東南大學2011高數(shù)競賽講座多元微積分

1、東南大學2011高數(shù)競賽講座多元微積分三三、多多元元函函數(shù)數(shù)的的極極值值幾幾何何應應用用二二、多多元元函函數(shù)數(shù)微微分分學學的的一一、多多元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分法法主主要要內(nèi)內(nèi)容容 . )0(),(:1 yzaxzbabbyaxyxfz充要條件為的函數(shù)的是可微函數(shù)試證 . .例例一、多元函數(shù)的微分法一、多元函數(shù)的微分法.,. 01 ).,(,),( .),(1,).( ),(),( ),(),(,:的函數(shù)僅僅是即故不含因此則令因為充分性故因為必要性byaxtzuyzaxzbayzxzabuyyzuxxzuzuthuabutfyxfzuybytaxuytbyaxyzaxzbbyaxgabyzax

2、zbbyaxgbyzbyaxgaxzbyaxgyxfz 證證明明).,(),(),(),( ),(),( , 0,),()( .zyxnfzyxf xzyxf xzyxf xzyxfzyxfzyxfxxxn成立的充分必要條件是等式對任意實數(shù)則具有一階連續(xù)偏導數(shù)設齊次函數(shù)的歐拉定理例例2 2).,(),(),(),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(),(),(),(),(,),(),(),(.,:11zyxnfzzyxfzyzyxfyxzyxfxwvunfzyxfnwwvufwvwvufvuwvufuzyxfnwwvufzvwvufyuwvufxzyxfnwwwvufvv

3、wvufuuwvufzyxfzyxfwvufzwyvxuzwyvxunnnn亦即即得兩邊同乘以即得求導兩邊關于于是對則令必要性證證明明.),(),(),(),(),()( ).,()1 ( .)(.0),(),(1 ),(1 ),(1)( ,),()( ,0),(),(),(),(),(,111次齊次函數(shù)為即可得則由令于是則有構造輔助函數(shù)時當?shù)亩x域中任意固定點對設nzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfFzyxfFCCFzyxnfzyxnfzyxnff zf yf xzyxfnf zf yf xFzyxfFzyxfzyxnfzzyxfzyzyxfyxzyxfxnnnwvunnwvunn充充

4、分分性性 .22 :,),( (1) .2222222FyFyyxFxyxFxyxF試證明是二次齊次函數(shù)設練練習習. 0),(),( :).0 , 1 () 1 , 0(),( yxfyxyxfxyffyxf點滿足方程單位圓周上至少存在兩證明且有一階連續(xù)的偏導數(shù)，設二函數(shù)例例3 3. . 0),(),( ),(),(,),(,),(, 2 , 1,sin,cos . 0)(, 0)(,2 ,2,2, 0),0 , 1 ()2() 1 , 0(2)0 , 1 ()0().sin,(coscos)sin,(cossin)( ,2 , 0)(,),( .2 , 0),sin,(cos)(,sin,c

5、os :221122112121iiyiiixiiiiiyxyxfxyxfyyxyxyxyxiyxFFfFfFfFffFFyxffFyx使和上的兩點于是至少存在單位圓周第一象限而第一象限則顯然有若記使在于是存又因為且可導在故具有一階連續(xù)偏導數(shù)因并記令證證明明. 2 , 1 , 0),(),( ),(),(:,2, 00 ,2,: ),( ),( . 2211222iyxfyyxfxyxyxDRfRfRyxyxDyxfiixiiiyi使和的內(nèi)部至少存在兩點在試證明而且上有連續(xù)的偏導數(shù)在閉圓域設函數(shù)練練習習).2 ,( ),2 ,( ),2 ,( ,)2 ,( ,)2 ,( ),(),( ),(

6、2xxuxxuxxuxxxuxxxuyxuyxuyxuuyyxyxxxyyxx 求滿足方程有二階連續(xù)偏導數(shù)，且設例4.例4.35)2,(,34)2,(5)(3)(5) .)2,(2)2,( )4(),2,()2,(),2,()2,(,(4) .)2,(2)2,(,)2()3( .2)2,(2)2,(,)1 ()2( .21)2,( )1 ( )2,( , 1)2,(2)2,( ,)2,(:22xxxuxxxuxxxuxxuxxuxxuxxuxxuxxxuxxuxxxxuxxuxxxxuxxxuxxuxxuxxxxuxyxxxxxyyyxxyxxyyyyxxyxxyxyx 解得和由式為故且由題意

7、得求導式兩邊對由得求導式兩邊對由因此由于得求導兩邊對對解解法法一一.35)2,(,34)2,(.)()(271)()(41)()(),(,27141)(,43414141)()3(,4141)(,413)()3()()3()()2,()2,( .),()()()(,0,2,2,2,2,:333333222xxxuxxxuyxyxyxyxyxyxyxuCxxxCxxCxxxxxxCxxxxxxxxxxxxxxuxxxuyxyxuuuuuuuuuuuuuuuuuuyxyxyxxyxxxyyxxyyxxyx 從而可知故即于是即解得由條件有二階連續(xù)導數(shù)和其中于是得因此由于是則令解解法法二二.,),()

8、2(;,) 1 (.,2 222的常數(shù)為大于零其中時，求且當求均為二次可微函數(shù)其中已知bayfbyyxzfyxzxzfyxyxyxfzax例例5 5. .63131)( ,231231)(,)1 ()2()2( ,12)(412,1)1 ()1 ( ,12)( ,2,2 .2 ,2 )1 ( :2132343433334332222222222cycyybayfttbattbattftbatfttfttbtatftftatybyyafyaayfayffbyyayaayfayyxzyxyxxyfxyyxzyxxyfxyxyfxzax 解得得式于是得代式中用在整理得令于是有可知由解解.,42 ,

9、0,),(),( .2222222的值求常數(shù)如果且具有二階連續(xù)偏導數(shù)，設kfyzyxzxzggfkyxgyxyxfz 例6例6. 1, 012, 0,4) 12(42 ,2 , ,2 , , :22222222222222121122221121122221122211211222121122211211222121 kkkgfgkkfyzyxzxzgkfffgkffffyzgkffgkffffyxzgfffgffffxzgkffyzgffxz即于是但得由題設條件解解).,(, 0 ,.0, 0 ,),( .2222222yxzvuzyxvyxuACByzCyxzBxzAyxzz并求出使原方程

10、變?yōu)榈闹翟嚧_定常數(shù)若令并滿足方程二階連續(xù)可微設例例7 7.)( ,2 ,2 , , ,:2222222222222222222222vzvuzuzvzuzxyxzvzvuzuzvzuzyyzvzvuzuzvzuzxxzvzuzyvvzyuuzyzvzuzxvvzxuuzxzvuyx得利用鏈式法則看成中間變量看成自變量將解解.)()(),()()()(),(),()()(00., ,02, 0 . 00)(, 02, 02,)2()( 2)2( 2022222222222222222222dvvvgyxgyxfvgufyxzufdvvzvvzvzuvuzCACBBCACBBCtBtAACBvuz

11、CBACBACBAvzCBAvuzCBAuzCBAyzCyxzBxzA這里故由有兩個不同的實根方程由則可得于是只要取故由.0, 0:)4(.) 1, 1, 1(74253:,2:)3(.)2 , 1, 1 (422:,032012:)2(.85222:0523:) 1 (222222222222處的切平面和法線方程在求曲面的切線在點使之過曲線的切平面求曲面的切線在點使之平行于曲線的平面求過直線的切平面方程相切且與曲面求過直線vuvuzveyuexMzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxLzyxzyxzyxLuv幾何上的應用幾何上的應用二、多元函數(shù)微分學在二、多元函數(shù)微分學在. 017129

12、3 , 5, 2, 025, 0)2(2)2(3)(, 0,.2, 3 , 124 , 6, 22 , 1 , 1,2 ,2)2 , 1, 1 (.2,2 , ) 1 (.,) 1 ( , 0)32() 12( )2( :2121)2, 1, 1(),(21zyxnnnnzyxnnzyxzyxLzyx即得所求平面方程為取即于是得由處的切線方向為在點而曲線的法向量平面束為不全為零的實數(shù)其中的平面束為設過直線解解.111, 0,1 , 1, 1. 1, 0, 0, 1 ,)()1 (1)()1 (1,.1 , 0, 0, 0,0, 0, 1, ),(),(),().,(),(,),(),(: )4

13、( )0,0()0,0()0,0()0,0()0,0,0(zyxzyxnyvxvyuxudyedxveeuvdvdyuedxeeuvdudveduvedydvueduedxvuFFnzyxvuFyvyuFxvxuFyxvyxuzzyxFyxvyxuvuzveyuexyxvvyxuuvuvuvuvuuuvvyxzyxuv法線為于是所求切平面為故于是解得得分別求全微分對同為與法線方向的方向向量法向量于是過原點的切平面的時且當則令于是確定的隱函數(shù)組是由方程組設法法一一解解.111, 00, 0,1 , 1, 1)0 , 0()0 , 0()0 , 0 , 0(,1 , 1 , 0)0 , 0(1 ,

14、 0 , 1)0 , 0()0 , 0 , 0(,)0, 0()0 , 0 , 0(, 0), 0(, 0 ,)0 ,(,.),(,),(),(),(),(:zyxzyxvurrnrrvuvvvruuurvuvuveuevuzvuyvuxvurvuvuuv法線方程為切平面為處的曲面在的法向量為于是曲面在點和向量分別為的切它們在點的曲線點曲面上對應于參數(shù)為曲面上經(jīng)過點和顯然為參數(shù)曲面的參數(shù)方程為解解法法二二.,1113 ,)0, 0, 0, 0(1111),( .31為任意正實數(shù)其中并證明不等式下的極值在條件求cbaabccbarzyxrzyxxyzzyxf例例三三、多多元元函函數(shù)數(shù)的的極極值值

15、.)3(,3,31,111,(1)(1) 01111000 ,1111),( :4222rrzyxLrxyzzyxrzyxLzxyLyxzLxyzLLrzyxxyzzyxLzyx的駐點為從而得代入第四式得中前三式由則有于零求偏導數(shù)并令它們都等對作拉格朗日函數(shù)解解.1113 ,1113 )2(,111,(2) 1111, 0, 0, 0)3( .,27,3,6,)3 ,3 ,3(,2,2,2 ,.,),(),(),(),(),)(,(1111,)3()3 ,3 ,3(3131132233322332222223abccbacbaabccbarczbyaxrzyxzyxrxyzrFFFrFFrFrrryxzFxyzxzyzzFxyzFyxzxzFxyzyzFyzzxzzyxzzfyxFyxxyzzyxfyxzzrzyxrrrrfxyyyxxxyyyxxyyxyxxyxyx即有代入則令且于是就有不等式且可驗證是最小值點于是駐點為極小值點處在駐點事實上判斷極值的充分條件來作出這樣就可應用二元函數(shù)的復合函數(shù)與看作并把目標函數(shù)滿足隱函數(shù)定理條件看作隱函數(shù)可將條件為極大值還是極小值為判斷532222527 ,)0, 0, 0(5ln3lnln 1. .cbaabczyxrzyxzyx并證明不等式下的極值在條件求練習練習.