(完整版)數(shù)字謎(小學(xué)奧數(shù)6年級(jí))

1、數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過(guò)，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以 很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí)外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除 法豎式問(wèn)題。例1把+, - , X, 一四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成 立（每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使用一次）：（501307） O （17。9） =12。分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定“ 一 ”的位置。當(dāng)“ 一 ”在第一個(gè)。內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是 13,要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括 號(hào)內(nèi)是13的倍數(shù)，此時(shí)只

2、有下面一種填法，不合題意。（5+13-7）義 1 17+9）。當(dāng)“ 一 ”在第二或第四個(gè)。內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“ 一 ”在第三個(gè)。內(nèi)時(shí)，可得下面的填法：（5+13X 7） + （17-9） =12。例2將19這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的口中，使等式成立：* =DDX =5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26 X3X 29。由此容易知道，將5568分解 為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積有兩種：58 X 96和64X87,分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位 數(shù)的乘積有六種：12X464, 16 X348, 24 X232,29X192, 32 X174, 48 X 116。顯然，符合題意的只有下面一

3、種填法：174X 32=58X 96=5568。例3在443后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573,通過(guò)所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位 數(shù)。由443000+ 573=77371推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被573整除，所以應(yīng)添 502。例4已知六位數(shù)33口口44是89的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是 4,推知商的個(gè)位是6;由左下式知， 十位相減后的差是1,所以商的十位是9。這時(shí)，雖然89X96=8544,但不能認(rèn) 為六位數(shù)中

4、間的兩個(gè)口內(nèi)是85,因?yàn)檫€沒(méi)有考慮前面兩位數(shù)。S?？诳? 45 4再?gòu)淖筮呑龀?。如右上式所示，a可能是6或7,所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796X 89=337844, 3896 X 89=346744知，商是3796,所求六位數(shù)是337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代 表相同的數(shù)字，請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。FORTY297S6TEN850十 TEN+ 850SIXTY31436分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y+N+N=YE Y+ 10,推知N要么是0,要么 是5。如果N=5,那么要向上

5、進(jìn)位，由豎式的十位加法有 T+E+E+1=TE T+10,等 號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以 Nw 5, N=Q此時(shí)，由豎式的十位加法T+E+E=M T+10, E不是0就是5,但是N=0,所 以E=S豎式千位、萬(wàn)位的字母與加數(shù)的千位、萬(wàn)位上的字母不同，說(shuō)明百位、千位 加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)?N=0,所以I *0,推知1=1 , 0=9說(shuō)明百位加法向千 位進(jìn)2。再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1,百位加法向千位進(jìn)2,且Xw0或1,所以R+T+T+22,再由R, T都不等于9知，T只能是7或8。若丁=7,則R=& X=3,這時(shí)只剩下數(shù)字2, 4, 6沒(méi)有用過(guò)，而S只比F大1, S, F不可能是

6、2, 4, 6中的數(shù)，矛盾。若T=8,則R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3,這時(shí)只剩下2, 4, 7,同上理由， 出現(xiàn)矛盾；R=7時(shí)，X=4,剩下數(shù)字2, 3, 6,可取F=2, S=3, Y=6=所求豎式見(jiàn)上頁(yè)右式。解這類(lèi)題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。 這個(gè)題目是美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是 40, 10, 10, 60,而40+10+10正好是60,真是巧極了！例6在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不 同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。ABCBD EFAG-EFAG十 FFFFFFABGBD分析與解：按

7、減法豎式分析，看來(lái)比較難。同學(xué)們都知道，力口、減法互為逆 運(yùn)算，是否可以把減法變成加法來(lái)研究呢（見(jiàn)右上式）？不妨試試看。因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1,所以E=9, A=1, B=Q如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法 1+F=10,彳3F=9,與E=9矛盾， 所以個(gè)位加法向上進(jìn)1,由1+F+1=1Q得到F=8,這時(shí)C=70余下的數(shù)字有2, 3, 4, 5, 6,由個(gè)位加法知，G比D大2,所以G, D分別可取4, 2或5, 3或6, 4。所求豎式是1070210703107 CM-9814- 9815 -陽(yáng)6888888888解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、

8、定律把原題加以變換，將不熟悉的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題。 另外，做題時(shí)要考慮解 的情況，是否有多個(gè)解。練習(xí)1 .在一個(gè)四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是 621819,求原來(lái)的四位數(shù)。2 .在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字 請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：AB&BAB土BCA 一 ACA.3 .在下面的算式中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+8+ 94 .在下面的算式中填上若干個(gè)（）,使得等式成立：1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+9=2.8。5 .將19分別填入下式的口中，使等式

9、成立：=X =3634。6 .六位數(shù)391 是789的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)7 .已知六位數(shù)7口口888是83的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)數(shù)字謎（二）這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問(wèn)題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字m求日“加口labcde x3 = abcdcL分析與解：這道題可以從個(gè)位開(kāi)始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè) 字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn)在.我們從另一個(gè)角度來(lái)解。認(rèn)證與而國(guó)只是1所 在的位置不同,= abcde,則算式變?yōu)椋?00000+x） X3=10x+1,300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈

10、利落，比用傳統(tǒng)方法解簡(jiǎn)潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。例2在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。解:設(shè)被乘數(shù)為職由8耳999知耳（124高，又由匆工10000知笈 S37123 4因?yàn)閤是整數(shù)，所以x = 124右上式為所 0 I求豎式。使除法豎例3左下方的除法豎式中只有一個(gè)8,請(qǐng)?jiān)诳趦?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字, 式成立。 ) 8口9H9 112)1 867 8 o O88OO660 0 99-111解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個(gè)位的積都是四位數(shù)，所以商為9R9。汲除數(shù)為火由射二100。知耳11；由豎式特點(diǎn)知，除數(shù)與8的乘積的白位數(shù)不可能是9,即融90。,，所以又因粒是整數(shù)，所以x=11

11、2,被除數(shù)為989X 112=11076&右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方 法。例4在口內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁(yè)左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見(jiàn)下頁(yè)右上 方豎式）。可以看出，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是 1000=23X53的倍數(shù)，即除 數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是23=8的倍數(shù)，另一個(gè)是53=125的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是 兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知a=9,從而除數(shù)應(yīng)是96 .b口口匚的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有 96, 48, 32, 24和16。因?yàn)?，c=5, 5與除 數(shù)的乘積仍是兩

12、位數(shù)，所以除數(shù)只能是16,進(jìn)而推知b=6o因?yàn)樯痰暮笕粩?shù)是 125的奇數(shù)倍，只能是125, 375, 625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此， 已求出除數(shù)為16,商為6.375 ,故被除數(shù)為6.375 X 16=102。右式即為所求豎式。6.37596-6543120求解此類(lèi)小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾 出現(xiàn)n個(gè)0,則在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子 2n （不含因子5）,另一個(gè)含有因 子5n （不含因子2）,以此為突破口即可求解。例5 一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁(yè)的豎式（1）,這個(gè)五位數(shù)被另一 個(gè)一位數(shù)除得到下頁(yè)的豎式（2）,求這個(gè)五位數(shù)。分析與解：由豎式

13、（1）可以看出被除數(shù)為10*0 （見(jiàn)豎式（1）,豎式 （1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除， 故除數(shù)不是2或5,而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4, 6或 8。3L 北F當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時(shí)，由豎式（1）知，a=1或2,所以被除數(shù)為100*0 或101*0,再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除， 可得豎式（2）的除數(shù)為4,被除數(shù)為10020;當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時(shí)，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十 位數(shù)字之和應(yīng)為8。因?yàn)樨Q式（2）的除數(shù)只能是4, 6, 8,由豎式（2）知被除 數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有 10080, 10260, 10440和10620四種可能，最 后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)