高等數(shù)學(xué)D86幾何中的應(yīng)用

1、第六節(jié)復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxf),(),(ddyxfyxfxyyx故在點(diǎn)),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxfy)(),(000 xxyxfx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點(diǎn)有有因 0)(),(000yyyxfx),(00yxfy)(0 xx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

2、束 一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點(diǎn) m 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 位置.tm空間光滑曲線在點(diǎn) m 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限平面平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxmtt對應(yīng)設(shè) ),(0000zzyyxxmttt對應(yīng))(0t)(0t)(0t機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tmm:的方程割線mm)(00 xxt此處要求

3、)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 m不全為0, )(, )(, )(000ttttt因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進(jìn)向量函數(shù) ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導(dǎo)向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點(diǎn)的切向量.o)(trtzyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzryrx,sin,cos2對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.,2時當(dāng)切線方程 rx法平面方

4、程xr022kzkxr即002rykrzrxk即解解: 由于,sinrx0ry kkz2,cosry , kz ),0(20krm對應(yīng)的切向量為0)(2kzk在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),0,(krt, 故2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxgzyxf當(dāng)0),(),(zygfj)()(xzxyxydd曲線上一點(diǎn)),(000zyxmxyz, 且有xzdd,),(),(1xzgfj ,),(),(1yxgfj 時, 可表示為處的切向量為 mmyxgfjxzgfj),(),(1,),(),(1,1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, 1

5、00 xxt 000zzyyxxmzygf),(),(則在點(diǎn)),(000zyxm切線方程切線方程法平面方程法平面方程有mzygf),(),(mxzgf),(),(myxgf),(),()(0 xx myxgf),(),(mxzgf),(),()(0yy 0)(0 zz或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 mmmyxgfxzgfzygft),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000mgmgmgmfmfmfzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yymxzgfxxmzygf法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzmyxgf機(jī)動 目錄 上頁

6、 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求曲線0,6222zyxzyx在點(diǎn)m ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. mzygf),(),(切線方程121zyx解法解法1 令,222zyxgzyxf則即0202yzx切向量;0),(),(mxzgfmzy1122mzy)(2;606xyz6機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6),(),(myxgf)6,0, 6(t法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點(diǎn) m(1,2

7、, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (mmxzxytdd,dd,1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點(diǎn) m (1,2, 1) 處的切向量011機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1,0, 1(t0),(:zyxf二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點(diǎn)),(000zyxm0tt 設(shè)對應(yīng)點(diǎn) m,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點(diǎn) m 的切向量切向量為任意引一

8、條光滑曲線mt下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上過點(diǎn) m 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000ttttmt證:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttf,0處求導(dǎo)兩邊在tt ,0mtt對應(yīng)點(diǎn)注意 )(0t0),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttt),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx令nt 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都

9、在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxfx曲面 在點(diǎn) m 的法向量法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxfy0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfzmtn),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxf),(),(則在點(diǎn)),(zyx故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfy

10、yyxfxxyx法線方程法線方程,yyff 1zf令有在點(diǎn)),(000zyx特別特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxff 切平面方程切平面方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求球面3632222

11、zyx在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxf所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點(diǎn)),(000zyxm解解: 二曲面在 m 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) m 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點(diǎn) m 在球面上,32202020azyx故于是有

12、000zyx2a相切.333a與球面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, )(000tttt切線方程法平面方程mmmyxgfzzxzgfyyzygfxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0

13、),(0),(:zyxgzyxfmzygf),(),(切向量2) 一般式情況.,),(),(mzygf,),(),(mxzgfmyxgf),(),()(0 xx mxzgf),(),()(0yy myxgf),(),(0)(0 zz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 t空間光滑曲面0),(:zyxf曲面 在點(diǎn)法線方程法線方程),(0000zyxfxxx),(0000zyxfyyy),(0000zyxfzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxfxxzyxfyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxm0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面

14、與法線曲面的切平面與法線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,(yxffn思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示: 設(shè)切點(diǎn)為, ),(

15、000zyxm則223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 162 z(二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)證明 曲面)(xyfxz 上任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn).提示提示: 在曲面上任意取一點(diǎn), ),(000zyxm則通過此0zz 作業(yè)作業(yè) p45 2，3，4，5，8，9，10)(0 xxxzm)(0yyyzm2. 設(shè) f ( u ) 可微,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為 1. 證明曲面0),(ynzymxf與定直線平行,.),(可微其中vuf證證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,1f, )()(21nfmf )2f取定直線的方向向量為,m,1)n則(定向量)故結(jié)論成