2《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(韓旭里謝永欽版)習(xí)題一及答案

1、圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 習(xí)題二1 一袋中白5只乒乓球，編號(hào)為1. 2, 3, 4, 5.在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只 球中的最人號(hào)碼，寫出隨機(jī)變鼠X的分布律.【解】X = 3,4,5P( = 3) = J_ = O.l c；P( = 4) = A = 0.3 C5P( = 5) = £l = 0.6故所求分布律為X345P0 10.30.62設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次，毎次任取1只，作不放回抽樣,以X表示取出的次陽個(gè)數(shù)，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函數(shù)并作圖:(3)px < -, pi < -r < -, pi <

2、z < -, pi < -r < 2.2 2 2【解】X = 0,1,2. 冷=0)=早=三猱35C：535g2)= !H故X的分布律為X012P22121353535(2)當(dāng)xvo 時(shí).F (x) =P (XWx) =077 當(dāng) 0Vxvi 時(shí)，F(xiàn) (x) =P (XWx) =P (Jk=O)=當(dāng) 1 WxV2 時(shí)，F(xiàn) (x) =P (XWx) =P (X=O) +P (X=l)=35 當(dāng) x$2 時(shí)，F(xiàn) (x) =P (XWx) =1故X的分布西數(shù)0,(3)F(x)= <223534351,x<0OKIl<x<2x>23343435=0#圣才

3、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 1235P(l<X<-) = P(X = 1) +P(1 <-¥<-) = 2P(l<X<2) = F(2)-F(l)-P(X = 2) = l-g.± = 0.3射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了 3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的 分布律及分布兩數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊屮目標(biāo)的次數(shù)則AM), 1, 2, 3.P(X = 0) = (0.2)' = 0.008PX = 1) = C；0.8(0.2)2 = 0.096PX = 2)

4、 = C； (OX)，0.2 = 0.384P(X = 3) = (08)3 = 0512故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布丙數(shù)0,x<Q0.008,OKIF(x) = «0.104,l<x<20.488,2<x<31,x>3P(X >2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8964. (1)設(shè)隨機(jī)變駅X的分布律為PX=k=a，k!其中k=Q, 1, 2,，人0為常數(shù)，試確定常數(shù)7（2）設(shè)隨機(jī)變呈X的分布律為PX=k=a/N, k=l, 2,，N, 試確定常數(shù)a.【解】（1）由分布律的性質(zhì)

5、知X82上1 =工 P（X = k） = d 工=aQ*=o匕o削故a = e"(2)由分布律的性質(zhì)知NNi = D(js)=l*=1斤=1 N即67=1.5甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 兩人投中次數(shù)相等的概率；(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、y表示甲、乙投中次數(shù)，則(3, 06) yY-b (3,0.7)(1) px = y) = p(x = o, y = o)+p(x = i, y = i)+p(x = 2, y = 2)+p(-r = 3,y = 3)=(O.4)3 (O.3)3 + CjO.6(O.4)2 c 0.7(

6、0.3)2 +C； (0.6)2 0.4CJ (0.7)2 0.3 + (0.6)3(0.7)3=0.32076(2) P(X > Y) = PX = l,r = 0) + P(X = 2,Y = 0) + P(X = 3,r = 0) +p(x = 2,y = i)+p(x = 3, y=i)+p(x = 3, y = 2)=C；0.6(0.4)2(0.3) + C(0.6)20.4(0.3)3 +(0.6)3(0.3)3 + C； (0.6)2 0.4C； 0.7(0.3)2 +(0.6)' C； 0.7(0.3)2 + (O.6)3 C； (0.7)2 0.3=0.2436

7、設(shè)某機(jī)場(chǎng)每犬有200架E機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02,丄設(shè)各E機(jī)降落是相耳獨(dú)工的試問該機(jī)場(chǎng)蠱配備務(wù)少條跑道.才能保證某一時(shí)刻E機(jī)盂工即降 落而沒有空閑跑道的概率小J- 0.01 (每條跑道只能允許-架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù),則X-b (200,0.02),設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道, 則有P(X>N)<0.01200即工 Cw(0.02)k(0.9S)2Qk <0.01i-y+i利用泊松近似2 = ?/? = 200 x 0.02 = 4x 4*PX >N)=工<0.01匕 n+i k!査表得NM9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9

8、條跑道.7燈一繁忙的汽車站，每大何人吊汽車通過，設(shè)每輛車在一犬的某時(shí)段出M故的概率為 0.0001,在某人的該時(shí)段內(nèi)仃1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小J-2的概率是多少(利 用泊松定理)？【解】設(shè)X表示出審故的次數(shù)，則(1000, 0.0001)PX >2) = 1- PX = 0)-PX = 1)= l-e)1-O.lxe"0181劃在11巫貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2.求概率PX=4. 【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為B則c；xi-p)4=cy(i-P)3故1r所以P( = 4) = C(i)4- = .5 332439設(shè)事件川在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概

9、率為0.3,當(dāng)/發(fā)生不少于3次時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào),(1) 進(jìn)行了 5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；(2) 進(jìn)行了 7次獨(dú)茜試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】(1)設(shè)X表示5次獨(dú)必試驗(yàn)中2發(fā)生的次數(shù)，則X6 (5> 0.3)5P(X >3) =工(2：(03)氣07)1 = 0.16308z(2)令y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)屮A發(fā)生的次數(shù)，則Y-b (7, 0.3)7P(Y >3)=工 G(O3)*(O7)7" = 0.35293Jt-310某公安局在長(zhǎng)度為F的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2) r的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）

10、（1）求某一天中午12時(shí)至卜午3時(shí)沒收到呼救的概率：（2）求某一天中午12時(shí)至卜午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.丄【解】（1） PX = 0） = e1（2） PX > 1） = 1-P（X = 0） = 1-e-y11設(shè)40 丄 2PY=ni=Cpm(l- p)4", wO丄234分別為隨機(jī)變屆X, y的概率分布，如果已知試求PY.954【解】因?yàn)镻（X>1）= .故p（-r<i）= -.PX <1) = PX = 0) = (1-p)2故得即（1-刃冷,從ffijP（y >l） = l-P（y = 0） = l-（l-p）4= 0.802478112某

11、教科書出版了 2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)謀的概率為0.001,試求在這2000冊(cè)書中 恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則（2000,0.001） 利用泊松近似計(jì)算，A = up = 2000 x 0.001 = 2PX = 5) ae-2255!= 0.00185圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 3 113進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為工，失敗的概率為上以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次4 4數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的槪率【解】X = l,2,，人13p（x=燈=y

12、444PX = 2） + PX = 4） + + P（X = 2燈 + 3+415#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 14件2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)在一年中每個(gè)人死亡 的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1 口須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從 保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：(1) 保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2) 保險(xiǎn)公司獲利分別不少J- 10000尤、20000尤的概率.【解】以“年”為單位來考慮一(1)在1月1 口，保險(xiǎn)公司總收入為2500X12=30000尤.設(shè)1年中死亡人數(shù)為兀 則X-b (2500,0.002),則

13、所求概率為P(2000T > 30000) = PX >15) = 1- PX < 14)由很大很小，入=皆5故用泊松近似，有#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) (2) P (保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)=P(30000-2000 > 10000) = P(X < 10)JO e-55*« Y 一 0.986305即保險(xiǎn)公司獲利不少J- 10000尤的概率在98%以上P (保險(xiǎn)公司獲利不少 j 20000) = P(30000- 20005 > 20000

14、) = PX < 5)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 即保險(xiǎn)公司獲利不少20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變吊X的密度西數(shù)為f (x)=e巴_8<xv+8.求：(1) J 值：(2) PO<¥<1;(3) F (x).#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 1= fX Je" rdv = 2 fX Aexdx = 2A#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)

15、計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) (3)當(dāng)xvo 時(shí)，F(xiàn)(x) = JiexdY = |ex 當(dāng)x$0時(shí)，弘)=二*中& =佇x <0x>016.設(shè)某種儀器內(nèi)裝仃三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為100、x> 100,AT0. x <100.在開始150小時(shí)內(nèi)沒仃電了管損壞的概率：在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；F (x).f (x)=求：(1)(2)(3) 【解】(1)(150 1001P(<150)= -dx=-.皿X23827p=P(X>15O)F =(2)(3)當(dāng) xvlOO 時(shí) F (x) =0當(dāng) xM ioo 時(shí) F(x) = J： /

16、(/)dr訂：/(加+匸/(忙=険=_型皿t2XFM =1- . x>1007圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 0、x<017在區(qū)間0,刃上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的處標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0. 中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布負(fù)數(shù).【解】山題意知*u0&,密度函數(shù)為/(x) = |a'其他故當(dāng)x<Q時(shí)F (x) =0當(dāng) o WxWa 時(shí) F(x)=匸 /(r)d/ = J； /(r)d/ = £<ir = -當(dāng) x>a 時(shí)，F(xiàn) (x) =1即分布函數(shù)0<X<67尸(x)

17、= 4,a1,1&設(shè)隨機(jī)變量X在2, 值大于3的概率.【解】Z2,5即一，2<.x<50.其他5上服從均勻分布現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少仃兩次的觀測(cè)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) .1 -+3【解】依題意知X，即其密度函數(shù)為x>0x<0P(Jf>3) = 5|ciY = |故所求概率為19設(shè)顧客在某銀行的窗II等待服務(wù)的時(shí)間X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布£(|) J£顧客在窗II 等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開他一個(gè)月要到銀行5次，以y表示

18、一個(gè)月內(nèi)他未等 到服務(wù)而離開窗|的次數(shù)，試寫出y的分布律，并求py.該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為P(X >10) = J；£eH(h = e-2y b(5,e),即其分布律為P(Y =燈=C； (e )k (1-e-2 )i, k = 0,1,2,3,4,5P(r > l) = l-P(y=0) = 1-(1-e_2)5 = 0.516720某人乘汽車去火車站乘火車，仃兩條路可進(jìn)-第條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服 從N (40, IO?)；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N (50, 42).(1) 若動(dòng)身時(shí)離火乍開車只有1小時(shí)，問W走哪條路能乘上火乍的把握

19、人些？(2) 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)迫哪條路趕上火車把握人些？【解】若走第一條路，X-N (40, IO?),則(y-4060_40、P(X < 60) = P < =0(2) = 0.97727I 1010若走第二條路，X-N (50, 42),則PX < 60) = p 50 <60 - 50= 0(2 5)= 0 9938 卄k 44丿故走第二條路乘上火車的把握人些(2)若X-N (40, 102),則“、(Jf-4045 40、亠、P(X < 45) = P < =>(0.5) = 0.6915I 1010 丿齊XN (50, 4

20、2),則P(X <45) = PX 5045 50、* . “、<=0(-1.25) 44)= 1-(1.25) = 0.1056故走第一條路乘上火車的把握人些.2L設(shè)*N (3, 22),(1) 求P2<V<5, P-4<V<10, P X >2, PA>3;(2) 確定 c 使 PX>c=PXc./?_3 r _35 3、【解】(1) P(2<X<5) = P一i 222 丿= 00)01 j= 0(l)-l+0 A=0.8413 1 + 0.6915 = 0 5328P(-4<<10) = P土 4 半2 2

21、29圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 0( -1=0.99962)P(| X |2) = PX >2) + P(X < -2)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 1 >(5 厶(心【5)+ 0+1 02) 2)2丿2、厶)22(X-32-3>2 2(X-3-2-3#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) =0.6915 + 1- 0.9938 = 0.6977P(X

22、>3) = P(蘭 J > 罕)=1- 0(0) = 0.5一 (2)c=322由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm)(10.05006，)，規(guī)泄長(zhǎng)度在10.05i0.12內(nèi)為合格臥#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 求一螺栓為不合格品的概率.【解】P(| -10.05 |> 0.12) = P(IX 10.050.060.12 I>0.06=1-0(2) + 0(-2) = 21- 0(2)=0.045623工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160 <?）,若要求P120<XC200 = $0-8,允許。垠人不超過多少？12

23、0-160X-160,200-16°）【解】P（120<<200） = P <<<7b<71>0.8圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 24設(shè)隨機(jī)變啟X分布函數(shù)為求常數(shù)兒B：W' 5(八。),x<0.0,(1)(2) 求 PXW2, PX>3：(3) 求分布密度/(x).lim F(x) = 1lim F(x) = lim F(x)XT0+x->0-【解】（1）由B = -l圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)

24、習(xí)網(wǎng) (2) P(X V 2) = F(2) = 1 - e"2xPX >3) = 1-尸= 1-(1-e亠)=嚴(yán)/（x）=r（x）=rx,x>0x <0圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 25設(shè)隨機(jī)變吊X的概率密度為0<x<l,l<x<2,其他.圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 求X的分布函數(shù)F (x),并畫出/(X)及F (x). 【解】當(dāng)XV0時(shí)F (x) =0當(dāng) oWxvi 時(shí) F(x)=匸 f(t)dt = J： f(

25、t)dt+JJ/(r)dr圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 2#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣*才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) fxrdr = Jo 7當(dāng) 1 Wxv2 時(shí) F(x)=匚T：/(加心 J； ")d/+GM d/ +(2 /)d/1 x2 3=+2x2 2 2一+2x-l2當(dāng) x2 時(shí) F(x) = J： /(r)dz = 1F(x)=0,+ 2x I,21,26設(shè)隨機(jī)變杲X的密度兩數(shù)為(1) /(x) w, x >0;bx, 0 <x <1, ,1 W x < 2,A 0,其他.試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F (x).匸

26、/(x)d.v = 1 知 1 =(2) fCx)才【解】(1)由即密度換數(shù)為x<00<x<ll<x<2x>2'ae-xwdx = 2a f 嚴(yán)dx = -XJofW =2ax>0x<0213圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣*才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 2#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣*才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 當(dāng) xWO 時(shí) F(x) = J： /(.x)dv =1丄dx = _02當(dāng) X)時(shí) F(x)= J：/(X)dT =：#“+?=1-丄嚴(yán)2#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣*才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)

27、計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 故其分布函數(shù)x>0#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) x<0(2)由1 = J /(x)dY=J；bxdv + A(h=?+ +得b=即X的密度函數(shù)為x, 0 <x <1/(x) = < 丄，IS <2X0, 其他當(dāng) xWO 時(shí) F (x) =0當(dāng) 0<y<1 時(shí) F(x)=f(x)dx =j° /(x)d.v + J； /(x)dx*)fXV為 1 Wxv2 時(shí) F(x)=/(.x)dv=j°xOdv +xdv =

28、 Jo2J-x_2_1_ 2 x當(dāng) x$2 時(shí) F (x) =1故苴分布甫數(shù)為#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) F(x)=0,293 1x<00<x<ll<x<2#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) x>227求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的卜 0分位點(diǎn),(1) a =o.ob 求 z/(2) a =0.003求 Za，za/2.【解】(1) P(X>za) = 0.01即l 0(z°) = 001BP0(Za)= O.O9(2)由 P(X

29、Za)= OOO3 得l_(Za)= 0003做 Za)= 0.997查表得Za = 2.75由 P(X>Zq2)= 0.0015 得l-0(za/2) = 0.0015即0(z“)= 0.9985查表得2a/2 = 2.962&設(shè)隨機(jī)變杲X的分布律為X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求"的分布律.【解】Y可取的值為0, b 4, 9P(y = 0) = P(r = 0) = |117P(y = 1)= P( = _1)+P(Ar = l) = - + = 61530P(y = 4) = P( = -2) = |P(y = 9) = P(JT =

30、3) = 30故y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029 設(shè) PX=k=(丄)，令2f 1,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)=-1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變的隨數(shù)y的分布律.【解】P(y=l)= P(X = 2)+P(X = 4) +P(X=2*) +15圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 2lwz+ =4 J/1T2 丄 4+XI27 XIV1-2 1-4z(v xfk17圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) P(y = _l)= l_P(y = l)= _330設(shè)X-N (0,

31、1).(1) 求畑的概率密度；(2) 求7=2+1的概率密度：(3) 求Y=X丨的概率密度.【解】(1)當(dāng) yWO 時(shí)，片(y) = P(y<y) = O當(dāng) y>0 時(shí),FY (y) = P(Y < y) = P(ex < v) = PX < lii y)=J：' Zr(x)dx故A(y)=d，(3)=-Zf(lny) = -=e-lnI，2,y>0dy yy y/2n(2) P(F = 2Ar2+l>l) = l當(dāng) y W1 時(shí) Fy (y) = P(y <y) = O當(dāng)y>l 時(shí)FY(y) = P(Y <y) = P(2X

32、2 + l<y)(3) P(Y > 0) = 1當(dāng)yWO 時(shí)FY(y) = P(Y <y) = O當(dāng) >>O 時(shí)尺(y) = P(| X<y) = P(-y <X<y)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 31 設(shè)隨機(jī)變SAM7(0,l),試求:(1) 斤/的分布函數(shù)及

33、密度函數(shù)：(2) Z=-21nX的分布函數(shù)及密度西數(shù).【解】(1)P(O<<1) = 1故P(1 <Y = ex <e) = l當(dāng) 時(shí) FY(y) = P(Y<y) = O當(dāng) 1 勺ve 時(shí)Fy(jO = P(ex <y) = P(X < hiy)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 當(dāng)ye 時(shí)為(y) = P(e“ <y) = l即分布慚數(shù)ySl1 < y < ey>e故丫的密度函數(shù)為齊 Cv) = Al<y<e#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)

34、網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 其他(2)由 P (0<¥<l) =1 知P(Z>O) = 1當(dāng) zWO 時(shí)，F(xiàn)z(z) = P(Z<z) = 0當(dāng) 2>0 時(shí)，F(xiàn)z(z) = P(Z <z) = P(-2nX < z)#圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) #圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) = L：d21_e19圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 即分布西數(shù)0，z<0l-er/

35、2, z>0故Z的密度西數(shù)為£=20,z<032 設(shè)隨機(jī)變吊X的密度函數(shù)為f (X) =< TV0,其他.試求K=sinX的密度函數(shù).【解】P(o<y<i)= i當(dāng) yW0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) = P(Y<y) = O當(dāng) 0<嚴(yán)1 時(shí)，F(xiàn)y (y) = P(Y < y) = P(sin X < y)=P(O< A" <arcsiny) + P(7T-arcsiny<X<n)/arcsine* 2xJO兀二Jn-ixcsmy=丄(arcsin y)2 +1 丄(兀-arcsin y)2-7TJ H-7T

36、2 .= arcsin n當(dāng)eI時(shí),巧0) = 1故y的密度隨數(shù)為2 1/(刃=«兀 Ji _ yo,33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如F：|尸=1 + X?'(2),0<y<l其他x> (3).試填上(1) , (2) , (3)項(xiàng).【解】山limF(x) = l知填1。XT8圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 由右連續(xù)性lim F(x) = F(x0) = 1知x0 = 0,故為0。XTXo從而亦為0。即,x <0尸=1 + X*1,x>034.同時(shí)擲兩枚骰子，克到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止.求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)&a

37、mp;=第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。(1=1,2) f (£)=丄.且內(nèi)與禺相互獨(dú)立。再設(shè)<>每6 次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則p(c)=卩(弓 u 禺)=卩(4)+pq)_p(m)卩(禺)1 1 1 1 11=+X =6 6 6 6 36故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為衛(wèi)的兒何分布。3635一隨機(jī)數(shù)字序列耍多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小J-0Q 【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包倉(cāng)個(gè)數(shù)字，則Xb 5,0 1)P(X >1) = 1-P(X = O) = l-C°(0.1)°(0.9)n > 0.9即(0.9)M <0.1得"M22即隨

38、機(jī)數(shù)字序列至少耍仃22個(gè)數(shù)字。36已知x < 0,0 S x < , 丄2則F (x)是()隨機(jī)變最的分布函數(shù).(J)連續(xù)型；(萬)離散型;(C)非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕(X)在(一8,+8)上單調(diào)不減右連續(xù),JllimF(x) = 0HTYlim F(x) = 1,所以F (x)是一個(gè)分布函數(shù)。但是F (%)在*=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F (x)是非連續(xù)亦非離散吃隨 機(jī)變屋的分布函數(shù)。選(C)37.設(shè)在區(qū)間上上，隨機(jī)變最X的密度西數(shù)為/(X)=sun,而在上外，/(x) =0.則區(qū)l«J a.b等于()3)0, n /2；0, n ;3(C)-陀0;(D

39、)0,-7T.27Tf x/2【解】在0,亍I上smxMO, jljo sin a dx = 1.故/(x)是密度函數(shù)。在0,町上J：sinxdx = 2Hl.故/(x)不是密度函數(shù)。在-y,O-Lsm.v <0,故/(x)不是密度函數(shù)。33在0,亍町上，當(dāng)7T<X<-7T時(shí)，sim<0, /(x)也不是密度兩數(shù)。 故選(2)。38殳隨機(jī)變鼠XN(0,。2),問：當(dāng)。取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間(1, 3)的概率最人？ 1X3【解】因?yàn)?X N(0q)P(1 <-¥<3) = P(-< <-)a a a31一(_)令 g(<7)(7(7

40、=利用微積分中求極值的方法，有330c)r)叫)h 匸)31-9/2<7211-1/2<72e_1/2<T：l- 3," =o J27rcr、41113g3) vo為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)"孟時(shí)X落入?yún)^(qū)間(2的概率最大。39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P ( X ),每個(gè)顧客購(gòu)買某種物 胡的概率為0并II各個(gè)顧客是否購(gòu)買該種物品相耳獨(dú)求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買這種 物品的人數(shù)y的分布律.e 廠【解】PX = w) = z = 0丄2,m設(shè)購(gòu)買某種物品的人數(shù)為y,在進(jìn)入商店的人數(shù)冬加的條件卜，Y-b w 即圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)www. 圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

41、圣才統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)網(wǎng)圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) P(Y = kX = m) = 0丄，加由全概率公式冇XP(Y =燈=工 P(X = m)P(Y = lcX = m)£MLc”(i一曠 慈門=e 吃廠 ”(1_” 檢心一賦' 刃_cP)k yW-P)rk k'2 (加-燈！=(P)k q-AqA(1-p)k=罕上0丄2,k此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為入的泊松分布購(gòu)買這種物品的人數(shù)仍服從泊 松分布，但參數(shù)改變?yōu)?0-設(shè)隨機(jī)變彊X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布證明：1-尹"在區(qū)間(0, 1)上服從均勻分仏 【證】X的密度函數(shù)為x>0x<0由 丁 P (A>0) =1,

42、故 Oci-el,即 P (0W1) =1 當(dāng)yWO 時(shí),Fy (y) =0當(dāng)yl 時(shí)，F(xiàn)y (y) =1當(dāng) 0<)y 1 時(shí)，F(xiàn)y(y) = P(K <y) = P(e'2x >l-y)= P(<-llii(l-y)=抑-込嚴(yán)心丁Jo即y的密度換數(shù)為fi, o<v<l朋彳。,其他即 YU (0, 1)41 .設(shè)隨機(jī)變応X的密度函數(shù)為丄，0<<1,3f (x) =< , 3 < x < 6,09 其他若斤使得PXk=2!3.求£的取值范阿.?1【解】由 P (XMk)=二知 P (X<k)=-33若股0尸

43、(X<k) =0(2000研考)ek 1k 1若 0 WkWlf (X<k) =f -dv = -<-Jo 33 3當(dāng)肛1時(shí)P (X<k)=-3若 1WV3 時(shí)P (X<k) =f1idv+ Podv = iJo 3 Ji3>i 1Ck221 1-di + dx=-k-一工一 °3力 993 3林",則p (灼t若斤>6,則尸(系伙)=1故只有當(dāng)時(shí)滿足P(d)吟42J殳隨機(jī)變啟X的分布函數(shù)為0,0.4,0&x <-1,-1 < X < 1,l<x<3,A >3.(1991研考)求X的概率分布.【解】山離散型隨機(jī)變HIX分傷律與分布函數(shù)Z間的關(guān)系，町知X的概率分傷為一10.410.430.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)屮，事件丿出現(xiàn)的概率相等若C