基本概念1ppt課件

1、第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣推廣 第七章 7.1 微分方程的基本概念 引例引例 第七章 引例引例1. 一曲線通過點(diǎn)一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:d2dyxxxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù)為任意常數(shù))由由 得得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為21xy由由 得得切線斜率為切線斜率為 2x , 求該曲線的方程求該曲線的方程 . 引

2、例引例2. 列車在平直路上以列車在平直路上以20 m s的速度行駛的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)制動(dòng)時(shí)獲得加速度獲得加速度20.4(10)m s ,t求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,知知0.4(10)40.4tt ,00tsd200dstt由前一式兩次積分由前一式兩次積分, 可得可得23212302sttC tC 利用后兩式可得利用后兩式可得1220,0CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為32230220sttt說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住能停住 ,

3、以及制動(dòng)后行駛了多少路程以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求即求 s = s (t) .20.24200tt22ddst常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容本章內(nèi)容:未知函數(shù)為一元函數(shù)未知函數(shù)為一元函數(shù))0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfyL( n 階顯式微分方程階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 階常微分方程的形式是階常微分方程的形式是的階的階.分類分類或或(

4、常見形式常見形式)(未知函數(shù)是多元函數(shù)未知函數(shù)是多元函數(shù)),00ts200ddtts引例引例2 222dd40.4stt 使方程成為恒等式的函數(shù)使方程成為恒等式的函數(shù). .通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程(1)000101(),(),()nny xay xayxa 確定通解中任意常數(shù)的條件確定通解中任意常數(shù)的條件. .n 階方程的初始條件階方程的初始條件(或初值條件或初值條件):的階數(shù)相同的階數(shù)相同. .特解特解xxy2dd21xy引例引例1 1 Cxy223212302sttC tC 通解通解: :32230220sttt12 xy特解特解: :

5、微分方程的解微分方程的解 不含任意常數(shù)的解不含任意常數(shù)的解, 初始條件初始條件 其圖形稱為積分曲線其圖形稱為積分曲線. .例例1. 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解的解,0Axt00ddttx的特解的特解 . 解解: : 22ddtx212(cossin)kCktCkt xk2這說明這說明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CC12(sincos)C kktC kkt 02xk利用初始條件易得利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為故所求特解為tkAxco

6、s,02C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求滿足初始條件并求滿足初始條件 求所滿足的微分方程求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn)已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 QPQxyox解解: 如下圖如下圖, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX0 xyyx即即02 xyy點(diǎn)點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為處的法線方程為且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分, P298 (習(xí)題習(xí)題7-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3)思考與練習(xí)思考與練習(xí)求所滿足的微分方程求所滿足的微分方

7、程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn)已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 QPQxyox另解另解: 如下圖如下圖, -x1ky 法即即02 xyy點(diǎn)點(diǎn) P(x, y) 處的法線交處的法線交x軸于軸于Q且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分, 據(jù)題意得據(jù)題意得Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為那么那么0,()2PQyykxxx 分離變量分離變量: 7.2 可分離變量微分方程 解分離變量的方程解分離變量的方程 1.1.可分離變量方程的概念可分離變量方程的概念 第七章 ( , )yf x y 12( )( )f x fy12( )( )dyf x dxfy(只需兩邊求不定積

8、分只需兩邊求不定積分)假設(shè)假設(shè)=則稱則稱(1)為可分離變量的方程為可分離變量的方程(1)(2)2.可分離變量方程的解法可分離變量方程的解法:12d( )d( )yf xxfy兩邊積分兩邊積分, 得得 21d( )yfy1( )df xxCxFyG)()()(yG)(xF由由(3)確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) y(x) 或或x(y)是是(2)即即(1)的通解的通解. 則有則有(3)稱為方程稱為方程(1)的隱式通解的隱式通解,(3)(2)稱為方程稱為方程(1)的顯式通解的顯式通解.例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分x

9、xyyd3d2得得13lnCxy即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、因此可能增、減解減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.另解另解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得3lnlnyxC得得3xeCy 今后解題可按上述格式今后解題可按上述格式, 過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)Y(jié)果很完美過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)Y(jié)果很完美.如：如：P300例例1，但但 P3

10、02例例3例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得21lnln1yxC即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,211y x 故所求特解為故所求特解為 1)0(y注意注意:若特解在上述通解中找不到則要檢查過程的嚴(yán)謹(jǐn)性若特解在上述通解中找不到則要檢查過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.ln3.可化為可分離變量的方程可化為可分離變量的方程()yf axbyCb0,axbyCu令令即即.uaxCybuayb ( )f u可分離變量的方程可分離變量的方程分離變量分離變量:( )dudxbf ua注注:這種通過變量代換將未知類型化為已知

11、類型的這種通過變量代換將未知類型化為已知類型的方法方法,在解微分方程中經(jīng)常使用在解微分方程中經(jīng)常使用.如下一節(jié)的一階齊次方程如下一節(jié)的一階齊次方程,第第4節(jié)的伯努利方程節(jié)的伯努利方程第第6節(jié)的可降階高階方程節(jié)的可降階高階方程再譬如再譬如315第第7題題.例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu即即1yu 故有故有uu2sin1即即2cosuu Cxutan積分得積分得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:1,yxu2sec ududx分離變量分離變量可顯化為可顯化為1 arctan()yxxC 練習(xí)練習(xí)

12、:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量分離變量xeyexyddCeexy即即()10 xyeC e ( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有故有ueu1積分積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (下面講幾個(gè)微分方程的應(yīng)用題下面講幾個(gè)微分方程的應(yīng)用題例例4. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件初始條件)對(duì)方程分離

13、變量對(duì)方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即即teCM利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分然后積分:td)(知知 t = 0 時(shí)鈾的含量為時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)阎派湫栽剽櫟乃プ兯俣扰c當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?.成正比成正比,求求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程ddvmt00tv初始條件為初始條件為對(duì)方程分離變量對(duì)方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分然后積分 :得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkC代入上式

14、后化簡(jiǎn)代入上式后化簡(jiǎn), 得特解得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為速度為0,)1 (tmkekgmvmgkv設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時(shí)足夠大時(shí)(位移與時(shí)間的關(guān)系位移與時(shí)間的關(guān)系)再積分再積分cm100例例6. 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器, 水從它的底部小孔流水從它的底部小孔流出出,.cm12S開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中從小孔流出過程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度

15、 h 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變的變r(jià)解解: 由水力學(xué)知由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tVQddhgS262. 0即即thgVd262. 0d求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積化規(guī)律化規(guī)律.流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度設(shè)在設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由內(nèi)水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhhhdhhocm100rhhdhho對(duì)應(yīng)下降體積對(duì)應(yīng)下降體積hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解問題因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量將方程分離變

16、量:3122d(200)d0.62 2thhhggt262. 0兩端積分兩端積分, 得得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始條件利用初始條件, 得得5101514262. 0gC因此容器內(nèi)水面高度因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間與時(shí)間 t 有下列關(guān)系有下列關(guān)系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhhohhhgtd)200(262. 0d2321內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解條件定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程

17、的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解但不包含前一個(gè)解 .例如例如, 方程方程分離變量后積分分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù)根據(jù)定解條件定常數(shù) .解解; 階階;通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = C ()yf axbyC3. 型如型如的方程的方程,uaxbyC令化為可分離變量的方程化為可分離變量的方程思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解求下列方程的通解 :221(2)1yyx (1)1yxyxy 解法提示解法提示(1)1yxyxy (1)(1)xy分離變量分離變量:(1)1dyxdxy221(2)1yyx 分離變量分離變量:2211dydxyx2211dydxyx或或22(10,10)xy22(10,10