安徽省合肥高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷(含解析)

1、2015-2016學(xué)年安徽省合肥一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .在 ABC中，一定成立的等式是（）A. asinA=bsinBB. acosA=bcosBC. asinB=bsinAD. acosB=bcosA2 .等差數(shù)列an中，a+a5+a6=36,則 a+a9=（）A. 12 B. 18 C. 24 D. 363 .以下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. y=x+ B. y=3x+3 x八,1兀、C. y=1gx+- （0vxv1）D. y=sinx+ - （0v x<）Ig

2、tsinz24 .已知變量x、y滿足約束條件：（,則z=x- 3y的最小值是（）k> 2A. -B.4C.- 4 D.-85 .若實(shí)數(shù)a, b滿足二+*J2，則ab的最小值為（）A.四 B.2C.2鬧4什配1I+/，、止，山6 .右數(shù)列an滿足a1, an+1=- （nC N+）,則該數(shù)列的刖10項(xiàng)的乘積a1?a2?a3 - a 1021 "等于（）A. 3B. 1D.5 / 157 .關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集為（-1, 2）,則關(guān)于x的不等式bx2-ax-2>0 的解集為（）A. （-2,1） B.（一巴2） U （ 1, +8）C. （- oo,

3、 1）U（2, +8）D. （-1,2）8 .數(shù)列1, I短'1+2+5 '，不屈f 的前n項(xiàng)和為（） q R |2nJ n n I n+1n+1n（n+l）9.在 ABC中，a=7, b=14, A=30° ,則此三角形解的情況是（）A. 一解B.兩解C. 一解或兩解 D.無解- a)n+2510.已知數(shù)列an滿足an=n C N*都有 an> an+1,則3,若對于任意的n<3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A. （0, ） B. （0,工）C.（上，上）D. （ , 1） 323 2211 .如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（A

4、.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加的長度決定12 .已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng) am, an,使得J / j=4ai，則L此的最小值為（ w nA.二、填空題（每題 5分，茜分20分，將答案填在答題紙上）13 .在銳角 ABC中，a=3, b=4, Saabc=3/1 ,則角 C=.14 .已知數(shù)列an為等比數(shù)列,前 n項(xiàng)和為Sn,且a5=2$+3, a6=2S+3,則此數(shù)列的公比q=.15 .對于任意的實(shí)數(shù) mC 0,1, m）< - 2x- m> 2,則x的取值范圍是 .16 .把正整數(shù)排成如圖（a）的三角形陣，然后擦去第偶數(shù)行

5、中的所有奇數(shù)，第奇數(shù)行中的 所有偶數(shù)，可得如圖（b）三角形陣，現(xiàn)將圖（b）中的正整數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成一個 數(shù)列an,若 ak=2017,貝 U k=.1 12 3 42 4567 89579101112131415 1610121416171819202122 2324 25171921132526 27 28 29 30 31 32 &3 34 35 3626 28 30 32 34 36三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17 .已知a<0,解關(guān)于x的不等式ax2+ （1-a） x- 1>0.18 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和S

6、n滿足：S=n2,等比數(shù)列bn滿足:b2=2, b5=16（1）求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.19 .在 ABC中，A、B C的對邊分別為 a、b、c,己知c-b=2bcosA.（1）若 a=2 旄，b=3,求 c;（2）右 C=-,求角 B.nJ_Q20 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1=1, an+1=Sn.求證：(1)數(shù)列工成等比；(2) Sn+1=4an.21.濱湖區(qū)擬建一主題游戲園，該游戲園為四邊形區(qū)域ABCD其中三角形區(qū)城 ABC為主題活動區(qū)，其中/ ACB=60 , /ABC=45 , AB=12/gm； AR CD為游客通道(不考慮寬度

7、)，且/ ADC=120 ,通道 AR CD圍成三角形區(qū)域 ADE游客休閑中心，供游客休憩.(1)求AC的長度；(2)記游客通道 AD與CD的長度和為L,求L的最大值.22.已知數(shù)列an滿足aian- 1(1)試判斷數(shù)列 占十(一 1)”)是否為等比數(shù)列，并說明理由;%(2)bn=12，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；%(3)Cn=anSin(2n- 1)立2,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn.求證：對任意的nCN, TnV2015-2016學(xué)年安徽省合肥一中高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

8、1 .在 ABC中，一定成立的等式是()A. asinA=bsinBB. acosA=bcosBC. asinB=bsinAD. acosB=bcosA【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】 根據(jù)正弦定理表示出 a, b, sinA及sinB的關(guān)系式，變形后即可得到答案C一定正確.【解答】解：根據(jù)正弦定理得：=,即 asinB=bsinA .ginA ginB故選C2 .等差數(shù)列an中，a4+a5+a6=36,則 a1+a9=()A. 12 B. 18 C. 24 D. 36【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和.【分析】根據(jù)等差數(shù)列an中，當(dāng)p+q=2m時，ap+aq=2am,即可算出正確的結(jié)

9、論.【解答】 解：在等差數(shù)列an中，. a4+a5+a6=3a5=36) a5=12;a1+a9=2a5=24.故選：C.3.以下列函數(shù)中，最小值為2的是()A. y=x+B. y=3x+3 xx.1 一 ,1 I 其、C. y=1gx+(0vxv1)D. y=sinx+ - (0v x<-z)【考點(diǎn)】基本不等式.【分析】根據(jù)基本不等式求最值的形式，逐個選項(xiàng)驗(yàn)證“一正，二定，三相等”即可.【解答】 解：A中不滿足x>0;B中，y=3x+3-x>2,當(dāng)且僅當(dāng)3x=3x即x=0時取等號；C中，因?yàn)?vxv1,故lgxv0,不滿足條件；D中，因?yàn)?vsinx < 1,故&qu

10、ot;="取不到； 故選：B.4.已知變量x、y滿足約束條件:z=x- 3y的最小值是(Agr八rcA. -Bl. 4 C. - 4 D. - 83【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu) 解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.侖工【解答】解：由約束條件“生作出可行域如圖，天-2I y- M 工聯(lián)立，解得A （ - 2, 2）,|tx+2y-2化目標(biāo)函數(shù)z=x - 3y為y=-, J rJ由圖可知，當(dāng)直線 三二過人（-2, 2）時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為J1 J-2-3X2=- 8.故選：D.=V

11、ab,則ab的最小值為（5.若實(shí)數(shù)a, b滿足A.6 B. 2 C. 2J2D. 4【考點(diǎn)】基本不等式.【分析】由MG,可判斷a>0, b>0,然后利用基礎(chǔ)不等式即可求解ab的最小值12【解答】解：:,a b,.a>0, b> 0,解可得，ab>2V2,即ab的最小值為21門,故選：C.6.若數(shù)列an滿足ai=y-,1+anan+1 =1一%(nC N),則該數(shù)列的前 10項(xiàng)的乘積ai?a2?a3 2i07 / I5等于()A. 3 B. 1 C. D.二23數(shù)列遞推式.可判斷數(shù)列an的周期為4,從而求得.【解答】15 2'故數(shù)列an的周期為4, . ai

12、?a2?a3?a4=i ) ai?a2?a3'.'a io=ai?a2:故選C.7.關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集為(-I, 2),則關(guān)于x的不等式bx2-ax-2>0的解集為()A. (- 2, I) B,(-巴2) U ( I, +8)C.(一巴I)U(2, +8)D. ( - I, 2)【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用.【分析】利用不等式的解集與方程根的關(guān)系，求出a, b的值，即可求得不等式 bx2-ax-2>0的解集.【解答】 解：二關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集為(-I, 2), - I, 2 是 ax2+bx+2=0 (a&l

13、t;0)的兩根-1+2二-" .2金 aa= - i, b=i，不等式 bx? - ax - 2 > 0 為 x?+x - 2 > 0,，xv - 2 或 x> 1 故選B.8.數(shù)列1,1+2'1+2+3 '的前n項(xiàng)和為（）A.B.2nn+fC.n(n+l)D.n(n+l)9 / 15【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.n項(xiàng)和公式將已知數(shù)列的通項(xiàng)化簡，利用裂項(xiàng)求和的方法求【分析】利用的等差數(shù)列的前 出數(shù)列的前n項(xiàng)和.解答解：一T= < .)l+2+51+n nCn+1) n n+l所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為_ 2n "n+1故選B9.在 ABC中，a=7,

14、 b=14, A=30° ,則此三角形解的情況是（）A. 一解B.兩解C. 一解或兩解 D.無解【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】 利用正弦定理 干一。4T及已知可求sinB=1 ,結(jié)合B的范圍可求B為直角，即 ginA sinB可判斷此三角形的解的情況.【解答】 解：二.在 ABC中，a=7, b=14, A=30° ,由 BC (0, 180° ),可得：B=90° ,，C=180 - A- B=60° ,，此三角形有一解.故選：A.- a）n+2, n810.已知數(shù)列an滿足an=,若對于任意的nC N都有an>an+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

15、是（）A. （ 0, Y） B. （0, 9）C. （, ） D.（百，1）【考點(diǎn)】 數(shù)列的函數(shù)特性.【分析】 對于任意的nCN*者B有an>an+i,可知：數(shù)列an單調(diào)遞減，可得0v av 1.再分類 討論即可得出.【解答】 解：二.對于任意的nCN*都有%>&+1, .數(shù)列an單調(diào)遞減，可知0V a< 1.nW 8)單調(diào)遞減,當(dāng)時，n>8, %二!一員)門+2單調(diào)遞減，而二a“' ,-1n,-口>X加2產(chǎn)7解得當(dāng)當(dāng)時，n>8, 0白a)n+2單調(diào)遞增，應(yīng)舍去. JJ綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選D.11 .如果把直角三角形的三邊都增加

16、同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加的長度決定【考點(diǎn)】 余弦定理.【分析】先設(shè)出原來的三邊為 a、b、c且c2=a2+b2,以及增加同樣的長度為 x,得到新的三 角形的三邊為a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊，所以所對的角最大，然后根據(jù)余弦定理 判斷出余弦值為正數(shù)，所以最大角為銳角，得到三角形為銳角三角形.【解答】 解：設(shè)增加同樣的長度為 x,原三邊長為a、b、c,且c2=a2+b； c為最大邊；新的三角形的三邊長為 a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊，其對應(yīng)角最大.而(a+x) 2+ (b+x) 2- (c+x) 2=x

17、2+2 (a+b-c) x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦缶+由2 -(c+k) 2>0,則為銳角,12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用.D.那么它為銳角三角形. 故選Aan滿足：a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng) am, an,anan=4a1,則【分析】 設(shè)an的公比為q (q>0),由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡a7=a6+2a5,求出q,代入aman=16a12化簡得m n的關(guān)系式，由“ 1”的代換和基本不等式求出式子的范圍，驗(yàn)證等號 成立的條件，由 m n的值求出式子的最小值.【解答】 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q,且q>0, 由 a7=a6+2a5

18、 得：aq=a6+ 化簡彳導(dǎo),q2 - q - 2=0,解得q=2或q=T (舍去)，因?yàn)?aman=16ai2,所（aiqm-1） （aiqn_1） =16ai2,則 qm+n 2=16,解得 m+n=6p!=-lx （m+n X （上山）工X （17且+）4X （17+2®x晅）n1rlem n 6 mn 6Vmn6當(dāng)且僅當(dāng),解得:哈n號,因?yàn)閙n取整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到,16驗(yàn)證可得，當(dāng)m=1、n=5時，取最小值為故答案選：B.二、填空題(每題 5分，茜分20分，將答案填在答題紙上)，_ ,_ L 一兀 I13 .在銳角 ABC中，a=3, b=4, Saab(=3

19、V3,則角 C= = J【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】【解答】利用三角形面積公式求得sinC,進(jìn)而求得C.解： Saab，/a?b?sinC=,?3?4?sinC=3 后sinC=.ABC為銳角三角形,一兀C=C 3故答案為:14 .已知數(shù)列an為等比數(shù)列,前 n項(xiàng)和為Sn,且a5=20+3, a6=2G+3,則此數(shù)列的公比 q- 3 .【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】已知兩式相減結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得.【解答】解：''' a5=2S4+3, a6=2S5+3,，兩式相減可得 a6-a5=2 (8-S4), .a6 a5=2a5, . a6=3

20、a5,公比15 .對于任意的實(shí)數(shù) mC 0 , 1 , m- 2x- m> 2,則x的取值范圍是(-> 1【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.【分析】 不等式m4-2x-m> 2化為m4-2x-m- 2>0,設(shè)函數(shù)f (x) =m4-2x-m- 2, 對于mC 0 , 1時f (x) > 0恒成立，轉(zhuǎn)化為g (mD = (x2-1) m- 2x - 2在區(qū)間0 , 1上的最小值大于或等于 0;討論一次項(xiàng)系數(shù) x2-1的取值，求出g (mD的最小值，列出不等式即可求出x的取值范圍.【解答】 解：不等式 mx- 2x- m 2可化為m-2x-mi- 2>0,函數(shù) f

21、( x) =m4 2x m 2,則 f (x) =(x2-1) m- 2x - 2 對于 mC 0 , 1時，f (x) >0 恒成立，即不等式(x2-1) m- 2x-2>0恒成立；令 g ( m) = (x2 T ) m- 2x - 2,則函數(shù)g (mj)在區(qū)間0 , 1上的最小值大于或等于0;因?yàn)楹瘮?shù)g (n的一次項(xiàng)系數(shù)為 x2 - 1,當(dāng) x2 - 1=0 時，x= ± 1,且 x=1 時，g ( mj) = - 4 不合題意；x= - 1時，g (m) =0滿足題意；當(dāng) x2-1>0 時，有 x>1 或 xv- 1,函數(shù)g (m在區(qū)間0, 1上單調(diào)遞

22、增，g ( m)的最小值是 g (0) = - 2x - 2>0,解得x< - 1 ,應(yīng)取xV - 1;當(dāng)x2 - 1 v 0時，有-1v xv 1,函數(shù)g (mj)在區(qū)間0 , 1上單調(diào)遞減，g (m)的最小值是 g (1) =x2 - 2x- 3> 0,解得x< - 1或x>3,此時x不存在；綜上，x的取值范圍是x< - 1 .故答案為：(-00, -1.16 .把正整數(shù)排成如圖(a)的三角形陣，然后擦去第偶數(shù)行中的所有奇數(shù)，第奇數(shù)行中的 所有偶數(shù)，可得如圖(b)三角形陣，現(xiàn)將圖(b)中的正整數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成一個 數(shù)列an,若 ak=2017,貝

23、U k= 1031.1 12 3 42 4567895791011121314 15161012141617 18192021 222324 2517192123253626 27 28 29 30 31 32 &3 S4 35 3626 28 30 32 34【考點(diǎn)】歸納推理.【分析】由題意可以得出，圖1中第n行有2n - 1個數(shù)，且每行的最后一個數(shù)恰好是行號 的平方，由此可以確定出 ak=2017在圖a中的位置，圖b中每行的數(shù)字?jǐn)?shù)等于行號，由此 可以計(jì)算出前n行共有多少個數(shù)字，結(jié)合圖 a即可求出2017在圖b中的位置，從而得出 的值.【解答】 解：由題意，圖a中第n行有2n- 1個

24、數(shù)，一，一 ： ： I2 ,刖n仃有nx=nx n=n個數(shù)，向,3a人如"十/一我 拓/-1+n n(n+l)圖b知各仃數(shù)子個數(shù)等于仃數(shù)，故刖 n仃共有 nx卜工 =,圖a每行的最后一個數(shù)恰好是行號的平方,45X45=2025,故2017是第45行倒數(shù)第9個數(shù)，由圖b知各行數(shù)字個數(shù)等于行數(shù)，故前 45行共有45x1±®1=1035, | 2由于最后一個數(shù)是奇數(shù)，按圖b規(guī)則知，2017是第45行倒數(shù)第5個數(shù)，故k=1035- 4=1031, 故答案為：1031 .三、解答題(本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17.已知a<0,

25、解關(guān)于x的不等式ax2+ (1-a) x- 1>0.【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.【分析】對a分類討論，先判斷其相應(yīng)方程的解集的情況，再把二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)榇笥?,進(jìn)而可求出不等式的解集.【解答】 解：原不等式可化為(ax+1) (x-1) > 0,a<0,(x+) (x-1)< 0,且不等式對應(yīng)方程的兩個實(shí)數(shù)根為-2和1；向a當(dāng)-1vav0時，-二>1,不等式的解集為x|1 <x<-； aa當(dāng)a= - 1時，-=1,不等式為(x - 1) 2<0,其解集為？； a當(dāng)av- 1時，-1,不等式的解集為x| vx<1.18 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)

26、和a滿足：S=n2,等比數(shù)列bn滿足：b2=2, bs=16(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.【分析】(1)由數(shù)列的通項(xiàng)和前 n項(xiàng)和的關(guān)系，可得 an的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)可 得；(2)由錯位相減法，可得數(shù)列 anbn的前n項(xiàng)和Tn.【解答】 解：(1)冏的前門項(xiàng)和a滿足：S=n2,n=1 時，a1=S1=1, n>1 時，an=SS1=n2 (n1) 2=2n - 1, n=1也成立.故 an=2n- 1,=8,解得 q=2.等比數(shù)列bn滿足：b2=2, b5=16, .則有 bn=b2qn 2=2n (2)前

27、n項(xiàng)和 Tn=1?1+3?2+5?4+7?8+ - + (2nT) ?2n1, 2Tn=1?2+3?4+5?8+7?16+ + (2nT) ?2n,兩式相減.得Tn=1+2?2+2?4+2?8+2?16+- +2?2n 1 - ( 2n1) ?2n,4C1-n即有-Tn=1+- (2nT) ?2n,貝U有T/-3)2n-+3.19 .在 ABC中，A B C的對邊分別為 a、b、c,己知c-b=2bcosA.(1)若 a=2j, b=3,求 c;(2)若cj；,求角B.【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理.【分析】(1)由余弦定理化簡已知等式，整理可得：a2=b2+bc,代入已知即可解得 c的值.XI

28、 _, (2)由題息 A+B=-,可得sinA=cosB , cosA=sinB ,由正弦te理化間已知等式可得：2sin 2B+sinB -1=0,解得 sinB ,即可求 B=7.&【解答】 解：(1) c - b=2bcosA.k2 2 _ 2，由余弦定理可得：c- b=2bx£-XSJ 整理可得：a2=b2+bc,2bc- a=2b=3,.24=9+3c,解得：c=5.(2) . C=, . - A+B=-r-,可得 sinA=cosB , cosA=sinB ,iuic - b=2bcosA,由正弦定理可得：sin (A+B) =2sinBcosA+sinB ,可得

29、：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB ,解得：cos2B+sin 2B=2sin 2B+sinB=1 ,即：2sin 2B+sinB - 1=0,一，rll .人， ?？傻茫簊inB=或-1 (舍去).即 B=- 20.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1 = 1, an+1=Lj£Sn.求證：n(1)數(shù)列優(yōu)成等比；(2) Sn+1=4an.【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比關(guān)系的確定.1,n+2nan+1 (n- 1),2a a+1【分析】(1)由an+1=2-JS.,知Sn-Sn 1= 四，從而一-=_ ,進(jìn)而nn+2n+1n+1 n+22的等比數(shù)歹U.是首項(xiàng)

30、為1 ,公比為三，(n>2),由此能證明一乩 n 一工 ”n(2)由(1)可知 $=n?2n二 an= (n+1) ?2n 2,由此能證明 Sn+1= (n+1) ?2n=4an.【解答】證明：(1) .數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S, a=1, an+1=Sn,13 / 15&- Sn=n+2_(n- 1)-1 =n+1n>2an=Sn - & 1=n%*'l n+2()飛n+1即2nx. nw。n- 1(n>2) Sn-1即L： , n 1 =2 ,n 口 T S3n=1 時，=1,11是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.nS(2) _EL是首項(xiàng)為1,公比為2

31、的等比數(shù)列,n，Z=2n 1, . &=n?2n1,n.an+1旦Vs=n-*T xUu (n+2) ?2n 1,nn.an= (n+1) ?2n 2.$+1= ( n+1) ?2n=4an.21.濱湖區(qū)擬建一主題游戲園，該游戲園為四邊形區(qū)域ABCD其中三角形區(qū)城 ABC為主題活動區(qū)，其中/ ACB=60 , Z ABC=45 ,AB=12/Em； AR CD為游客通道(不考慮寬度)，且/ ADC=120 ,通道 AR CD圍成三角形區(qū)域 ADE游客休閑中心，供游客休憩.(1)求AC的長度；(2)記游客通道 AD與CD的長度和為L,求L的最大值.【考點(diǎn)】 解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【分析】(1)利用正弦定理，求 AC的長度.(2)求出AD, CD可彳#出L關(guān)于0的關(guān)系式，化簡后求 L的最大值.【解答】 解：(1)由已知由正弦定理，得 些=