高等數(shù)學(xué)八章無(wú)窮級(jí)數(shù)及其應(yīng)用ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)及其運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)及其運(yùn)用 第八章第八章第八章第八章知識(shí)目的：知識(shí)目的：了解無(wú)窮級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)了解無(wú)窮級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)了解級(jí)數(shù)審斂法了解級(jí)數(shù)審斂法掌握判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的審斂法掌握判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的審斂法掌握冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其運(yùn)用掌握冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其運(yùn)用才干目的：才干目的：會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂域會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂域能將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)能將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)會(huì)運(yùn)用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式會(huì)運(yùn)用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式能運(yùn)用能運(yùn)用MATLABMATLAB軟件進(jìn)展級(jí)數(shù)運(yùn)算軟件進(jìn)展級(jí)數(shù)運(yùn)算第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 第一節(jié)第一

2、節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性定義定義8.1 假設(shè)給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列假設(shè)給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 ，那么由，那么由該數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式該數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式叫做叫做(數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記作級(jí)數(shù)，記作其中第其中第 項(xiàng)項(xiàng) 叫做級(jí)數(shù)叫做級(jí)數(shù) 的普通項(xiàng)。的普通項(xiàng)。nu123nuuuu+1231+nnnuuuuu+nnu1nnu第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 無(wú)窮級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)累加的結(jié)果。前面關(guān)于計(jì)算圓面積的方法通知我們，可以先求有限項(xiàng)的和，然后運(yùn)用極限的方法來(lái)處理這個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)的累加問(wèn)題。 既然用到了極限，就必然要討論斂散性的問(wèn)

3、題：什么是一個(gè)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散)？如何斷定一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的或發(fā)散的？一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)具有什么性質(zhì)？ 請(qǐng)思索：有限數(shù)列的和能稱為級(jí)數(shù)嗎？ 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 定義定義8.2 對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù) ，其前，其前 項(xiàng)之和項(xiàng)之和 稱為該級(jí)數(shù)的部分和。假設(shè)稱為該級(jí)數(shù)的部分和。假設(shè)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，部分和數(shù)列時(shí)，部分和數(shù)列 有極限有極限 ，即，即那么稱級(jí)數(shù)那么稱級(jí)數(shù) 是收斂的，并稱是收斂的，并稱 為該級(jí)數(shù)的為該級(jí)數(shù)的和，即和，即 ； ；假設(shè)當(dāng)；假設(shè)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 沒(méi)有極限，那么稱此級(jí)數(shù)是發(fā)散的。沒(méi)有極限，那么稱此級(jí)數(shù)是發(fā)散的。 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)的和當(dāng)級(jí)

4、數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)的和 與它的部分與它的部分和和 之差叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，以之差叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，以 做為做為 的近似的近似值所產(chǎn)生的誤差就是這個(gè)余項(xiàng)的絕對(duì)值值所產(chǎn)生的誤差就是這個(gè)余項(xiàng)的絕對(duì)值 ，即即1nnun123nnSuuuu+n nSlim,nnSSS1nnuS123nSuuuu+n nSSnSnSS12nnnnrSSuu+nr第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)兩個(gè)級(jí)數(shù)和的幾何直觀圖例 1111112482nn1111114166443nn第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 例例 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 叫做等比級(jí)叫做等比級(jí)數(shù)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù))，其中，其中 ， 叫做級(jí)數(shù)的公叫做級(jí)

5、數(shù)的公比。試討論該級(jí)數(shù)的斂散性。比。試討論該級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于部分和解：由于部分和 ，(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， 所以級(jí)數(shù)收斂，其和等于所以級(jí)數(shù)收斂，其和等于 。 (2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，等比級(jí)數(shù)部分和時(shí)，等比級(jí)數(shù)部分和 沒(méi)有極限，所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的。沒(méi)有極限，所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的。20nnnaqaaqaqaq0a qnS 12-1naaqaqaq(1)1-naqq1q (1)limlim1-nnnnaqSq1aq1aq1q nS請(qǐng)思索：級(jí)數(shù)0.9+0.09+0.009+0.0009+的和是多少？第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1、求 ，可以察看 指數(shù)函數(shù)的圖像， 可得：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，

6、不存在。 2、求級(jí)數(shù) 的和的方法：先求級(jí)數(shù) 部分和 ，再求極限 。 limnnqxyq1q lim0nnq1q limnnq1nnu1nnu123nnSuuuu+limnnS第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 例例 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 解：由于解：由于 ， 因此因此 ， 從而從而 ，即級(jí)數(shù)收斂，其和等于，即級(jí)數(shù)收斂，其和等于1。 例例 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 是發(fā)散的。是發(fā)散的。 證明：此級(jí)數(shù)的部分和為證明：此級(jí)數(shù)的部分和為 ，顯，顯然然 ，因此所給的級(jí)數(shù)是發(fā)散的。，因此所給的級(jí)數(shù)是發(fā)散的。11111 22 3(1)nnunnLL111(1)1nunnnn1111 22

7、3(1)nSnn11111(1)()()2231nn111n 1limlim(1)11nnnSn1 23n (1)1232nn nSn limnnS 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 假設(shè)級(jí)數(shù) 收斂，其和為 ，那么對(duì)任一非零常數(shù) ，級(jí)數(shù) 也收斂，其和為 。1nnuSC1nnC uCS證明：設(shè)級(jí)數(shù) 與 的部分和分別為 和 ,那么1nnC u1nnunSn12nnnCu CuCuCS+于是 ，所以級(jí)數(shù) 收斂，其和為 。 limlimlimnnnnnnCSCSCS1nnCuCSnnCS 由 可知，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘以同一個(gè)常數(shù)后，它的斂散性不變。

8、 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 性質(zhì)性質(zhì)2 假設(shè)級(jí)數(shù) 和 都收斂,其和分別為 ， ,那么級(jí)數(shù) 也收斂,且其和為 。 1nnu1nnvS1()nnnuvS 證明證明 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) ， 的部分和分別為的部分和分別為 ， ,那么級(jí)數(shù)那么級(jí)數(shù) 的部分和的部分和 1nnu1nnvnSn1()nnnuv1122()()()nnnuvuvuv1212()()nnuuuvvvnnS于是 ，所以 也收斂,其和為 limlim()nnnnnSS1()nnnuvS性質(zhì)性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改動(dòng)有限項(xiàng)，不會(huì)改動(dòng)級(jí)數(shù)的斂散性。 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 性質(zhì)性質(zhì)4 假設(shè)級(jí)數(shù) 收斂，

9、那么對(duì)此級(jí)數(shù)的項(xiàng)恣意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。 留意：假設(shè)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，并不能斷定原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂。 例如,級(jí)數(shù) 收斂于0,但去括號(hào)后得到的級(jí)數(shù)是 發(fā)散的?，F(xiàn)實(shí)上，部分和 。1nnu(1 1)(1 1)(1 1)1 1 1 11 1 10nnSn， 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 性質(zhì)性質(zhì)5 (級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 假設(shè)級(jí)數(shù) 收斂，那么當(dāng) 時(shí),它的普通項(xiàng) 趨于零，即 。 證明證明 對(duì)于級(jí)數(shù)對(duì)于級(jí)數(shù) ,它的普通項(xiàng)可表示為它的普通項(xiàng)可表示為1nnun nulim0nnu1nnu1nnnuSS假設(shè)級(jí)數(shù) 收斂,顯然 和 有一樣的極限 ，因此

10、1nnunS1nSS11limlim()limlim0nnnnnnnnnuSSSSSS 性質(zhì)5中的 只是級(jí)數(shù) 收斂的必要條件而非充分條件，其逆否命題是“假設(shè) ，那么級(jí)數(shù) 必發(fā)散.可以用來(lái)證明級(jí)數(shù)發(fā)散。lim0nnu1nnulim0nnu1nnu第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 被稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，雖然普通項(xiàng) ,但它是發(fā)散的。 現(xiàn)用反證法證明如下： 假設(shè) 收斂,部分和為 ,且 ,顯然,該級(jí)數(shù)的部分和 也有 ,于是 ，但故 ，這與假設(shè) 收斂矛盾,因此 發(fā)散。 11111234n10()nunn 11nnnS()nSS n 2nS2()nSS n 20()nnSSSSn 21111111122

11、2222nnSSnnnnnn20()nnSSn 11nn11nn請(qǐng)思索：假設(shè) ，級(jí)數(shù) 一定收斂嗎？ lim0nnu1nnu第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 【小背景】第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1nnu0nu 許多級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸結(jié)為各項(xiàng)均為正數(shù)的級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。這種各項(xiàng)均為正數(shù)的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的各項(xiàng) 。 . 定理定理8.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列 有界。nS第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 證明： 設(shè)級(jí)數(shù) 收斂于和 ,那么級(jí)數(shù) 的部分和 1nnv1nnu1212(1

12、,2,3,)nnnSuuuvvvn 即部分和數(shù)列 有界,由定理8.1知級(jí)數(shù) 收斂。 nS1nnu 反之,設(shè)級(jí)數(shù) 發(fā)散,那么級(jí)數(shù) 發(fā)散,由于假設(shè) 收斂,由本定理 ,知也 收斂,與假設(shè)矛盾。1nnu1nnv1nnv1nnu定理定理 (比較審斂法比較審斂法) 設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 （1）若級(jí)數(shù) 收斂,則級(jí)數(shù) 也收斂; （2）若級(jí)數(shù) 發(fā)散,則級(jí)數(shù) 也發(fā)散。(1,2,)nnuv n1nnu1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 例例 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 是發(fā)散的是發(fā)散的11(1)nn n 證明證明 由比較審斂法可知由比較審斂法可知,要證要證 發(fā)散發(fā)散,只

13、需尋覓一個(gè)與之相比普通只需尋覓一個(gè)與之相比普通項(xiàng)較小的發(fā)散級(jí)數(shù)項(xiàng)較小的發(fā)散級(jí)數(shù). 11(1)nn n 由 ,得 ， (1)1n nn111(1)nn n由于級(jí)數(shù) 是發(fā)散的,所以級(jí)數(shù) 也發(fā)散。 111111231nnn11(1)nn n 推論推論(比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式) 設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果 ,則級(jí)數(shù) 和 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。 1nnu1nnv1nnvlim(0)nnnullv 1nnu 比較審斂法，比較的是兩個(gè)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的大??；得出的結(jié)論是一般項(xiàng)大的級(jí)數(shù)如果收斂，則小的也收斂。而要判斷發(fā)散只需要寫(xiě)出上述命題的逆否形式即可，就是“一般項(xiàng)小的級(jí)數(shù)如果發(fā)散，則大的也發(fā)散。”

14、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 用比較審斂法判別一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性：需求找到另一個(gè)比它大的收斂級(jí)數(shù)來(lái)判別其收斂，找另一個(gè)比它小的發(fā)散級(jí)數(shù)來(lái)判別其發(fā)散。 通常被我們用作比較的參考級(jí)數(shù)是一些知斂散性的級(jí)數(shù) (如調(diào)和級(jí)數(shù)，幾何級(jí)數(shù)，P-級(jí)數(shù)等)。 定理定理 (比值審斂法比值審斂法,達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，則(1)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂;(2)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散，(3)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散。1nnu1nnu1nnu1nnu1limnnnuu1() 或11第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 .例例 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。解：

15、由于解：由于 ，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。23555555523nn155155limlimlim5()51(1)51nnnnnnnunnunn例例 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 解：由于解：由于 ，所以級(jí)數(shù)收斂。，所以級(jí)數(shù)收斂。1()21nnnn1limlim1212nnnnnun 定理定理 (根值審斂法根值審斂法,柯西判別法柯西判別法) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，則 (1)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂； (2)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散； (3)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散。limnnnu11() 或1nnu1nnu1nnu1nnu1第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)

16、的斂散性，選擇恰當(dāng)?shù)臄可⑿耘袆e法是關(guān)鍵。普通來(lái)說(shuō)順序如下： 1首先假設(shè)通項(xiàng)不趨向于0，那么級(jí)數(shù)一定發(fā)散。 2思索部分和能否關(guān)于有界，假設(shè)有界那么收斂，假設(shè)無(wú)界那么發(fā)散。 3根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的方式選擇“比值審斂法、“根值審斂法。 4當(dāng)“比值審斂法或者“根值審斂法 極限都是1時(shí)，可尋覓適宜的級(jí)數(shù)用“比較審斂法極限方式或“比較審斂法來(lái)斷定級(jí)數(shù)的斂散性。 5綜合利用收斂級(jí)數(shù)定義、性質(zhì)直接斷定。 第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指各項(xiàng)為正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)，可以寫(xiě)成如下方交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指各項(xiàng)為正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)，可以寫(xiě)成如下方式式 或或 。 1

17、234(0)nuuuuu+-+1234(0)nuuuuu+-+L 交錯(cuò)級(jí)數(shù)普通可表示為 。11( 1)nnnu定理定理(萊布尼茲判別法萊布尼茲判別法) 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足條件 (1) ， (2) ，則交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂。 11( 1)nnnulim0nnu1(1,2,3,)nnuun11( 1)nnnu請(qǐng)思索：萊布尼茲判別法能用來(lái)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的發(fā)散嗎?第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 例例 判別以下交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。判別以下交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。 (1) ， (2) 解：解： (1)由于由于 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且且 , ,所以此級(jí)數(shù)收斂。所以此級(jí)數(shù)收斂。 (2)由于由于 ,所以交錯(cuò)級(jí)

18、數(shù)所以交錯(cuò)級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。111( 1)nnn11( 1)nnn111( 1)nnn11(1,2,)1nnn1lim0nn1limlim( 1)0nnnnun11( 1)nnn第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 假設(shè)級(jí)數(shù)假設(shè)級(jí)數(shù) 為恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)為恣意項(xiàng)級(jí)數(shù) ,把級(jí)數(shù)把級(jí)數(shù) 的每一項(xiàng)取絕對(duì)值就構(gòu)成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)取絕對(duì)值就構(gòu)成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 。 例如例如,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ,由于由于 收斂收斂,所以所以 為為絕對(duì)收斂；而絕對(duì)收斂；而 收斂收斂,但但 發(fā)散發(fā)散,所所以以 為條件收斂。為條件收斂。 1nnu()nuR1nnu1nnu1211( 1)

19、nnn1221111( 1)nnnnn1211( 1)nnn111( 1)nnn11111( 1)nnnnn111( 1)nnn 定義定義8.3 若級(jí)數(shù) 收斂,則稱級(jí)數(shù) 為絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂；若 發(fā)散,而 收斂,則稱級(jí)數(shù) 為條件收斂條件收斂。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 例例 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) 的斂散性假設(shè)收斂的斂散性假設(shè)收斂,判別其絕對(duì)收判別其絕對(duì)收斂還是條件收斂斂還是條件收斂?解：解： 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且有且有 及及 ,由萊布尼由萊布尼茲茲判別法知判別法知 收斂。收斂。由于由于 為為 的的 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),所以所以 發(fā)散，發(fā)散，綜上所

20、述綜上所述, 為條件收斂為條件收斂,而不是而不是絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。11( 1)nnn11( 1)nnn111nn1lim0nn11( 1)nnn1112( 1)1nnnnn112P 1( 1)nnnP 11( 1)nnn請(qǐng)思索：級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂與條件收斂有什么區(qū)別? 1nnu第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 證明 設(shè)級(jí)數(shù) 收斂,令 ，顯然 且 ,由比較審斂法知 收斂,從而 也收斂,而 ,由比較審斂法可知 收斂。 留意：假設(shè) 收斂, 不一定收斂。例如： 收斂，而級(jí)數(shù) 發(fā)散。 1nnu1()(1,2,)2nnnvuun0nv (1,2,)nnvun1nnv12nnv2nnnuvu1n

21、nu1nnu1nnu111( 1)nnn11111( 1)nnnnn定理定理 如果級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù) 必定收斂。1nnu1nnu請(qǐng)思索：假設(shè) 收斂,它在什么情況下是絕對(duì)收斂?條件收斂?1nnu第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 我們可以經(jīng)過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂來(lái)判別恣意項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂。對(duì)于一個(gè)恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)，假設(shè)我們用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法斷定 收斂,那么 收斂，這就使得一大類(lèi)恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別問(wèn)題。但是,當(dāng) 發(fā)散時(shí)那么不能斷定 發(fā)散。 1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu 例例 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 收斂。收斂。證明：由于證明：由于 ,而而 為為 的

22、的 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),它是收斂的它是收斂的,所以所以 收斂收斂,因此因此 收斂。收斂。41sinnnn44sin1nnn411nn41P P 41sinnnn41sinnnn第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家不加區(qū)分地運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)，然而在無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性未加證明的情況下，會(huì)得到一些可疑或者完全荒唐的結(jié)果，這就促使數(shù)學(xué)家去研討無(wú)窮級(jí)數(shù)運(yùn)算的合法性。在1810年前后，Bolzano和Cauchy等數(shù)學(xué)家建立了級(jí)數(shù)收斂的正確概念，強(qiáng)調(diào)人們必需思索收斂性，并且特別批判了二項(xiàng)式定理的不嚴(yán)密的證明?！拘”尘啊康谌?jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念 1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函

23、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 定義定義8.4 我們稱為定義在區(qū)間 上的函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具體可表示為下面形式： (8.1)其中， 為定義在區(qū)間 上以 為自變量的函數(shù)。對(duì)于每一個(gè)確定的值 ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (8.2)如果式(8.2)收斂,稱點(diǎn) 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)式(8.1)的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)；如果式(8.2)發(fā)散,稱點(diǎn) 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)式(8.1)的發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)；所有I123( )( )( )( )nu xuxuxux( )1,2,nuxn L1020300()()()()nu xuxu xux0 xIIx0 x0 x第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂點(diǎn)的全體組成的集合稱

24、為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域收斂域,所有發(fā)散點(diǎn)的全體組成的集合稱為它的發(fā)散域發(fā)散域。對(duì)應(yīng)于收斂域內(nèi)的任一個(gè)元素 ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)式(8.1)都有一個(gè)確定的和 ,因此 是定義在收斂域上的函數(shù),稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)。( )S x1( )nnux( )S xx 例如：幾何級(jí)數(shù) 是定義在 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 當(dāng) 時(shí)發(fā)散, 當(dāng) 時(shí)收斂級(jí)數(shù)在收斂域 內(nèi)的和函數(shù)為 231nnnxx xxx1+ +(,) 1x 1x 1( )1S xx( 1,1)請(qǐng)思索：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 在 的函數(shù)值 是哪個(gè)級(jí)數(shù)的和?0()S x0 x( )S x1( )nnux第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 2. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)定義定義8.5 形

25、如 (8.3)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù),其中 及 都是常數(shù), 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。2010200()()()nnaa xxaxxaxx0 x012,na a aa012,a a a 當(dāng) 時(shí),冪級(jí)數(shù)式(8.3)成為 (8.4)對(duì)于冪級(jí)數(shù)式(8.3),經(jīng)過(guò)變換 ,就可以轉(zhuǎn)化為(8.4)的方式,因此,不失普通性,我們只討論形如式(8.4)的冪級(jí)數(shù) 在級(jí)數(shù)式(8.4)中,調(diào)查它的絕對(duì)值級(jí)數(shù) , 假設(shè) 其中 存在,按正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法可知,當(dāng) 時(shí),級(jí)數(shù)式(8.4)是絕對(duì)收斂的,即當(dāng) 時(shí),令 ,那么 ，級(jí)數(shù)式(8.4)在 收斂00 x 2012nnaa xa xa x0txx2012nnaa x

26、a xa x111limlimnnnnnnnnaxaxxaa x1limnnnaa1x01R1limnnnaRa(,)xR R 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 定理定理8.7 設(shè)有冪級(jí)數(shù) ,它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)滿足 ，(1)如果 ,則當(dāng) 時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂,當(dāng) 時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散(2)如果 ,則冪級(jí)數(shù)在 上處處收斂(3)如果 ,則冪級(jí)數(shù)僅在 處收斂 0nnna x1limnnnaRa0R xRxRR (,) 0R 0 x 定理通知我們：當(dāng) 時(shí)冪級(jí)數(shù)的收斂域只含有 一個(gè)點(diǎn)；當(dāng) 時(shí),這個(gè)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間 內(nèi)收斂,區(qū)間稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間, 把 稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。0R 0 x 0R (,)R R1limnnnaRa第

27、三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 對(duì)于收斂區(qū)間 端點(diǎn) ，需將 和 代入冪級(jí)數(shù)，按數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法來(lái)斷定斂散性，確定收斂域。 (,)R RxR xRxR 例例 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂域。的收斂半徑與收斂域。解解 收斂半徑收斂半徑 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)即為交錯(cuò)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)即為交錯(cuò)級(jí)數(shù) ,級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù)成為 ,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散因此因此,收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?。231( 1)23nnxxxxn 111( 1)1limlimlim11( 1)1nnnnnnnannRann1x 11111( 1)23nn 1x 1111111(1)2323nn ( 1,1請(qǐng)思索：冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)

28、間就是其收斂域嗎?怎樣求冪級(jí)數(shù)的收斂域? 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 例例 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。 解：由于級(jí)數(shù)短少奇次冪的項(xiàng)，定理不能直接運(yùn)用。解：由于級(jí)數(shù)短少奇次冪的項(xiàng)，定理不能直接運(yùn)用。 假設(shè)設(shè)假設(shè)設(shè) ,那么那么 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 ,由于由于 ,所以所以 的收斂半徑為的收斂半徑為3,即使得即使得 成立的成立的 ,級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂,從而從而 的收斂半徑的收斂半徑 ,收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為 時(shí)時(shí),此級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)為 ，發(fā)散，發(fā)散,于是此冪于是此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?另解另解 利用比值判別法利用比值判別法 ，24622323413333nnnxxxx2xt2113nnnnx1

29、13nnnnt1113limlim323nnnnnnnana113nnnnt23xtx2113nnnnx3R (3, 3)3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3, 3)2222112( )232limlimlim( )3(1)3(1)3nnnnnnnnnxuxnnxxuxnxn第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 求冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的方法： (1) 由 得到收斂半徑，寫(xiě)出收斂區(qū)間 ； (2) 代換法：經(jīng)過(guò)代換把級(jí)數(shù)化為能用定理方式的冪級(jí)數(shù)，再求收斂區(qū)間； (3) 比值審斂法: 由 ,解不等式 求出收斂區(qū)間。 1limnnnaRa(,)R R111limlim1nnnnnnnnaxaxxa

30、a x1x假設(shè)級(jí)數(shù)收斂,那么必有 ,即 時(shí),級(jí)數(shù)收斂；而 時(shí),此級(jí)數(shù)為 ，發(fā)散。故此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 。 213x3x 3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3, 3)第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè) 分別在分別在 及及 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂20120( )nnnnnf xa xaa xa xa x20120( )nnnnng xb xbb xb xb x11(,)R R22(,)R R 性質(zhì)性質(zhì)1 兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在 與 中較小的區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)相加、相減或乘積 22012012( )( )()()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2

31、001122()()()()nnnabab xab xab x11(,)R R22(,)R R22012012( )( )() ()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2000 11 0021 120()()a ba ba b xa ba ba b x第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)2 一個(gè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求一個(gè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積分。即假設(shè)積分。即假設(shè)那么那么 逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積分后所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積分后所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有一樣的收斂半徑。有一樣的收斂半徑。20120( )nnnnnS xa xaa x

32、a xa xLL21123( )23nnS xaa xa xna xLL2310120111( )231xnnS x dxa xa xa xa xnLL例例 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分的方法求以下冪級(jí)數(shù)的利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分的方法求以下冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。和函數(shù)。(1) ， (2) 0( 1) (1)nnnnx2111( 1)21nnnxn第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 解解 (1)可以求得該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為可以求得該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ,設(shè)在設(shè)在 內(nèi)內(nèi)它的和函數(shù)為它的和函數(shù)為 , 即即 由于由于 ( )，所以所以 ,即即 (2)可以斷定該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為可以斷定該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ,在收斂區(qū)間內(nèi)設(shè)在

33、收斂區(qū)間內(nèi)設(shè)它的和函數(shù)為它的和函數(shù)為 ,即即 而而 ，所以所以 ，即即 ( 1,1)( 1,1)( )f x23( )1 234( 1) (1)nnf xxxxnx 410( )( 1)1x23nnxf x dxxxxxxx 11x 201( )( )()1(1)xxf xf x dxxx23201( 1) (1)1234( 1) (1)(1)nnnnnnxxxxnxx LL( 1,1)( )g x35211( )( 1)3521nnxxxg xxn 24122( )1( 1)nng xxxx 211x0( )( )(0)xg t dtg xg2001( )(0)( )0arctan1xxg

34、xgg t dtdxxx213521111( 1)( 1)arctan213521nnnnnxxxxxxnn LL第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 在對(duì)冪級(jí)數(shù)進(jìn)展求和函數(shù)運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常要參照已學(xué)過(guò)的常見(jiàn)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，比如幾何級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)的和函數(shù)為 。0nnx1x 11x第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 【案例【案例8.2 自然對(duì)數(shù)表的生成原理】然對(duì)數(shù)表查自然對(duì)數(shù)的值：自然對(duì)數(shù)表的生成原理】然對(duì)數(shù)表查自然對(duì)數(shù)的值：如如 可經(jīng)過(guò)查表得其值為可經(jīng)過(guò)查表得其值為 ,那么這個(gè)值是怎樣產(chǎn)生的呢？那么這個(gè)值是怎樣產(chǎn)生的呢？ln20.6931第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 1.麥克勞林

35、級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) 普通地，假設(shè)普通地，假設(shè) 能表示為一個(gè)冪級(jí)數(shù)能表示為一個(gè)冪級(jí)數(shù),即即 8.5 為求得冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為求得冪級(jí)數(shù)的系數(shù) ,設(shè)設(shè) 在包含在包含 的的一個(gè)區(qū)間內(nèi)恣意階導(dǎo)數(shù)均存在對(duì)一個(gè)區(qū)間內(nèi)恣意階導(dǎo)數(shù)均存在對(duì)(8.5)式兩邊逐次求導(dǎo)式兩邊逐次求導(dǎo),得得 把把 代入以上各式，得代入以上各式，得 ， ， ， ， ， 代入式代入式(8.5),得到冪級(jí)數(shù)。得到冪級(jí)數(shù)。( )f x2012( )nnf xaa xa xa x012,na a aa( )f x0 x 21123( )23nnfxaa xa xna x223( )23 2(1)nnfxaa xn na x ( )( )!nnfxn

36、a0 x 0(0)af1(0)af 2(0)2!fa( )(0)!nnfan第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 定義定義8.6 (8.6)我們稱 為的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)。 稱為余項(xiàng)余項(xiàng)。 ( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLL( )f x( )2(0)(0)( )( ) (0)(0)2!nnnffR xf xffxxxn 可以證明，余項(xiàng) ，其中 是介于0與 之間的一個(gè)數(shù),余項(xiàng) 的上述表達(dá)式稱為拉格朗日型余項(xiàng)。 假設(shè) ,那么冪級(jí)數(shù)(8.6)收斂于 。(1)1( )( )(1)!nnnfR xxnx( )nR xlim( )0nnR x( )f x定義定義8.7 (8.7)我們

37、稱為函數(shù) 的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式,或稱為 的冪級(jí)數(shù)展冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式開(kāi)式。( )2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxnLL( )f x( )f x第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 2. 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 用類(lèi)似的方法不難得到泰勒級(jí)數(shù)展式用類(lèi)似的方法不難得到泰勒級(jí)數(shù)展式.假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有恣意階延續(xù)導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)有恣意階延續(xù)導(dǎo)數(shù),那么那么( )f x0 x定義定義8.8 (8.8) 稱為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) ( )20000000()()( )()()()()()2!nnfxfxf xf xfxxxxxxxn上式的充要條件是在含 的一個(gè)區(qū)間上

38、 ,其中 ( 是介于 與 之間)0 xxlim( )0nnRx(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxnx0 x請(qǐng)思索：麥克勞林級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)有什么區(qū)別? 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 2.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，常用的方法有直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，常用的方法有直接法(公式法公式法)和間和間接法。接法。 直接法直接法 函數(shù)函數(shù) 展開(kāi)成展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)可按照以下步驟進(jìn)展：的冪級(jí)數(shù)可按照以下步驟進(jìn)展： 第一步第一步 求出求出 的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù) 假設(shè)在假設(shè)在 處某階導(dǎo)數(shù)不存在處某階導(dǎo)數(shù)不存在,就停頓進(jìn)展就停頓進(jìn)展,此時(shí)此時(shí) 不能不能展開(kāi)為展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù)

39、如的冪級(jí)數(shù)如 ,它在它在 處的三階導(dǎo)數(shù)不存在處的三階導(dǎo)數(shù)不存在,就不能展開(kāi)成就不能展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 第二步第二步 求函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)在 處的值處的值 第三步第三步 寫(xiě)出冪級(jí)數(shù)寫(xiě)出冪級(jí)數(shù) 并求出收并求出收斂半徑斂半徑 ( )f xx( )f x( )( ),( ),( ),nfxfxfx0 x ( )f xx52( )f xx0 x 0 x x( )(0),(0),(0),(0),nffffLL( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLLR第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 第四步 調(diào)查在 內(nèi)的余項(xiàng) 的極限 ( 是介于 與 之間)能否為零假設(shè)為零,那么第三步中寫(xiě)出

40、的冪級(jí)數(shù)就是 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,即 (,)R R( )nR x(1)1( )lim( )lim(1)!nnnnnfR xxn0 x( )f x( )2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxn()RxR 例例 將函數(shù)將函數(shù) 展開(kāi)為展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)解解 由于由于 ,所以所以于是得級(jí)數(shù)于是得級(jí)數(shù) 它的收斂半它的收斂半徑徑 對(duì)任何有限的數(shù)對(duì)任何有限的數(shù) , ( 是介于是介于0與與 之間之間),余項(xiàng)的絕對(duì)值為余項(xiàng)的絕對(duì)值為( )xf xex( )( )(1,2,3,)nxfxen( )(0)(0)(0)(0)1nffff212!nxxxnR xx第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 因

41、有限,而 是收斂級(jí)數(shù) 的普通項(xiàng),由收斂級(jí)數(shù)的必要條件有 ,所以 ,故 (8.9) 假設(shè)在 附近,用級(jí)數(shù)(8.9)的部分和(即多項(xiàng)式)來(lái)近似替代 ,那么隨著項(xiàng)數(shù)的添加,它們就越來(lái)越接近于 11( )(1)!(1)!nxnnxeRxxennxe1(1)!nxn11(1)!nnxn1lim0(1)!nnxnlim( )0nnR x212!nxxxexn ()x 0 x xexe把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，要留意討論其收斂域。 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 間接法間接法代換法代換法例例 將函數(shù)將函數(shù) 展開(kāi)成展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)解解 由于由于 把把 換為換為 , 同時(shí)同時(shí),由由 ,得收斂域?yàn)榈檬諗坑驗(yàn)?.2

42、1( )1f xxx23111nxxxxx x2x242211( 1)1nnxxxx LL211x 11x 請(qǐng)思索：用代換法時(shí)怎樣由知級(jí)數(shù)的收斂域求所展開(kāi)級(jí)數(shù)的收斂域?第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 逐項(xiàng)求導(dǎo)例 將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù) 解 此題可以像展開(kāi) 一樣直接展開(kāi) 但由于 對(duì)上式逐項(xiàng)求導(dǎo)就得 逐項(xiàng)求積分例 將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)解 由于 ,而 對(duì)上式從0到 逐項(xiàng)積分,得 上述展式對(duì) 也成立( )cosf xxxsinxcosx35211sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn ()x 242cos1( 1)2!4!(2 )!nnxxxxn ()x ( )ln(1)f xxx1( )

43、1fxx2311( 1)1nnxxxxx ( 11)x x2341ln(1)( 1)2341nnxxxxxxn ( 11)x 1x 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 拆分例 將函數(shù) 展為 的冪級(jí)數(shù)解 因此 1( )ln1xf xxx2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn 234ln(1)234nxxxxxxn ( 11)x ( 11)x 35211222lnln(1)ln(1)213521nxxxxxxxxn( 11)x 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，要留意討論其收斂域。前面幾例都是把函數(shù) 展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)，即在 處展開(kāi)，假設(shè)要把函數(shù) 展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),即在 處展開(kāi),需求經(jīng)過(guò)代換 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為展開(kāi)

44、關(guān)于 的麥克勞林級(jí)數(shù)。( )f x( )f x0 x 0 xx0 xxtt第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 例例 將函數(shù)將函數(shù) 展為展為 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。解解 令令 ,那么那么 ,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把 在在 處展開(kāi)處展開(kāi),而而知知 ,于是于是 因此因此 將將 換回?fù)Q回 ,即得所求展式為即得所求展式為 ( )ln(1)f xx2x2xt2xtlnln(2)xt0t ln(2)ln2(1)ln2ln(1)22ttt2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn 23411111ln(1)( )( )( )( 1)( )222232422nnttttttn 23123ln(2)ln2(

45、 1)22 23 22nnntttttn tx212111lnln2(2)(2)( 1)(2)22 22nnnxxxxn (04)x ( 22)t 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 4、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的運(yùn)用、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的運(yùn)用 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,可進(jìn)展近似計(jì)算可進(jìn)展近似計(jì)算 例例 試用試用 的冪級(jí)數(shù)的前八項(xiàng)求的冪級(jí)數(shù)的前八項(xiàng)求 的近似值的近似值,并估計(jì)誤差并估計(jì)誤差 解解 在展開(kāi)式在展開(kāi)式 中中,令令 ,得得 現(xiàn)取前八項(xiàng)的和作為現(xiàn)取前八項(xiàng)的和作為 的近似值，其誤差為的近似值，其誤差為即即 的近似值可準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)第四位的近似值可準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)第四位,得得 利用冪級(jí)數(shù)不僅

46、可計(jì)算一些函數(shù)值的近似值利用冪級(jí)數(shù)不僅可計(jì)算一些函數(shù)值的近似值,而且還可以而且還可以計(jì)算一些定積分的近似值。計(jì)算一些定積分的近似值。 xee212!nxxxexn LL()x 1x 1111 12!3!en LL82111111()(1)8!9!10!8!88R 41110.000031018!7! 7181111 12.71832!3!7!e ee【小背景】 在18世紀(jì)，甚至直到今天，無(wú)窮級(jí)數(shù)不斷被以為是微積分的一個(gè)不可短少的部分。對(duì)于復(fù)雜一些的代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，只需把它們展成無(wú)窮級(jí)數(shù)并進(jìn)展逐項(xiàng)微分或積分，才干處置他們。牛頓、歐拉以及他們同時(shí)代的人，都大量依托級(jí)數(shù)的運(yùn)用來(lái)處置此類(lèi)問(wèn)題。級(jí)數(shù)

47、依然是某些函數(shù)的獨(dú)一表達(dá)式，且是計(jì)算初等超越函數(shù)的最有效的工具。第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 例例 計(jì)算定積分計(jì)算定積分 解：由于解：由于 不能用初等函數(shù)表示，故不能用牛不能用初等函數(shù)表示，故不能用牛-萊萊公式。公式。將將 的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中 的換成的換成 ,得得 故故 積分結(jié)果是個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)積分結(jié)果是個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),取其前七項(xiàng)之和作為取其前七項(xiàng)之和作為 的近似的近似值值,即即210 xedx2xedxxex2x224621( 1)1!2!3!nxnxxxxen LL()x 2246211001( 1)1!2!3!nxnxxxxedxdxn LL1357210( 1)3

48、1!5 2!7 3!(21)!nnxxxxxnn LL11111( 1)31042!(21)nnn LL210 xedx第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 其誤差的絕對(duì)值為 21011111110.446853104221613209360 xedx 751127!157560010R 用冪級(jí)數(shù)進(jìn)展近似計(jì)算時(shí)，精度問(wèn)題由其他項(xiàng)決議。 第四節(jié)第四節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、傅里葉級(jí)數(shù)的概念 周期函數(shù)反映了客觀世界中的周期運(yùn)動(dòng)。正弦函數(shù)是一種常見(jiàn)而簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，例如描畫(huà)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的函數(shù) ，就是一個(gè)以 為周期的正弦函數(shù)，其中 表示動(dòng)點(diǎn)的位置， 為時(shí)間， 為振幅， 為角頻率， 為初相。 在實(shí)踐問(wèn)題中，除了正

49、弦函數(shù)外，還會(huì)遇到非正弦的周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，所以用簡(jiǎn)單的周期函數(shù)逼近它們就極具有意義。()yAsint2ytA第四節(jié)第四節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 1. 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 函數(shù)系函數(shù)系 統(tǒng)稱為三角統(tǒng)稱為三角函數(shù)系函數(shù)系.容易看出三角函數(shù)系具有共同的周期容易看出三角函數(shù)系具有共同的周期 ，且具有，且具有下面兩個(gè)性質(zhì)：下面兩個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1：在三角函數(shù)系中，任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積：在三角函數(shù)系中，任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在在 上的積分都等于零，即上的積分都等于零，即 ， ， ， ， . 通常兩個(gè)函數(shù)通常兩個(gè)函數(shù) 與與 在在 上可積，且上可

50、積，且 =0，那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 與與 在在 正交正交.由此可以說(shuō)三角函數(shù)系由此可以說(shuō)三角函數(shù)系 上具有正交性，或者說(shuō)是正交函數(shù)系。上具有正交性，或者說(shuō)是正交函數(shù)系。 1, cos ,sin , cos2 ,sin2 , cos,sin,xxxxnxnx2,110sinnxdxcosnxdxcos0mx cosnxdxsin0mx sinnxdxcos0mx sinnxdxmn x x, a b baxx dx x x, a b,第四節(jié)第四節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)2：在三角函數(shù)系中，任何一個(gè)函數(shù)的平方在：在三角函數(shù)系中，任何一個(gè)函數(shù)的平方在 上的積分都不等于零，即上的積分都不等于零

51、，即 . 8.11 并且假定上式右端可以進(jìn)展逐項(xiàng)積分，那么有并且假定上式右端可以進(jìn)展逐項(xiàng)積分，那么有 由三角函數(shù)系性質(zhì)由三角函數(shù)系性質(zhì)1知，等式右端除第一項(xiàng)外，其他各知，等式右端除第一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)均為零，所以項(xiàng)均為零，所以 ， 得得在在8.11式的兩邊乘以式的兩邊乘以 為正整數(shù)后在上為正整數(shù)后在上 逐逐項(xiàng)積分，那么得項(xiàng)積分，那么得由三角函數(shù)性質(zhì)由三角函數(shù)性質(zhì)1知，上式右端除知，上式右端除 這一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)這一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)的積分均為零的積分均為零.于是于是,222,12sin nxdxcos nxdxdx 01cossin2nnnafxanxbnx01( )cossin2nnnaf x d

52、xdxanxdxbnxdx00( )22af x dxa01( )af x dxcoskxn, 01cos( )coscoscossincos2nnnakxf x dxkxdxakxnxdxbnxkxdxkn第四節(jié)第四節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 即 . 類(lèi)似地，用 乘以8.11式后在 上逐項(xiàng)積分，那么得 這樣可得常數(shù) 的計(jì)算公式： 2,nnacos nxdxa1( )1,2,naf x cosnxdxncoskx, 1( )1,2,nbf x sinnxdxn0,1,2,nna a bn （8.12）01( )af x dx1( )1,2,naf x cosnxdxn1( )1,2,nbfx sinnxdxn假設(shè)上面各式積分都存在，由此所確定的常數(shù) 稱為函數(shù) 的傅里葉系數(shù)，把傅里葉系數(shù)代入(8.11)式的右端，所得三角級(jí)數(shù) 稱為函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。 0,1,2,nna a bn ( )f x 01cossin2nnnafxanxbnx第四節(jié)第四節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 2.以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 以實(shí)數(shù)以實(shí)數(shù) 為周期的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，可經(jīng)過(guò)變?yōu)橹芷诘暮瘮?shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，可經(jīng)過(guò)變量代換可得如下以量代換可得如下以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)