一階線性微分方程(3)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程 一、線性方程一、線性方程二、貝努利方程二、貝努利方程)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: :, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱為齊次的上述方程稱為齊次的. .上述方程稱為非齊次的上述方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的；線性的；非線性的非線性的. .一、線性方程一、線性方程. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( d

2、xxPCey1. 1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法( (使用分離變量法使用分離變量法) )常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): :未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. .),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy2. 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP

3、),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: : dxxPdxxPeCdxexQy)()()(.)()()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP 對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.)1(12 125的通解的通解求方程求方程例例 xxydxdy解解 先求對應(yīng)的齊次方程的通解先求對應(yīng)的齊次方程的通解. ., 012 xydxdy,12 xdxydy解得解得2)1( xCy，換成換成用常數(shù)變易法，把用常數(shù)變易法，把)( xuC,)1)(2 xxuy即即令令那么那么),1(2)1(2 xuxdxdudx

4、dy代入所給方程，得代入所給方程，得.)1(21 xdxdu解得解得.)1(3223Cxu 所求方程得通解為所求方程得通解為.)1(32)1(232Cxxy .23 22的的通通解解求求方方程程例例 xxydxdyx解解先求對應(yīng)的齊次方程的通解先求對應(yīng)的齊次方程的通解. .231xxyxdxdy , 0 xydxdy,xdxydy 解得解得.xCy ，換成換成用常數(shù)變易法，把用常數(shù)變易法，把)( xuC,)(xxuy 即即令令, 2xuxudxdy 則則代入所給方程，得代入所給方程，得. 232 xxdxdu解得解得.223323Cxxxu 所求方程得通解為所求方程得通解為.22332xCxx

5、y 原方程可寫為原方程可寫為).( )0( )( 3 3xfPQxxyxfyy面積，求曲線面積，求曲線數(shù)值上等于陰影部分的數(shù)值上等于陰影部分的之長之長截下的線段截下的線段與與線線軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲如圖所示，平行于如圖所示，平行于例例 ,)()(23 0 xfxdxxfx xyxydx 0 3,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解xyoxPQ3xy )(xfy 23xyy 先求得對應(yīng)的齊次方程的通解為：先求得對應(yīng)的齊次方程的通解為：.xCey ，換成換成用常數(shù)變易法，把用常數(shù)變易法，把)( xuC,)( xexuy 即令即令, xxuedxduedxdy 則則代入所給方程，得代入所給

6、方程，得,3 2xexdxdu 解得解得,6632Cexeexuxxx , 6632 xxCeyx所求方程得通解為所求方程得通解為, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 或或 直接代入求解公式直接代入求解公式伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. . 方程為非線性微分方程為非線

7、性微分方程方程. .時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 , 0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 , 0 n解法解法: :需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .二、伯努利方程二、伯努利方程, 1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1( ),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 1代代入入即即得得求求出出通通解解后后，將將nyz ，得得兩兩端端除除以以ny 代入上式代入上式. )1)( )()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn. 4 42的的通通解解求求方方程程例例yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,4

8、22xzxdxdz ,22 Cxxz.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以21 y解得解得. )(ln 52的通解的通解求方程求方程例例yxaxydxdy ,1 yz令令, )(ln22 xaCxz解解，得得兩兩端端除除以以2 y解得解得),(ln12xaxydxdyy ),(lnxaxzdxdz 所求方程得通解為所求方程得通解為. 1)(ln22 xaCyx例例6 6 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2yz 令令,2 dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz Cdxexeezxdxxxdx222所求通解為所求通解為.2222 Cxeyx,2122xxexyyy ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代代回回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy ;1. 3yxd