高數(shù)ch8-習題課ppt課件

1、 d),( Dyxf利用對稱性化簡；利用對稱性化簡；)1(2) 選擇適當?shù)淖鴺讼岛头e分次序；選擇適當?shù)淖鴺讼岛头e分次序； 直角直角極極的的邊邊界界曲曲線線D雙雙曲曲線線、拋拋物物線線等等圓圓、圓圓周周的的一一部部分分或以極坐標形式給出或以極坐標形式給出f)(22yx )(xy dyxdd dd sincosyx變變量量代代換換一、二重積分的計算(3) 寫出寫出 D 的不等式組表示的不等式組表示;直角坐標：直角坐標：極坐標：極坐標：)(1xy )(2xy xbOyDaxy)(1yx )(2yx xdOcyX 型型: )()(:21xyxbxaD Y 型型: )()(:21yxydycD )()(

2、:21 D DO)(1 )(2 (4) 二重積分化為二次積分二重積分化為二次積分, 計算兩個定積分計算兩個定積分 .如如 二重積分以二次積分方式給出，二重積分以二次積分方式給出，則先由所給積分限及積分次序則先由所給積分限及積分次序再確定邊界曲線再確定邊界曲線 , 畫出畫出 D 的草圖的草圖,將將 D 用另一坐標系或另一順序的不等式組表示用另一坐標系或另一順序的不等式組表示 .寫出寫出 D 的不等式組表示，的不等式組表示，(5) 有關二重積分的對稱性的應用有關二重積分的對稱性的應用 Ddyxf ),(1、若、若D關于關于y軸對稱軸對稱其中其中D1是是D的右半區(qū)域的右半區(qū)域 即當即當(x,y)D時

3、，必有時，必有(x,y) D，那么，那么10, (, )( , )2( , ), (, )( , )Dfx yf x yf x y dfx yf x y 當當時時當當時時2、若、若D關于關于x軸對稱軸對稱10, ( ,)( , )2( , ), ( ,)( , )Df xyf x yf x y df xyf x y 若若若若D1是是D的上半部分區(qū)域的上半部分區(qū)域 即當即當(x,y)D時，必有時，必有(x, y) D，那，那么么 Ddyxf ),(10, (,)( , )2( , ), (,)( , )Dfxyf x yf x y dfxyf x y 若若若若3、若、若D關于原點對稱，關于原點對

4、稱，即當即當(x,y)D時，必有時，必有( x,y) D，那么那么 Ddyxf ),(其中其中D1是是D的上半部分或右半部分區(qū)域。的上半部分或右半部分區(qū)域。 Ddyxf ),(6) 有關二重積分的一些證明題有關二重積分的一些證明題4、若、若D關于直線關于直線 y =x對稱，對稱，即當即當(x,y)D時，必有時，必有(y,x)D，那，那么么 Ddxyf ),( Ddxyfyxf ),(),(21 中值定理、變上限積分、換元等中值定理、變上限積分、換元等 例例1. 計算下列二重積分：計算下列二重積分：,dsin)1()1( DyxI 是頂點分別為是頂點分別為其中其中D.)1 , 0()2 , 1(

5、),0 , 1(),0 , 0(的的梯梯形形閉閉區(qū)區(qū)域域和和,d)()2(22 DyxI xxyyxD0,sin0),(其其中中,d)3(222 DyxR其中其中D 為圓周為圓周xRyx 22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.222:RyxD ,d)963()4(2 DyxyI ,dsin)1()1( DyxI 是頂點分別為是頂點分別為其中其中D.)1 , 0()2 , 1(),0 , 1(),0 , 0(的的梯梯形形閉閉區(qū)區(qū)域域和和 :D10 x y1 x0 10dxI 10dsin)1(xyyx 10dcos)1(xyx1 x0 10d)1cos()1(1xxxx2sin22cos1sin1c

6、os23 xyO111 xy,d)()2(22 DyxI xxyyxD0,sin0),(其其中中 0dxI xyyxsin022d)( 032dsin31sinxxxx9402 ,d)3(222 DyxR其中其中D 為圓周為圓周xRyx 22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.利用極坐標利用極坐標 cosR 原式原式 cos022dRRDRyxO :D cos0R 22 22d DR22 dd 2322)(31d22 R0 cosR 2033d)sin1(32 R 2322)(31d22 R0 cosR d)sin(313232222 RR331R 22 223dsin31 R331R 31 32R

7、 32 )34(313 R利用對稱性利用對稱性原式原式 cos022dRR 20d2 222:RyxD ,d)963()4(2 DyxyI RxyO由由對對稱稱性性,0d3 Dx 0d6 Dy D d9又又 D d929 R I DyR d922 202d9 R R0 22sin d 42419RR 例例2 計算下列二重積分：計算下列二重積分：,d2 DxyI 10,10: yxD 2xy2xy ,2xy ,2yx 2xy 11xyO1D2D1D2DyxyxyxxyIDDdd)(dd)(2122 3011 例例3. 計算下列二重積分計算下列二重積分 )0(2:,)()1(22222 aayyx

8、ayyxDdyxD 。)0, 0(:,)()2(2222222 baRyxDdbyaxD 2(1)()Dxyd 解解D2aOaxy,Dy因因為為區(qū)區(qū)域域 關關于于 軸軸對對稱稱所所以以。 Dxyd02 DDdyxdyx )()(2222xyy關關于于為為奇奇函函數(shù)數(shù))0(,2:2222 aayyxayyxD22,xyx 又又因因為為關關于于為為偶偶函函數(shù)數(shù) 1)(222Ddyx 2044sin215 da DDdyxdyx )()(222 sin2sin2202aardrrd 204444)sinsin16(42 daa221432154 a。32454a D2aOaxy10,DDx 若若設設

9、為為 中中的的部部分分 則則,)()2(2222 Ddbyax 222:RyxD DoxyR,Dxy因因為為積積分分區(qū)區(qū)域域關關于于軸軸軸軸 原原點點都都對對稱稱 所所以以有有 DDdydxI 22。 Ddyx )(2122 Ddbyax )(2222 DDdybdxa 222211Iba)11(22 Ddyxba )(21)11(2222DoxyR Ddbyax )(2222 Rrdrrdba022022)11(21 Ddyxba )(21)11(2222 24)11(21422 Rba。4)11(422Rba 2222200d()daaxxxxyy 22020:xaxyaxD22xaxy

10、)0(222 yaxyx cos2020:aDyxyxDdd)(22 原原式式 20d cos202da443a 例例4. 將下列積分化為極坐標形式將下列積分化為極坐標形式,并計算積分值：并計算積分值：xyOa2a例例5. 2222262yxzyxz 及及求求由由曲曲面面.所圍成的立體的體積所圍成的立體的體積 xyzO222yxz 2226yxz 2222262yxzyxz得得消去消去,z222 yx面上的投影為面上的投影為立體在立體在 xOy2:22 yxDxy d )2()26(2222 xyDyxyxV d)336(22 xyDyx 20d d)36(202 6 二、三重積分的計算二、三

11、重積分的計算基本方法：化三重積分為三次積分計算?；痉椒ǎ夯胤e分為三次積分計算。關鍵步驟：關鍵步驟：(1)坐標系的選取坐標系的選取(2)積分順序的選定直角）積分順序的選定直角）(3)定出積分限定出積分限 要結合被積函數(shù)、積分區(qū)域兩方面的因素綜要結合被積函數(shù)、積分區(qū)域兩方面的因素綜合考慮才能找到好的方案。合考慮才能找到好的方案。 對積分區(qū)域要有一定的空間想象力，最好能對積分區(qū)域要有一定的空間想象力，最好能畫出畫出的圖形。如的圖形。如 的圖不好畫，也要畫出的圖不好畫，也要畫出在某坐標面上的投影區(qū)域的圖形。在某坐標面上的投影區(qū)域的圖形。 （一利用直角坐標系計算三重積分。（一利用直角坐標系計算三重

12、積分。(1)“投影法又叫投影法又叫“先單后重法先單后重法” 設設往往xoy平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為Dxy，過，過Dxy內任一點而穿過內任一點而穿過內部的平行于軸的直線與內部的平行于軸的直線與的的邊界曲面至多兩個交點，那么邊界曲面至多兩個交點，那么 適用性較廣，要有一定的空間想象力。適用性較廣，要有一定的空間想象力。 ),(),(21),(),(yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxfxy 對對z積分后的結果積分后的結果F(x,y)作為被積函數(shù)在作為被積函數(shù)在Dxy上上作對作對x、y的二重積分。的二重積分。 ),()()(2),(121),(),(yxzzxxbayxdzzyx

13、fdydyzyxf 這時再依被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點選定這時再依被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點選定積分順序。積分順序。 “先單的先單的“單選哪一個變量？單選哪一個變量？ 往另兩個坐標面上投影的情況與此類似。往另兩個坐標面上投影的情況與此類似。依被積函數(shù)依被積函數(shù)f (x,y,z)及積分區(qū)域及積分區(qū)域共同確定。共同確定。 設設夾在平面夾在平面z = c1和和z = c2之間，豎坐標之間，豎坐標為為z的平面的平面(c1 z c2)截截所得截面記為所得截面記為Dz，則有則有 zDdcdxdyzyxfdzdxdydzzyxf),(),( 通常選用此法時應滿足：通常選用此法時應滿足：Dz較簡單：圓、橢圓、矩形

14、、三角形等，容較簡單：圓、橢圓、矩形、三角形等，容易算得其面積；易算得其面積；(2)“截面法又稱截面法又稱“先重后單法先重后單法”、“切片法切片法”。( , , )zDf x y z dxdy 易易于于計計算算( , , )( )f x y zz 特特別別當當時時更更好好。（二柱面坐標系下計算三重積分（二柱面坐標系下計算三重積分 22(), (),yf xygxxoy 當當被被積積函函數(shù)數(shù)形形如如等等 而而積積分分區(qū)區(qū)域域為為旋旋轉轉體體或或其其邊邊界界曲曲面面含含圓圓柱柱面面、球球面面、圓圓錐錐面面或或在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為圓圓域域時時 可可選選用用柱柱面面坐坐標標計計算算三三

15、重重積積分分。 計算可分計算可分“兩步走兩步走”，化為三次積分則應一次，化為三次積分則應一次完成。完成。（三球面坐標系下計算三重積分。（三球面坐標系下計算三重積分。 222(),f xyz 當當被被積積函函數(shù)數(shù)形形如如時時由由圓圓錐錐面面等等所所圍圍時時 選選用用球球面面坐坐標標計計算算三三重重積積分分較較好好。 有的三重積分可能有多種選擇：不同的坐標有的三重積分可能有多種選擇：不同的坐標系、不同的順序積等?？偨Y經驗，選取簡單系、不同的順序積等。總結經驗，選取簡單的方法。的方法。 （四三重積分中的對稱性的應用。（四三重積分中的對稱性的應用。1( , , )0,( , ,)( , , )2( ,

16、 , ),( , ,)( , , )f x y z dVf x yzf x y zf x y z dVf x yzf x y z 若若若若類似地：類似地： 1是是 的的z 0的部分的部分(1)設設關于平面關于平面xoy對稱。對稱。(2)設設關于原點關于原點O對稱，對稱， 1是是的的z0 (或或x 0，或，或y 0) 的部分，那么的部分，那么1( , , )0(,)( , , )2( , , )(,)( , , )f x y z dVfxyzf x y zf x y z dVfxyzf x y z 若若若若(3)假設假設關于變量關于變量x,y,z具有輪換對稱性，具有輪換對稱性， dvyxzfdv

17、xzyfdvzyxf),(),(),( dvyxzfxzyfzyxf),(),(),(31即若即若(a,b,c),那么那么(b,c,a),(c,a,b)則有則有 dvzdvydvx222 Rdrrrdd022020sin31 。5154R 2222:,xyzR 例例如如設設則則 dvzyx)(31222使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：1、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；2、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個自變量的、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個自變量的奇偶性。奇偶性。被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z)是關于是關于z的奇函數(shù)，則三重的奇函數(shù)，則三重積分為零積分為零.

18、若被積函數(shù)若被積函數(shù)f(x,y,z)是關于是關于z的偶函數(shù)，則三的偶函數(shù)，則三重積分為重積分為在在xoy平面上方的半個閉區(qū)域的三平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍重積分的兩倍.例如：當積分區(qū)域例如：當積分區(qū)域關于平面關于平面xoy對稱。對稱。1,0:,)()1(2 zyxdvzyx 解解 關于直線關于直線 x = y = z 對稱對稱 dvyzxzxyzyxI)222(222 xydvdvx232對于對于x、y、z具有輪換對稱性。具有輪換對稱性。 101010101010223xydzdydxdzdydxx。21211 例例1 利用對稱性計算下列三重積分。利用對稱性計算下列三重積分。zxyo

19、 dvzyx2)(解解 adrrrdd022020sin 。554a dvzyx)(222 dvzyx2)()2( dvzxyzxy)(20)(222 dvzyx2222:azyx xyzoa dvzyx2)2()3( dvzyx)2(2222 dvzyx)()21(312222。5254)31(a 解解2(2) xyz dv dvzxyzxy)22222(0)2(2222 dvzyx2222:azyx xyzoaOxyzyoz 于于解解關關面面為為對對稱稱0 xdv 有有。 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd 8 。( , , )f x y zxx 為為的的奇奇函函數(shù)

20、數(shù)（利用球面坐標）（利用球面坐標）2222)2(1xz dvzxyzxy 計計算算，其其中中由由與與例例所所圍圍成成的的。 20,40, 10: r3 ze dv例例計計算算z被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為解解的的函函數(shù)數(shù)，2 上上zze dve dv10( )2 zD zdxdy e dz1202(1) zz e dz2 。故故采采用用先先重重后后單單法法。222:1 xyz。zD2221:zyxDz zyxozD1xyzo例例如如 曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積平平面面薄薄片片的的質質量量D平平面面區(qū)區(qū)域域 的的面面積積( , )DVf x y d ( , )Dmx y d DAd 空空間間物物體體的的質質量量( , , )mx y z dv 空空間間區(qū)區(qū)域域 的的體體積積Vdv 三、重積分的應用 dffdAyx221 曲面面積計算公式曲面面積計算公式曲面方程曲面方程: z =f(x ,y) (x,y)Dxy dxdyyzxzAxyD 22)()(1曲面方程曲面方程: x=g(y,z) (y,z)DyzdydzzxyxAyzD 22)()(1221yzdAgg d dzdxxyzyAzxD 22)()(1