第一部分第二章2.2第二課時 等差數(shù)列的性質(zhì)

1、2.2等差數(shù)列把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章數(shù)列考點一考點二考點三理解教材新知知識點一知識點二第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)第一頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第二頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第三頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)第四頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第五頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第六頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回等差數(shù)列等差數(shù)列an中中,公差公差d.問題問題1：計算前三項間的關(guān)系：計算前三項間的關(guān)系,提示：提示：a2a1d,a3a2d,a2a1a3a2,a1a32a2.問題

2、問題2：an,an1,an2有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？提示：提示：an1anan2an1d,anan22an1.第七頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第八頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第九頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,公差為公差為d,問題問題1：a1,a2,a8,a9有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？提示：提示：a2a1d,a8a17d,a9a18d,a1a9a2a8.問題問題2：a1,a4,a7,a10,a13能構(gòu)成等差數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列嗎？列嗎？提示：能提示：能,公差為公差為3d.第十頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 假設(shè)假設(shè)an是

3、等差數(shù)列是等差數(shù)列,d為公差為公差,那么有如下性質(zhì)：那么有如下性質(zhì)： (1)假設(shè)假設(shè)mnpq(m,n,p,qN*),那么那么anam apaq.特別地：假設(shè)特別地：假設(shè)mn2p(m,n,pN*), 那么那么anam2ap. (2)a1ana2an1a3an2. (3)下標(biāo)為等差數(shù)列的項下標(biāo)為等差數(shù)列的項ak,akm,ak2m,仍組成等仍組成等差數(shù)列差數(shù)列,且公差為且公差為md.第十一頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 (4)數(shù)列數(shù)列anb(,b為常數(shù)為常數(shù))仍為等差數(shù)列仍為等差數(shù)列,且公差為且公差為d. (5)an和和bn均為等差數(shù)列均為等差數(shù)列,那么那么anbn也為等差也為等差數(shù)列數(shù)

4、列 (6)an的公差為的公差為d,那么那么d0an為遞增數(shù)列；為遞增數(shù)列；d0an為遞減數(shù)列；為遞減數(shù)列；d0an為常數(shù)列為常數(shù)列 (7)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,那么那么a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,仍成等差數(shù)列仍成等差數(shù)列第十二頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回對于性質(zhì)：假設(shè)對于性質(zhì)：假設(shè)mnpq,那么那么amanapaq(m,n,p,qN*)的要求：的要求：兩邊下標(biāo)和相等兩邊下標(biāo)和相等,兩邊相加的項數(shù)一樣多兩邊相加的項數(shù)一樣多可推廣到三項或三項以上可推廣到三項或三項以上,即即假設(shè)假設(shè)mnpqkl,那么那么amanapaqakal.第十三頁，編輯于星期一：二十一點 二十

5、七分。返回第十四頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第十五頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 例例1數(shù)列數(shù)列xn的首項的首項x13,通項通項xn2npnq(nN*,p,q為常數(shù)為常數(shù)),且且x1、x4、x5成等差數(shù)列求：成等差數(shù)列求：p,q的值的值 思路點撥思路點撥由由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個關(guān)于成等差數(shù)列得出一個關(guān)于p、q的等式的等式,結(jié)合結(jié)合x13推出推出2pq3,從而得從而得p、q.第十六頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回精解詳析精解詳析由由x13,得得2pq3,又又x424p4q,x525p5q,且且x1x52x4得得,325p5q25p8q,由由,得得

6、,q1,p1.第十七頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 一點通一點通假設(shè)三數(shù)假設(shè)三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列成等差數(shù)列,那么那么ac2b,即即b為為a,c的等差中項的等差中項,反之反之,也成立也成立,這個結(jié)論在等差數(shù)列的題中經(jīng)常這個結(jié)論在等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到用到第十八頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回1等差數(shù)列等差數(shù)列an的前三項依次為的前三項依次為x,2x1,4x2, 那么它的第那么它的第5項為項為_ 解析：由得解析：由得 2(2x1)x4x2, 解得解得x0. 故數(shù)列為故數(shù)列為0,1,2,3. ann1. a5514. 答案：答案：4第十九頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分

7、。返回2假設(shè)假設(shè)m和和2n的等差中項為的等差中項為4,2m和和n的等差中項為的等差中項為5, 那么那么m與與n的等差中項是的等差中項是_答案：答案：3第二十頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回3數(shù)列數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列是等差數(shù)列,那么那么a,b,c的值的值 分別為分別為_,_,_. 解析：解析：8,a,2,b,c是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 2a10,a5. b1,c4. 答案：答案：5,1,4 第二十一頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回第二十二頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 例例2(1)等差數(shù)列等差數(shù)列an中中,a2a3a10a1136.求求a5a8. (2)

8、數(shù)列數(shù)列an中中,a3,a10是方程是方程x23x50的兩根的兩根,假設(shè)假設(shè)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,求求a5a8. 思路點撥思路點撥利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解,或整體考或整體考慮問題慮問題第二十三頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 精解詳析精解詳析(1)法一：根據(jù)題意法一：根據(jù)題意,有有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36, 4a122d36.那么那么2a111d18. 而而a5a8(a14d)(a17d)2a111d, 因此因此,a5a818.第二十四頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 法二：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)法二：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),可得可得

9、a5a8a3 a10a2a1136218. (2)由根與系數(shù)的關(guān)系知由根與系數(shù)的關(guān)系知a3a103, 故故a5a8a3a103. 一點通一點通利用等差數(shù)列性質(zhì)時利用等差數(shù)列性質(zhì)時,要注意各要注意各性質(zhì)的使用條件性質(zhì)的使用條件第二十五頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回4.等差數(shù)列等差數(shù)列an中中,a4a515,a712, 那么那么a2 _. 解析：解析：an是等差數(shù)列是等差數(shù)列, a4a5a7a2. a215123. 答案：答案：3第二十六頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回5等差數(shù)列等差數(shù)列an中中, 假設(shè)假設(shè)a1a2a33,a4a5a69, 那么那么a10a11a12_. 解析

10、：解析：an為等差數(shù)列為等差數(shù)列, a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12. 成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a10a11a122(a4a5a6)(a1a2a3) (a4a5a6)2(93)921. 答案：答案：21第二十七頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回6數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,假設(shè)假設(shè)a1a5a9a13a17 117,那么那么a3a15_. 解析：解析：a1a17a5a132a9, (a1a17)(a5a13)a9, 2a92a9a9117. a9117. a3a152a92117234. 答案：答案：234第二十八頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回

11、第二十九頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 例例3(1)三個數(shù)成等差數(shù)列三個數(shù)成等差數(shù)列,和為和為6,積為積為24,求這三個數(shù)；求這三個數(shù)； (2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為中間兩數(shù)的和為2,首末兩項首末兩項的積為的積為8,求這四個數(shù)求這四個數(shù) 思路點撥思路點撥(1)根據(jù)三個數(shù)成等差數(shù)列根據(jù)三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個數(shù)為可設(shè)這三個數(shù)為ad,a,ad(d為公差為公差)； (2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,且中間兩數(shù)的和且中間兩數(shù)的和,可設(shè)為可設(shè)為a3d,ad,ad,a3d(公差為公差為2d) 第三十頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回

12、精解詳析精解詳析(1)法一：設(shè)等差數(shù)列的等差中項為法一：設(shè)等差數(shù)列的等差中項為a,公差公差為為d, 那么這三個數(shù)分別為那么這三個數(shù)分別為ad,a,ad. 依題意依題意,3a6且且a(ad)(ad)24, 所以所以a2,代入代入a(ad)(ad)24, 化簡得化簡得d216,于是于是d4, 故三個數(shù)為故三個數(shù)為2,2,6或或6,2,2.第三十一頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 法二：設(shè)首項為法二：設(shè)首項為a,公差為公差為d,這三個數(shù)分別為這三個數(shù)分別為a,ad,a2d, 依題意依題意,3a3d6且且a(ad)(a2d)24, 所以所以a2d,代入代入a(ad)(a2d)24, 得得2(

13、2d)(2d)24,4d212, 即即d216,于是于是d4, 三個數(shù)為三個數(shù)為2,2,6或或6,2,2.第三十二頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 (2)法一：設(shè)這四個數(shù)為法一：設(shè)這四個數(shù)為a3d,ad,ad,a3d(公差為公差為2d), 依題意依題意,2a2,且且(a3d)(a3d)8, 即即a1,a29d28, d21,d1或或d1. 又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以所以d0, d1,故所求的四個數(shù)為故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.第三十三頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 一點通一點通利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量,可以簡化可

14、以簡化計算一般地有如下規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列計算一般地有如下規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項數(shù)的項數(shù)n為奇數(shù)為奇數(shù)時時,可設(shè)中間一項為可設(shè)中間一項為a,再用公差為再用公差為d向兩邊分別設(shè)項：向兩邊分別設(shè)項：a2d,ad,a,ad,a2d,；當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)項時；當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)項時,可設(shè)中間兩可設(shè)中間兩項為項為ad,ad,再以公差為再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項：向兩邊分別設(shè)項：a3d,ad,ad,a3d,這樣可減少計算量這樣可減少計算量第三十四頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回7單調(diào)遞增的等差數(shù)列單調(diào)遞增的等差數(shù)列an的前三項之和為的前三項之和為21, 前三項之積為前三項之積為231,求數(shù)列求數(shù)列 an的通項公式的通項公式第三十五頁，編輯于星期一：二十一點 二十七分。返回 (1)等差中項主要有兩方面的用途：利用等差等差中項主要有兩方面的用途：利用等差中項的性質(zhì)簡化計算中項的性質(zhì)簡化計算判定數(shù)