第三章總復(fù)習(xí)

1、第三章第三章 晶格振動(dòng)與晶體熱力學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)與晶體熱力學(xué)性質(zhì)一、一維和三維晶格的振動(dòng)一、一維和三維晶格的振動(dòng)二、簡正振動(dòng)二、簡正振動(dòng) 聲子聲子三、三、 長波近似長波近似四、四、 晶格振動(dòng)熱容理論晶格振動(dòng)熱容理論五、五、 晶格振動(dòng)的非簡諧效應(yīng)晶格振動(dòng)的非簡諧效應(yīng)一維布拉菲格子的振動(dòng)一維布拉菲格子的振動(dòng)一維晶格由質(zhì)量為一維晶格由質(zhì)量為m的全同原子構(gòu)成的全同原子構(gòu)成勒級(jí)數(shù)：在平衡位置附近展成泰相差不大，將與平衡位置附近)()()(rUaUrU.)()(21)()()()(.)()(61)()(21)()()()(23233223232ardrUdardrUddrdUrfardrUdardrUdar

2、drdUaUrUaaaaaa相互作用力：個(gè)原子的互作用力：個(gè)原子與第，得到第，忽略上式非線性小量令：1)(22nndrUda.3 , 2 , 1: )2-()2-()(-)(1 -1221 -11 -1nuuudtudmuuuuuuufnnnnnnnnnnnn個(gè)原子受力：第玻恩玻恩- -卡門周期邊界條件：卡門周期邊界條件：)sin()(:)2sin()(2)cos(1221212amqvaqaqqamqam格波傳播速度：格波的波矢：格波的頻率M2一維布拉菲格子的振動(dòng)一維布拉菲格子的振動(dòng))sin()(:)2sin()(2)cos(1221212amqvaqaqqamqam格波傳播速度：格波的波矢

3、：格波的頻率M2振動(dòng)譜是分離譜振動(dòng)譜是分離譜;允許的波矢的數(shù)目等于允許的波矢的數(shù)目等于N;晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶格的原胞數(shù)目晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶格的原胞數(shù)目.0q 20/27.;2211短波極限nnnuuuaaaq；長波極限；11:20nnnuuuqq格波和波長為544aa)()()()()2()()2()(122212)()22(12)()22(221211222221221222121222ABBAeBmBeAABAMBeeBuAeAeuuuuudtudmuuuudtudMiqnaiqnatqnaitqbanqintqnaitanqinnnnnnnnnnn一維復(fù)式格子的振動(dòng)一維復(fù)式格

4、子的振動(dòng)光學(xué)波頻率；聲學(xué)波頻率；OOAAqamMMmMmmMqamMMmMmmM212221212212212221212212)2(sin)(16)()(2)()2(sin)(16)()(2)(1 對(duì)于聲學(xué)波120221210 nnqiqauumeABAA2 對(duì)于光學(xué)波0021221 BmAMmMABeMABqiqaO或長光學(xué)波長光學(xué)波:原胞相鄰原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅原胞相鄰原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅A小小,質(zhì)量小的振幅質(zhì)量小的振幅B較大較大.保持整體的質(zhì)心不動(dòng)，即長光學(xué)波是保持原子質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式。保持整體的質(zhì)心不動(dòng)，即長光學(xué)波是保持原子質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式。 長聲學(xué)波長聲

5、學(xué)波: :相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)。它代表原子質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。它代表原子質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。 三維晶格的振動(dòng)三維晶格的振動(dòng)沿原胞基矢方向晶體各有沿原胞基矢方向晶體各有 N1,N2,N3個(gè)個(gè)原胞，晶體的原胞總數(shù)為原胞，晶體的原胞總數(shù)為N1,N2,N3將波矢將波矢q限制在一個(gè)倒格子原胞范圍內(nèi)，波矢可取的數(shù)目為限制在一個(gè)倒格子原胞范圍內(nèi)，波矢可取的數(shù)目為N個(gè)；個(gè)； 每一個(gè)波矢每一個(gè)波矢q對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3個(gè)聲學(xué)波個(gè)聲學(xué)波,3n-3個(gè)光學(xué)波個(gè)光學(xué)波,晶格振動(dòng)模式數(shù)為：晶格振動(dòng)模式數(shù)為： N 3+N(3n-3)=3nN結(jié)論

6、結(jié)論:1）晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目）晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目:晶體的原胞數(shù)晶體的原胞數(shù)2）晶格振動(dòng)頻率數(shù)目）晶格振動(dòng)頻率數(shù)目: 晶體中所有原子的自由度數(shù)之和。晶體中所有原子的自由度數(shù)之和。3 什么叫做簡正振動(dòng)模式？簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模什么叫做簡正振動(dòng)模式？簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是否是一回事？式數(shù)目是否是一回事？答：分析晶體振動(dòng)時(shí)，為簡化問題，將原子間相互作用力的泰勒級(jí)答：分析晶體振動(dòng)時(shí)，為簡化問題，將原子間相互作用力的泰勒級(jí)數(shù)中的非線性項(xiàng)忽略掉的近似數(shù)中的非線性項(xiàng)忽略掉的近似簡諧近似。簡諧近似。簡諧近似下，由簡諧近似下，由N個(gè)原子個(gè)原子 構(gòu)成的晶體的晶格振動(dòng)，可等效成構(gòu)成的

7、晶體的晶格振動(dòng)，可等效成3N個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)，每個(gè)諧振子的振動(dòng)模式個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)，每個(gè)諧振子的振動(dòng)模式簡正振動(dòng)模式，簡正振動(dòng)模式，它對(duì)應(yīng)著所有原子都以該模式的頻率做振動(dòng)，它是晶格振動(dòng)中最簡它對(duì)應(yīng)著所有原子都以該模式的頻率做振動(dòng)，它是晶格振動(dòng)中最簡單最基本的振動(dòng)方式。原子的振動(dòng)單最基本的振動(dòng)方式。原子的振動(dòng)格波振動(dòng)是這格波振動(dòng)是這3N 個(gè)簡正振個(gè)簡正振動(dòng)模式的線性疊加。動(dòng)模式的線性疊加。 因此，簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是一回事，因此，簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是一回事，該數(shù)目等于晶體中所有原子自由度數(shù)之和該數(shù)目等于晶體中所有原子自由度數(shù)之和3N。 簡正振動(dòng)簡正

8、振動(dòng) 簡正振動(dòng)簡正振動(dòng): :晶體中的每個(gè)原子都以相同頻率作簡諧振動(dòng)晶體中的每個(gè)原子都以相同頻率作簡諧振動(dòng),稱稱該振動(dòng)為格波的簡正振動(dòng)。該振動(dòng)為格波的簡正振動(dòng)。 由由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體中，原子振動(dòng)一般是個(gè)原子構(gòu)成的晶體中，原子振動(dòng)一般是3N個(gè)簡正振動(dòng)模式的線性疊加個(gè)簡正振動(dòng)模式的線性疊加:整整個(gè)晶體的振動(dòng)個(gè)晶體的振動(dòng)=3N個(gè)諧振子的振動(dòng)疊加。個(gè)諧振子的振動(dòng)疊加。 .2( )0qQ w Q q運(yùn)用分析力學(xué)方法得到廣義坐標(biāo)下正則方程運(yùn)用分析力學(xué)方法得到廣義坐標(biāo)下正則方程(q取取3N個(gè)個(gè))： 晶格振動(dòng)等價(jià)于晶格振動(dòng)等價(jià)于3N個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)。個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)。晶格振動(dòng)能量是這些諧振子振動(dòng)能量的總和

9、：晶格振動(dòng)能量是這些諧振子振動(dòng)能量的總和：NiiinE3121 晶格振動(dòng)能晶格振動(dòng)能 聲子聲子晶格振動(dòng)能量是諧振晶格振動(dòng)能量是諧振子振動(dòng)能量的總和：子振動(dòng)能量的總和：NiiinE3121晶格振動(dòng)的能量是量子化的。能量的增減是晶格振動(dòng)的能量是量子化的。能量的增減是以為計(jì)量的。賦予以為計(jì)量的。賦予一個(gè)假一個(gè)假想的攜帶者想的攜帶者聲子，即聲子是晶格振動(dòng)能量的量子。聲子，即聲子是晶格振動(dòng)能量的量子。 1100TknTknnTknBBBeenen TknTkeBBTkB,1平均聲子數(shù)：平均聲子數(shù)：聲子與光子：聲子與光子：1.光子具有動(dòng)量，隨光子光子具有動(dòng)量，隨光子的運(yùn)動(dòng)，有物質(zhì)的遷移；的運(yùn)動(dòng)，有物質(zhì)的遷

10、移；聲子代表原子的振動(dòng)狀態(tài)，聲子代表原子的振動(dòng)狀態(tài)，與物質(zhì)的遷移無聯(lián)系，不與物質(zhì)的遷移無聯(lián)系，不攜帶動(dòng)量。攜帶動(dòng)量。2.光子是真實(shí)粒子；聲子光子是真實(shí)粒子；聲子是假想的粒子，準(zhǔn)粒子。是假想的粒子，準(zhǔn)粒子。3.光波是橫波，聲子具有光波是橫波，聲子具有橫波和縱波。橫波和縱波。4.聲子與光子是玻色子。聲子與光子是玻色子。 5.聲子不攜帶物理動(dòng)量。聲子不攜帶物理動(dòng)量。T=0K時(shí)，時(shí)，n(w)=0,高溫高溫恒溫時(shí)，頻率低的格波的聲子恒溫時(shí)，頻率低的格波的聲子數(shù)數(shù)頻率高的格波的聲子數(shù)。頻率高的格波的聲子數(shù)。長波近似長波近似研究長波近似能揭示固體宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)研究長波近似能揭示固體宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì).長

11、聲學(xué)格波是彈性波；頻率與波矢間存在線性關(guān)系，晶格可看作是連續(xù)介質(zhì)長聲學(xué)格波是彈性波；頻率與波矢間存在線性關(guān)系，晶格可看作是連續(xù)介質(zhì)長光學(xué)波是極化波：長光學(xué)波是極化波：正負(fù)離子的相對(duì)位移正負(fù)離子的相對(duì)位移晶格振動(dòng)的熱容理論晶格振動(dòng)的熱容理論固體有固體有N個(gè)原子，總的自由度為個(gè)原子，總的自由度為3N，定容熱容量為：定容熱容量為： 3VBCNk在高溫時(shí)，這條定律和實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在低溫時(shí)，實(shí)驗(yàn)測得絕緣體在高溫時(shí)，這條定律和實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在低溫時(shí)，實(shí)驗(yàn)測得絕緣體的比熱容按的比熱容按 趨近于零。趨近于零。 3T 導(dǎo)體的比熱容按導(dǎo)體的比熱容按T趨近于零，表明在低溫下，能量均分的理論不再適用。趨近于零

12、，表明在低溫下，能量均分的理論不再適用。因此，愛因斯坦在普朗克的量子假說的基礎(chǔ)上提出了量子的熱容理論。因此，愛因斯坦在普朗克的量子假說的基礎(chǔ)上提出了量子的熱容理論。 比熱是一與溫度、材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)比熱是一與溫度、材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)杜隆杜隆-珀替定律珀替定律. 愛因斯坦模型愛因斯坦模型假設(shè)晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都以相同頻率振動(dòng)。忽略諧假設(shè)晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都以相同頻率振動(dòng)。忽略諧振子之間的差異，每個(gè)原子有振子之間的差異，每個(gè)原子有3個(gè)自由度，共有個(gè)自由度，共有3N個(gè)全同諧振子，即有個(gè)全同諧振子，即有3N個(gè)個(gè)頻率為頻率為w的振動(dòng)，晶體的平均能量為：的振動(dòng)，晶

13、體的平均能量為：32222231)(3331)(3;1)()()(3131TCeTNkNkCNkeeTNkCeeTkTkfTkfNkTECeNeEVTEBBVBTEBVkETkBBEBEBViNiiETEEEBTBkBTBkiTBki實(shí)際上，低溫實(shí)際上，高溫）（為愛因斯坦溫度；）（其中，愛因斯坦實(shí)質(zhì)上忽略了各格波的頻率差別，愛因斯坦實(shí)質(zhì)上忽略了各格波的頻率差別， 認(rèn)為所有格波的頻率同為認(rèn)為所有格波的頻率同為w,該假設(shè)過于簡化。該假設(shè)過于簡化。 德拜模型德拜模型把布喇非晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把布喇非晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把所有格波看作是連續(xù)介質(zhì)中傳播的波速相等的彈性波把所有格波看

14、作是連續(xù)介質(zhì)中傳播的波速相等的彈性波. NiTkiBieE311.)(.1)(0為模式密度DdeDEmTBk模式密度模式密度:角頻率在角頻率在w和和w+dw之間的格波數(shù)或模式數(shù)之間的格波數(shù)或模式數(shù). 即單位頻率區(qū)間的格波振動(dòng)模式數(shù)目即單位頻率區(qū)間的格波振動(dòng)模式數(shù)目 .30最大的角頻率mNdDmdeDeTkkTECdeDEmTBkTBkmTBkBBV0220) 1()()(1)(ddZD)(模式密度模式密度的計(jì)算：的計(jì)算： 0( ).1/22=2/3mmdZDddZdvqdvdqL aLdZdqdqaDd 模式密度：單位頻率區(qū)間的格波振動(dòng)模式數(shù)目模式數(shù)目等于振動(dòng)頻率 數(shù)目 自由度數(shù)目 長聲學(xué)波、

15、自由度截止頻率( ).2-;:/:2/22=2dZDddZdqqqaaaLqLaaL aLaLLddZdqdqL dqd模式密度：單位頻率區(qū)間的格波振動(dòng)模式數(shù)目模式數(shù)目等于振動(dòng)頻率 數(shù)目 自由度數(shù)目 長聲學(xué)波一維簡單格子為例：波矢 取值范圍：區(qū)間：區(qū)間自由度數(shù)原胞數(shù)目 一維 ：一維原子鏈長度， ：晶格常數(shù)；單位波矢區(qū)間振動(dòng)模式數(shù) 自由度數(shù)范圍內(nèi)包含的模式數(shù)：單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)： 0mvqmL dqLvdqvdZLDdvLDdNvaa 截止頻率 222222222-;-;2/22222222;xyvqvdqdZSqqqqaaaaaSSaaSddZqdqvdqdZdZdqdZqSqSSvdvdqddZSdZDd 二維晶格模式密度：取值：區(qū)間：單位 面積 波矢區(qū)間模式數(shù) 自由度數(shù) ：區(qū)間模式數(shù)：色散關(guān)系：考慮二維介質(zhì)兩支格波（縱、橫）： 222222012211