西南大學(xué)(陳鵬)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理期末復(fù)習(xí)重點(diǎn)習(xí)題整理

1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理_第五版_汪志誠(chéng)_ 課后重點(diǎn)題目答案第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律1.8 滿足的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量為解：根據(jù)式（1.6.1），多方過(guò)程中的熱容量 （1）對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，所以 （2）將多方過(guò)程的過(guò)程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€的斜率小于絕熱線的

2、斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍@違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說(shuō)法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根據(jù)式（2.2.7），有 （3）所以 （4）這就是說(shuō)，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與

3、體積無(wú)關(guān)，只是溫度T的函數(shù).2.4已知，求證解：對(duì)復(fù)合函數(shù) （1）求偏導(dǎo)數(shù)，有 （2）如果，即有 （3）式（2）也可以用雅可比行列式證明： （2）第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 6.3 試證明，對(duì)于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D() d =證明：對(duì)于二維自由粒子，有 所以，在面積L2內(nèi)，在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 換為極坐標(biāo)，則動(dòng)量大小在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 對(duì)從0至2積分，并利用則可得在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D() d =，證畢第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)7.8稀薄氣體由某種原子組成. 原子兩個(gè)能級(jí)能量之差為當(dāng)原子從高能級(jí)躍遷到低能級(jí)時(shí)將伴隨著光的發(fā)射. 由于氣體中原子的

4、速度分布和多普勒（Doppler）效應(yīng)，光譜儀觀察到的不是單一頻率的譜線，而是頻率的一個(gè)分布，稱為譜線的多普勒增寬. 試求溫度為T時(shí)譜線多普勒增寬的表達(dá)式.解：我們首先根據(jù)在原子躍遷發(fā)射光子過(guò)程中動(dòng)量和能量的守恒關(guān)系導(dǎo)出多普勒效應(yīng).為明確起見，假設(shè)光譜儀接受沿軸傳播的光，原子的誓師為，初態(tài)處在能級(jí)，速度為，發(fā)射能量為，動(dòng)量為（平行于軸）的光子后躍遷到能級(jí)，速度變?yōu)?動(dòng)量守恒和能量守恒要求 （1） （2）將式（1）平方并除以，得代入式（2），注意即有或 （3）式（3）右方后兩項(xiàng)的大小估計(jì)如下：考慮即有因此右方第三項(xiàng)完全可以忽略，且與的差別很小. 將式（3）改寫為 （4）式（4）給出多普勒頻移.

5、多普勒頻移通常表達(dá)為：當(dāng)原子以速度面對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者看到的光頻是其中是靜止原子發(fā)出的光的頻率.根據(jù)式（7.3.7），溫度為T時(shí)，氣體中原子速度的分量到之間的概率與下式成正比： （5）將式（4）代入上式可以得到光的頻率分布 （6）這是以為中心的高斯（Gaussian）型分布. 可以將式（6）表示為高斯型分布的標(biāo)準(zhǔn)形式： （7）其中 函數(shù)滿足歸一化條件 （8）式（7）可以從實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證. 這是實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證麥?zhǔn)纤俣确植嫉姆椒ㄖ? 7.16 已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為其中是常量，求粒子的平均能量.解: 應(yīng)用能量均分定理求粒子的平均能量時(shí)，需要注意所難能量表達(dá)式中和兩面三刀項(xiàng)都是

6、的函數(shù)，不能直接將能量均分定理用于項(xiàng)而得出的結(jié)論. 要通過(guò)配方將表達(dá)為 （1）在式（1）中，僅第四項(xiàng)是的函數(shù)，又是平方項(xiàng). 由能量均分定理知 （2）7.21 定域系統(tǒng)含有N個(gè)近獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)和求在溫度為T的熱平衡狀態(tài)下粒子在兩能級(jí)的分布，以及系統(tǒng)的內(nèi)能和熵. 討論在低溫和高溫極限下的結(jié)果. 解: 首先分析粒子在兩能級(jí)的分布. 配分函數(shù)為處在兩能級(jí)的最概然粒子數(shù)分別為 （1） （2）其中是系統(tǒng)的特征溫度. 式（1）和（2）表明，隨溫度的變化取決于特征溫度與溫度的比值，如圖所示. 在低溫極限下，粒子凍結(jié)在低能級(jí). 在高溫極限下，意味著在高溫極限下兩能級(jí)級(jí)能量的差異對(duì)粒子數(shù)分布已

7、沒(méi)有可能覺(jué)察的影響，粒子以相等的概率處在兩個(gè)能級(jí). 系統(tǒng)的內(nèi)能為 （3）在低溫極限下，有在高溫極限下，有這是容易理解的.系統(tǒng)的熱容量為 （4）熱容量隨溫度的變化如圖所示. 在低溫極限下，有它趨于零. 在高溫極限下，有也趨于零. 這結(jié)果也是易于理解的. 值得注意，隨溫度的變化有一個(gè)尖峰，其位置由確定（大致在附近）. 熱容量這一尖峰稱為熱容量的肖脫基（Shottky）反常（解釋見后）.系統(tǒng)的熵為 （5）S隨溫度的變化如下圖所示. 在低溫極限下，高溫極限下，二能級(jí)系統(tǒng)是經(jīng)常遇到的物理模型，§7.8介紹的順磁性固體和§7.9介紹的核自旋系統(tǒng)是熟知的例子. §7.8著重討論

8、了順磁性固體的磁性，§7.9則將核自旋系統(tǒng)看作孤立系統(tǒng)而討論其可能出現(xiàn)的負(fù)溫狀態(tài). 處在外磁場(chǎng)B中的磁矩具有勢(shì)能 對(duì)于自旋為的粒子，能量為 如果磁矩間的相互作用能量遠(yuǎn)小于磁矩在外磁場(chǎng)中的能量，就形成二能級(jí)系統(tǒng). 核磁子很小，使核自旋系統(tǒng)通常滿足這一要求 在順磁性固體中，許多情形下磁性原子（離子）被非磁性離子包圍而處于稀釋狀態(tài)，也滿足這一要求. 討論固體中的二級(jí)級(jí)系統(tǒng)時(shí)往往假設(shè)二能級(jí)系統(tǒng)與固體的其他熱運(yùn)動(dòng)（如晶格振動(dòng)）近似獨(dú)立. 低溫下晶格振動(dòng)的熱容量按律隨溫度降低而減小（參閱§9.7）. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)順磁性固體的熱容量在按律減少的同時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)當(dāng)時(shí)出乎意料的尖峰而被稱為肖脫基反

9、常. 如前所述，尖峰是處在外磁場(chǎng)中的磁矩發(fā)生能級(jí)分裂形成二能級(jí)系統(tǒng)引志的. 除了磁性系統(tǒng)外，二級(jí)級(jí)結(jié)構(gòu)也存在于其他一些物理系統(tǒng)中. 例如，能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)使NO分子的基態(tài)存在特征溫度為178K的二能級(jí)結(jié)構(gòu)，從而影響其熱力學(xué)特性. 參閱Landau, Lifshitz. Statistical Physics. §50. 二能級(jí)系統(tǒng)更是激光和量子光學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)基本物理模型，不過(guò)其中討論的不是熱力學(xué)平衡狀態(tài)了.第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì) 8.13銀的導(dǎo)電電子數(shù)密度為，試求0K時(shí)電子氣體的費(fèi)米能量、費(fèi)米速率和簡(jiǎn)并壓.解: 由，將代入得費(fèi)米速率：，0K下電子氣體的壓強(qiáng)為8.18試求在極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.解:極端相對(duì)論條件下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，極端相對(duì)論粒子的量子態(tài)數(shù)為0K下自由電子氣體的分布為費(fèi)米能量由下式確定：，故0K下電子氣體的內(nèi)能為：電子氣體的壓強(qiáng)為：第九章 系綜理論9.9仿照三維固體的地拜理論，計(jì)算長(zhǎng)度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容