的費(fèi)米速率，它與費(fèi)米能級(jí)的關(guān)系由此可求得時(shí)電子的平均速率（2）、0k時(shí),電子按能級(jí)分布電子氣的內(nèi)能為：而且所以又因?yàn)?k時(shí)所以0k時(shí)電子氣的壓強(qiáng)為3-4銀的傳導(dǎo)電子密度為。試求0K時(shí)電子的最大能量、最大速率和電子氣體的壓強(qiáng).【解】：0k時(shí),電子按能級(jí)分布（1）、電子的最大能量為費(fèi)米能級(jí)由解得（2）、最大速率由得：（3）、電子氣的內(nèi)能為：而且所以又因?yàn)樗?k時(shí)電子氣的壓強(qiáng)為3-5假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，密度為，試求0K時(shí)二維電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和壓強(qiáng).【解】：（1）、在面積為的二維平面上運(yùn)動(dòng)的電子，在面積內(nèi)，動(dòng)量范圍的量子態(tài)數(shù)為所以在的能量范圍內(nèi)的二維自由電子量子態(tài)數(shù)為0k時(shí),電子按能級(jí)