向量代數(shù)與空間解析幾何教案

1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)向量及其線性運算教學(xué)目的：將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)空間解析幾何的意義和目的。使學(xué)生對（自由）向量有初步了解，為后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),教學(xué)重點：1.空間直角坐標系的概念2 .空間兩點間的距離公式3 .向量的概念4 .向量的運算教學(xué)難點：1.空間思想的建立2.向量平行與垂直的關(guān)系教學(xué)內(nèi)容：一、向量的概念1 1 . .向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學(xué)上用有向線段來表示向量，其長度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學(xué)上只研究與起點無關(guān)的自由向量（以后簡稱向量）。2 2. .量的表示方法有：a、i、F、OM.等等。3 3.向量相等ab：

2、如果兩個向量大小相等，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全重合的向量）。4 4.量的模：向量的大小，記為a、pM，模為 1 1 的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 5.量平行a/b：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平行。6 6. .負向量：大小相等但方向相反的向量，記為 a a二、向量的線性運算1 1.加減法abc：加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結(jié)合率見圖 7 7a一 4 42.abc即a(b)c3 .向量與數(shù)的乘法a：設(shè)是一個數(shù)，向量a與的乘積a規(guī)定為(1)0時，a與a同向，|a|a|(2)0

3、時，a0(3)0時，a與a反向，|a|a|其滿足的運算規(guī)律有：結(jié)合率、分配率。設(shè)a0表示與非零向量a同方向的單位向量，那么0aaa定理 1 1：設(shè)向量 awaw。，那么，向量 b b 平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)入，使 b=b=a例1:1:在平行四邊形ABCDABCDK K設(shè)ABa,ADb,試用a和b b表示向量MA.MB.MC和MD,這里M M是平行四邊形對角線的交點。 (見圖 7 75)5)圖 7 74 4一一一1解：abAC2AM,于是MA-(ab)1.、由于MCMA,于是MC-(ab)1 .又由于abBD2MD,于是MD-(ba)2，一_1由于MBMD,于是MB-(ba)三

4、、空間直角坐標系1. .將數(shù)軸(一維)、平面直角坐標系(二維)進一步推廣建立空間直角坐標系(三維)如圖 7 71,1,其符合右手規(guī)則。即以右手握住 Z Z 軸，當(dāng)右手的四個手指從正向 X X 軸以一角度2轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向。2 .間直角坐標系共有八個卦限，各軸名稱分別為：x軸、y軸、z軸，坐標面分別為xoy面、yoz面、zox面。坐標面以及卦限的劃分如圖 7 72 2 所示。圖 7 71 右手規(guī)則演示圖7 一 2 空間直角坐標系圖圖 7 73 空間兩點M1M2的距離圖 3 3.空間點M(X,y,z)的坐標表示方法。通過坐標把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應(yīng)起來。注意：特殊

5、點的表示a)a)在原點、坐標軸、坐標面上的點；b)b)關(guān)于坐標軸、坐標面、原點對稱點的表示法。4.4.空間兩點間的距離。若M1(x1,yi,Zi)、M2(x2,y2,Z2)為空間任意兩點，則M1M2的距離(見圖73),利用直角三角形勾股定理為：d2M1M21MlM2NM22222M1PpNNM2而M1Px2x1PNMV1NM2ZZ所以dM1M2I7(x2x1)22y1)2%4)2特殊地：若兩點分別為M(x,y,z),o(0,0,0)1 1Rr222doMYxyZ例1：求證以M(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。證明：M1MJ(47)2(31

6、)2(12)214M2M32(57)2(21)2(32)26M3MJ2(54)2(23)2(31)26由于M2M3M3M1,原結(jié)論成立。例2：設(shè)P在x軸上，它到(072,3)的距離為到點P2(0,1,1)的距離的兩倍，求點P的坐標。解：因為P在x軸上，設(shè) P P 點坐標為(x,0,0)PP1IVx22232Jx211PP2v1x21212vx22PP2PF2Vx2112dx22x1所求點為：(1,0,0),(1,0,0)四、利用坐標系作向量的線性運算1 1 . .向量在坐標系上的分向量與向量的坐標通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需

7、要建立向量與有序數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。設(shè) a a=MiM2是以Mi(xi,yi,zi)為起點、M2(X2,y2,Z2)為終點的向量，i i、j j、k k分別表示圖 7 75 5沿 x,y,zx,y,z 軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖 7 75,5,并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知：MiM2(X2Xi)i i+ +(y2yi)j+ +(Z2zi)k或 a=aa=axi+ai+ayj+aj+azk k上式稱為向量 a a 按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組 a ax、a ay、a az與向量 a a對應(yīng)，向量 a a 在三條坐標軸上的投影 a ax、a ay、a a 就叫做向量 a

8、a 的坐標，并記為a a=a ax,a ay,a az 。上式叫做向量 a a 的坐標表示式。于是，起點為Mi(xi，yi，zi)終點為M2(x2,y2,z2)的向量可以表示為MiM2x2x1，y2yi,z2乙特別地，點M(x,y,z)對于原點 O O 的向徑OMx,y,z注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量 a a 在坐標軸上的投影是三個數(shù) a ax、a ay、a az,向量 a a 在坐標軸上的分向量是三個向量 a axi i、a ayj j、a azk.k.2 2. .向量運算的坐標表示設(shè)aax,ay,az,bbx,by,bz即aaxiayjazk,bbxi

9、byjbzk則(i)(i)加法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k減法：ab(axbx)i(ayby)jabz)k乘數(shù)：a(ax)i(ay)j(az)k或abaxbx，ayby,azbzabaxbx,ayby,azbzaax,ay,az平行：若 aw0aw0 時，向量ba相當(dāng)于ba,即bx,by,bzax,ay,az也相當(dāng)于向量的對應(yīng)坐標成比例即壇三axayaz五、向量的模、方向角、投影設(shè)aax，ay,az,可以用它與三個坐標軸的夾角、(均大于等于0,小于等與非零向量 a a 同方向的單位向量為:于)來表示它的方向，稱為非零向量 a a 的方向角，見圖 7 76,6,其余弦表示形c

10、os、cos、cos稱為方向余弦。：222avaxayaz2.2.方向余弦axM1M2cos由性質(zhì) 1 1 知ayMIM2cosazM1M2cosacosacos，當(dāng)aaja；a2acos0時，有coscoscosaxax同4a：a：a2ayay同Jajajajazaz同a；a2a2任意向量的方向余弦有性質(zhì)：cos2cos2cos21a1一一ax,ay,azcos,cos,cosalaMiM2同向的單位向量。解：MiM2=1-2=1-2, ,3-23-2, ,0-0-ayaz,bbx,by,bz則abaxbxaybyazbzn.投影表示式：abaPrjabbPrjbae)e)例子：已知三點 M

11、1,1,1)M1,1,1)、A(2,2,1)A(2,2,1)和 R2,1,2)R2,1,2),求AMBin.in.兩向量夾角可以由cos品式求解a|b提示：先求出向量MA及MA,應(yīng)用上求夾角的公式。、向量積：a)a)概念：設(shè)向量c是由向量 a a 與 b b 按下列方式定義:c的模ca|bsin,式中為向量 a a 與 b b 的夾角。c的方向垂直與 a a 與 b b 的平面，指向按右手規(guī)則從 a a 轉(zhuǎn)向bo注意：數(shù)量積得到的是一個數(shù)值，而向量積得到的是向量。b)b)公式：cabf)f)性質(zhì)：i.i.aa0n.兩個非零向量 a a 與 b b 平行 a/ba/b 的充分必要條件為：ab0m

12、.abbaw.(ab)cacbcV.(a)ca(c)(ac)為數(shù)c)c)幾個等價公式：i.坐標表示式：設(shè)aax,ay,az,bbx,by,bz則ab(aybzazby)iab*axbz)j(a*byaybx)kijkn.行列式表示式：abaxavazxyzbxbybzd)d)例子：已知三角形 ABCABC 勺頂點分別為：A(1,2,3)A(1,2,3)、R3,4,5)R3,4,5)和 C(2,4,7)C(2,4,7)，求三角形 ABCABC 勺面積。由于AB=2,2,2,=2,2,2,AC=1,2,4=1,2,4_ijk因此ABAC2224i6j2k1241*1 1- -nnnn. .A于是S

13、ABC-ABAC-42(6)222V1422解：根據(jù)向量積的定義,SABC1IABACsin21 11 1- -* *- -w wC1ABAC小結(jié)：向量的數(shù)量積（結(jié)果是一個數(shù)量）向量的向量積（結(jié)果是一個向量）（注意共線、共面的條件）作業(yè)：即:14x9yz150第三節(jié)平面及其方程教學(xué)目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重要的一節(jié)，本節(jié)讓學(xué)生了解平面的各種表示方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)時領(lǐng)會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解平面與其法向量之間的關(guān)系。教學(xué)重點：1.平面方程的求法2.兩平面的夾角教學(xué)難點：平面的幾種表示及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一、平面的點法式方程1 1

14、 . .平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2 2. .平面的點法式方程已知平面上的一點Mo(Xo，y0，Zo)和它的一個法線向量nA,B,C,對平面上的任一點M(x,y,z),有向量M0Mn,即n nM0M0代入坐標式有：A(xXo)B(yyo)C(zz0)0(1)此即平面的點法式方程。例 1:1:求過三點 M1M1(2,(2,- -1,4)1,4)、M M2 2( (1,1,3,3,2)2)和 M M3 3(0,2,3)(0,2,3)的平面方程。解：先找出這平面的法向量n,ijknM1M2M1M334614i9jk231由

15、點法式方程得平面方程為14(x2)9(y1)(z4)0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：AxByCzD0幾個平面圖形特點:1）D=D=0:0:通過原點的平面。2）A=0:0:法線向量垂直于 x x 軸，表示一個平行于 x x 軸的平面。同理：B=0B=0 或 C=0C=0：分別表示一個平行于y軸或z軸的平面。3）A=B=0 0：方程為CZD0,法線向量0,0,C,方程表示一個平行于xoy面的平面。面的法向量為n5,6,7解：設(shè)平面為AxByCzD0,由平面過原點知由平面過點（6,3,2）知6A3B2C0,所求平面方程為2x2y3z0三.兩平面的夾角定義：兩

16、平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。三、幾個常用的結(jié)論設(shè)平面 1 1 和平面 2 2 的法向量依次為n1AB.CJ和n2A2,B2,C2同理：AXD0和BYD0分別表示平行于yoz面和xoz面的平面。4）反之：任何的三兀一次方程，例如：5x6y7z110都表示一個平面，該平例 2 2：設(shè)平面過原點及點（6,3,2）,且與平面4xy2z8垂直，求此平面方程。n4,1,24AB2C0ABfC設(shè)平面1:AxByCzD10,2:A2xB2yC?zD20niAIBCI,n2A2,B2,C2按照兩向量夾角余弦公式有:cos.A2|A1A2B12B1B2C1c2|2A222C1yA2B2C21)1)兩平面

17、垂直：A1A2B1B2C1C20（法向量垂直）2)2)兩平面平行：A2BICIB2C2（法向量平行）3)3)平面外一點到平面的距離公式：設(shè)平面外的一點B（x0,y0,z0）,平面的方程為AxByCzD0,則點到平面的距離為dAx0By0cz0D,A2B2C2例 3:3:研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:2yz10,y3z102xyz0,4x2y2z2xyz0,4x2y2z解:cos|11)202113|22(1)2,12兩平面相交,夾角1arccos.60n12,1,1,4,2,22二42兩平面平行M(1,1,0)M(1,1,0)兩平面平行但不重合。(3)(3)兩平面平行M(1,1,0)1M(1

18、,1,0)所以兩平面重合小結(jié)：平面的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。兩平面的夾角以及點到平面的距離公式。作業(yè):第四節(jié)空間直線及其方程教學(xué)目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學(xué)重點：1.直線方程2.直線與平面的綜合題教學(xué)難點：1.直線的幾種表達式2.直線與平面的綜合題教學(xué)內(nèi)容：一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為：AixByCizDi0A2XB2yC2ZD20二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點Mo（Xo,y0,Z0）和它的一方向向量sm,n,p），設(shè)直線

19、上任一點為M（x,y,z）,那么MoM與 s s 平行，由平行的坐標表示式有：xXoyyozZ0mnp此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設(shè)xXoyyzZ0tmnp就可將對稱式方程變成參數(shù)方程（t t 為參數(shù)）xx0mtyyontzzopt三種形式可以互換，按具體要求寫相應(yīng)的方程。例1:用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線xyzc1，c2xy3z4o解：在直線上任取一點（xo,yo,z0）,取xo1yoz02coe解得yo3。6oyoo,zo2,即直線上點坐標（1,o,2）因所求直線與兩平面的法向量都垂直取sn1n24,1,3）對稱式方程為:x14tyt例 2 2 一

20、直線過點A(2,3,4),且和y軸垂直z23tsBA2,0,4),兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設(shè)兩直線L1和L2的方向向量依次為&mi,n1，P1）和S2m2,1，P2,兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式來計算mm2ngP1P2cos,222,222,m1n1P1,m2n2P2兩直線L/口L2垂直：m1m2n1n2P1P20（充分必要條件）兩直線L1和L2平行：也業(yè)包（充分必要條件）m2n2P2例 3 3：求過點（3,2,5）且與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行的直線方程sm,n,P）,根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平面的法三、直線與平面的夾角與平面的夾角

21、，當(dāng)直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為一2設(shè)直線L的方向向量為sm,n,p,平面的法線向量為nA,B,C）,直線與平面的夾角為，那么AmBnCpsin：22c2，222ABCmnp直線與平面垂直:y0z2參數(shù)方程:13相交，求其方程解：因為直線和y軸垂直相交，所以交點為B（0,3,0）所求直線方程：x2二20兩直線的夾角解：設(shè)所求直線的方向向量為向量都垂直，所以可以取sn1n24,3,1所求直線的方程當(dāng)直線與平面不垂直時,直線與它在平面上的投影直線的夾角(0）稱為直線2ABCsAmBnCpmnp(4i3jk)U一逐J431320 xyz10 xyz00 xyz102.旋轉(zhuǎn)曲面的方程教學(xué)難

22、點：旋轉(zhuǎn)曲面教學(xué)內(nèi)容：一、曲面方程的概念1 1 . .實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。2 2. .曲面方程的定義：如果曲面 S S 與三元方程F(x,y,z)0(1)有下述關(guān)系：(1)(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1)(2)(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1)那么，方程(1)1)就叫做曲面 S S 的方程，而曲面 S S 就叫做方程(1)1)的圖形。(3)(3)種常見曲面(1)球面例1：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半徑為 R R 的球面的方程。解：設(shè)M0(x0，y0,z。)是球面上的任一點，那么M0M(A1xB1yC1zD1

23、)(A2XB2yC2zD2)03(x2)2(y1)(z3)07(71322d13c一,1,37762,1,4)(xyz1)(xyz1)0(1)x(1)y(1)zxyz0(1)1(1)1(11yzi面的方程xyz0或：(xX0)2(yy。)2(zZ0)2R2特別地：如果球心在原點，那么球面方程為(討論旋轉(zhuǎn)曲面)x2y2z2R2(2)線段的垂直平分面(平面方程)例2：設(shè)有點A(1,2,3)和B(2,1,4),求線段AB的垂直平分面的方程。解：由題意知道，所求平面為與A和B等距離的點的軌跡，設(shè)M(x,y,z)是所求平面上的任一點，由于|MA|MB|,那么222222,x1y2z3x2y1z4化簡得所

24、求方程2x6y2z70研究空間曲面有兩個基本問題：(1)(1)已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。(2)(2)已知坐標間的關(guān)系式，研究曲面形狀。旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程設(shè)在 yozyoz 坐標面上有一已知曲線 C C 它的方程為f(y,z)f(y,z)=0=0把這曲線繞 z z 軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以 z z 軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)M1(0/1，乙)為曲線 C C上的任一點，那么有f(yf(y1,z z。=0(2)0(2)當(dāng)曲線 C C 繞 z z 軸旋轉(zhuǎn)時，點 M M 也繞 z

25、 z 軸旋轉(zhuǎn)到另一點M(x,y,z),這時 z=zz=z1保持不變，且點 M M 到 z z 軸的距離dx2y2y1將 z z1=z,=z,必Jx2y2代入(2)2)式，就有螺旋曲面的方程為即:,(xX0)2(yy。)2(zZ0)2使用截痕法,先求出它與三個坐標面的交線:2x2az1,22xz122,anc22y-z1,221,這些交線都是橢圓。再看這曲面與平行bc于坐標面的平面的交線：橢球面與平面zz1的交線為橢圓f（,X2y2,z）0旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面（直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角（0 0。900,0,q q00 時，其形狀如圖所示。2.2.雙曲面單葉雙曲面方程為222LL二12,22abc雙葉雙曲面方程為222xyz12.22abc各種圖形注意規(guī)律特點，可以寫出其它的方程表達式。小結(jié)：曲面方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法，柱面的概念（母線、準線）。作業(yè):2X-2az22F（czl）czzl2yb2Z22（czl）c1（|z11c）,同理與平面Xx1和yyi的交線也是橢圓