平面向量的數(shù)量積及運算律成品

1、平面向量的數(shù)量積及運算律一、復(fù)習(xí)鞏固：1向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使。2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使= 。3平面向量的坐標(biāo)運算若，則=，=，。若，則 。4 (¹)的充要條件是 。5力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角6兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°C二、

2、新知預(yù)習(xí)：1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b =，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分。符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×

3、;b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0。（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×ca = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þa×b=b×c但a¹c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c¹a(b×c)顯然，這是因為左端

4、是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。2“投影”的概念：作圖定義：叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為-|b|。3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于。注意：在方向上投影可以寫成4平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1） 已知兩個非零向量，則·=，即兩個向量的數(shù)量積等于。（2） 向量模的坐標(biāo)表示設(shè)，則.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么（3） 注意：若A、B，則, 所以

5、的實質(zhì)是A,B的兩點的距離或是線段的長度，這也是模的幾何意義。（4） 兩個向量垂直的條件設(shè)，則Û 。5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。1°e×a = a×e =|a|cosq2°abÛa×b = 03°當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|。 特別的a×a = |a|2或4°cosq =，利用這一關(guān)系，可求兩個向量的夾角。 5°|a×b| |a|b|5數(shù)量積的運算律

6、0;已知a，b，c和實數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律： a·bb·a  (交換律) (a)·b (a·b)a·(b)  (數(shù)乘結(jié)合律) (ab)·ca·cb·c  (分配律) 說明：(1)一般地，(a·b)ca(b·c) 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律(2)a·cb·c，c0Þab  向量的數(shù)量積不滿足消去律(3)有如下常用性質(zhì)：a2a2，&

7、#160;(ab)·(cd)a·ca·db·cb·d (ab)2a22a·bb2三、預(yù)習(xí)自測1. 設(shè)、是任意的非零不共線向量，下列命題中正確的有（ ）不與垂直 A. B. C. D. 2. 已知，且，那么（ ） A. B. C. D. 3. 以O(shè)（0，0），A（a，b），B（，）為頂點的三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形4. 設(shè)與是兩個單位向量，其夾角為，則向量，的夾角等于。5. 已知，與夾角為，則當(dāng)時，與垂直；當(dāng)時，與共線。四、講解范例：例1判斷正誤，并簡要說明理由.&

8、#183;00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（·）（·）；與是兩個單位向量，則.例2 已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.例3.已知ABC中，°，求·.例4、已知，向量、的夾角是，試求和五、鞏固提升1、給出四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（ ） 如果，則或 如果與共線，則存在惟一實數(shù)，使 如果，則 如果，則A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個2、已知（2，3），（，7），則在上的射影的值是（ ） A. B. C. D. 3、已知（1，2），（，2），當(dāng)?。ǎr，與垂直 A. 17 B. 18 C. 19 D. 204、已知的三個頂