電子科大MATLAB第5節(jié)線性方程組求解的直接法

1、第三章第三章 線性方程組求解的數(shù)值方法線性方程組求解的數(shù)值方法第一節(jié)第一節(jié) 線性方程組求解的直接法線性方程組求解的直接法線性方程組的基本概念11112211211222221122nnnnnnnnnnna x a xa xba x a xa xba x a xa xb 階線性方程組的表示： 1112111212222212.; ; .nnnnnnnnAxbaaaxbaaaxbaaaxbAxb矩陣形式：線性方程組的基本概念1231232323212331233102310232ln(10)1306310ln(6)xxxxxxxxexxxexxxexx 將一般方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組： 如：取log

2、，將乘法轉(zhuǎn)化為加法，得到線性方程組。線性方程組的基本概念23212313212303101231?016xxxxxxxxx 將一般方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組： 分情況討論。1221212121212231(23)101231 0 xxxxxxxxexxxx 討論正負(fù)討論正負(fù)線性方程組的基本概念 線性方程組的解： 無(wú)解，（過(guò)定方程） 有唯一解， 有無(wú)窮多解，（欠定方程） 本章研究的線性方程組： 矩陣A為方陣、方程有唯一解的情況。線性方程組的基本概念 利用matlab求線性方程的通解求解方法： 線性方程的通解可表示為齊次方程的基礎(chǔ)解系的線性組合和特解的形式。 Matlab中“null”函數(shù)可計(jì)算欠定方

3、程 Ax=0 的基礎(chǔ)解系。 Matlab中的“”可計(jì)算方程的特解。*1 1n rn rxkk線性方程組的基本概念120.9636040.14820.832100.22240.55470 xkk 通解為：123123412341234xxx 求方程通解：克萊姆（Cramer）法則11112211211222221122nnnnnnnnnnnAxba x a xa xba x a xa xba x a xa xb 階線性方程組： 矩陣表示記為 ,11 ()det( )0det() (1,2, )det( ),),)(Tn nijiiTAxnncramerAAxinAxbxbab 這里 根據(jù)克萊姆法

4、則，若方程組系數(shù)行列式不為零，即，則該方程組有唯一解。其解為 克萊姆（Cramer）法則35171 ( -1)!30,2.38 1010/7 10nnnnnnnCPUGHz。 這種方法需要計(jì)算個(gè) 階行列式并作 次除法，而如果根據(jù)定義計(jì)算 階行列式計(jì)算需作次乘法。 如則求解一個(gè)線性方程組需次乘法。 假設(shè)運(yùn)算速度為秒，則計(jì)算一個(gè)線性方程組需要年 理論上是絕對(duì)正確， 實(shí)際計(jì)算不可行。：算法運(yùn)算量高斯消去法（Gaussian elimination） 上/下三角矩陣方程易于求解例：求解線性方程組112322333345834580122 220011 1xxxxxxxxx 32231231122204

5、5805133xxbxbxxx高斯消去法（Gaussian elimination） 高斯消去法思路： 通過(guò)初等變換，將一般矩陣方程化為等價(jià)的等價(jià)的三角矩陣方程，然后反向代入求解。 等價(jià)變換（行初等變換）： 倍加變換：把某行換成它本身與另一行的和； 對(duì)換變換：把兩行互換； 倍乘變換：把某行所有元素乘以同一非零數(shù)； 注意：不能進(jìn)行列初等變換；注意：不能進(jìn)行列初等變換；高斯消去法（Gaussian elimination） 高斯消去法的矩陣表示：112121 . rrrrAxbPAxPbP PAxP PbUxb 121111111110.0100.010001naaPaa2.P下三角矩陣下三角矩陣

6、高斯消去法 例2：求解線性方程組1231070732645156xxx 1070 71070 71070 7326 400.16 6.100.16 6.1515 602.55 2.5001551 610.1770010 xxxxxx 注意：注意： 一定要等式兩邊的系數(shù)同時(shí)變。一定要等式兩邊的系數(shù)同時(shí)變。高斯消去法第一步：寫出增廣矩陣高斯消去法第一步：寫出增廣矩陣高斯消去法：性質(zhì)性質(zhì)1：若A的所有均不為0，則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底，得到唯一解。性質(zhì)性質(zhì)2：只要 A 非奇異，即 A1 存在，則可通過(guò)逐次消元及行交換，將方程組化為三角形方程組，求出唯一解。什么樣的矩陣

7、可以采用高斯消去法？列主元消去法列主元消去法 如果高斯消去過(guò)程中對(duì)角線出現(xiàn)“0”元素怎么辦？ 通過(guò)行變換和列變換將對(duì)角線元素?fù)Q為非零元素。 列主元消去法： 省去換列的步驟，每次僅選子矩陣中第子矩陣中第k列列最大的元（僅作行變換）。 列元選擇公式：(1)(1),max0;2,.,kkk ki kk i naakn 列主元消去法 例3：求解線性方程組123113233161103xxx 113 2113 2113 2331 600-8 002-3 1110 302-3 100-8 033212301 30.52232.5xxxxxx 注意：注意： 如果對(duì)角線元素為如果對(duì)角線元素為0，則需要交換元素

8、則需要交換元素。列主元消去列主元消去法值選擇該列法值選擇該列 kn 元素中最大元素中最大值。值。列主元消去法 例4：求解線性方程組123111422161126xxx 111 4001 2001 2123111422141126xxx 111 4001 4001 2 怎么換行？是不是高斯怎么換行？是不是高斯消去消去算法的問(wèn)題？方算法的問(wèn)題？方程解到底是多少？程解到底是多少？全主元消去法全主元消去法 全主元消去法： 每一步選子矩陣子矩陣中絕對(duì)值最大的元素為主元素 主元選擇公式：(1)(1),max max0;2,.,kkk ki jk i nkj naakn 注意：列交換改變了列交換改變了 xi

9、 的順序，須記錄交換次序，解完的順序，須記錄交換次序，解完后再換回來(lái)后再換回來(lái)。全主元消去法 例5：求解線性方程組123113233161103xxx 113 2113 2131 2331 600-8 00-80 0110 302-3 10-32 1122330.50232.5xxxxx131 20-80 0002 1312xxx全主元消去法選擇子陣中最大元全主元消去法選擇子陣中最大元素。素。注意：注意：列交換改列交換改變了變了 xi 的順序的順序312xxx高斯消去法 例6，第43頁(yè) 3.2，解方程組4121101211xx 444121101 211 1101 0.99980-0.9999

10、 01101 1.00010-1.000 xx41211 2101 111 200.9999 0.999811 20-1.000 1.00011xx 即使主元素不為即使主元素不為0，但是比較小，也應(yīng)但是比較小，也應(yīng)該換行該換行高斯消去法步驟：1(1)2(1)11(1)(1)(1)111(1)(1)11.20/(2, .,)3,niiiAxbAA baimaainAimA 步驟 ：將方程寫為增廣矩陣的形式： 步驟 ：設(shè)，計(jì)算第 行的消去因子： 步驟 ：將增廣矩陣第 行減去 得到一步消去后增廣矩陣： (1)1(2)1(1)2(2)(2)0.00nAi為行向量高斯消去法步驟：(2)22(2)(2)(

11、2)222(2)(2)(2)21(1(2)(32)(2)50/(3, .,)6,000iiiaimaainAiAmAA（） 步驟 ：設(shè)，計(jì)算第 行的消去因子： 步驟 ：將增廣矩陣第 行減去 的元素從 開始計(jì)數(shù) 得到二步消去后增廣矩陣： (1)1(2)2(3)0.0n 高斯消去法步驟：( )( )( )( )( )( )()11)(7 :5 60/(1,.,), ( *)kkkkkkiikkkkkkkikaimaaiknAimkkAAk（）步驟重復(fù)上述步驟，設(shè)， 計(jì)算第 行的消去因子： 并將增廣矩陣第 行減去 的 得到 步元素從，開始計(jì)數(shù)此處不消去后為0增廣矩陣：(2)2(3)-1)1(0 00

12、 000. 8:9 :,.*., * *nnkxxAx.，。步驟重復(fù)上述步驟最終得到上三角矩陣步驟從下至上，以此求解未知數(shù) 即得到原方程的解。(1)(1)(1)(1)1111211(2)(2)(2)22222( )( ).0.00.000nnnnnnnnxaaabxaabxab矩陣LU分解法 三角矩陣：矩陣對(duì)角線一側(cè)元素全部為三角矩陣：矩陣對(duì)角線一側(cè)元素全部為0 0的矩陣，包括上的矩陣，包括上三角（右三角）矩陣三角（右三角）矩陣U U和下三角（左三角）矩陣和下三角（左三角）矩陣L L。00*.0*aLb*0.*00aUb矩陣LU分解法 三角矩陣的性質(zhì)：1. 1. 上（下）三角方陣的行列式的值等

13、于對(duì)角線元素的乘積；上（下）三角方陣的行列式的值等于對(duì)角線元素的乘積；2. 2. 上（下）三角方陣的轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣；上（下）三角方陣的轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣；3. 3. 上（下）三角方陣的逆矩陣為（上）三角矩陣，且對(duì)角元是上（下）三角方陣的逆矩陣為（上）三角矩陣，且對(duì)角元是原三角矩陣對(duì)角元的倒數(shù)；原三角矩陣對(duì)角元的倒數(shù)；4. 4. 兩個(gè)上（下）三角方陣的乘積也是上（下）三角矩陣，且對(duì)兩個(gè)上（下）三角方陣的乘積也是上（下）三角矩陣，且對(duì)角元是原三角矩陣對(duì)角元的乘積。角元是原三角矩陣對(duì)角元的乘積。利用利用matlabmatlab也可以初步驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性。也可以初步驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性

14、。矩陣LU分解法求解線性方程組矩陣的矩陣的LULU分解：分解： 將矩陣將矩陣A分解為分解為A=LU,其中，其中，L為下三角矩陣，為下三角矩陣，U為上三為上三角矩陣。角矩陣。說(shuō)明：說(shuō)明：2121-121-1.nninAAPP PAPP PAPLPP PAUUL AALU由于 是下三角矩陣，記作 ，為上三角矩陣，記作矩陣LU分解法求解線性方程組 例：利用LU分解求解如下方程：12312314 2521831520 xxx 解：1、將矩陣A進(jìn)行LU分解1001232100143510024ALU 解：2、求解方程組：Ly=b(14,18,20)(14, 10, 72) ,TTLyy 解：3、求解方程

15、組：Ux=y(14, 10, 72)(1,2,3) .TTUxxLU分解計(jì)算方法213141324243333111213222344211323211121314212211121122223243132333441424314111213141442144441000100010001000aaaauuul uuaaauul uullaallluaaaaaaauuuuuluuuulul311232224112422231133223333114322434311141114114422443344441134223433432l ul ul ul ul ul uul ul uul ull

16、ul uul ulll uuuuu按顏色順序依次計(jì)算按顏色順序依次計(jì)算給定矩陣A，如何計(jì)算其對(duì)應(yīng)的L矩陣和U矩陣？Matlab的符號(hào)計(jì)算 思考題：67頁(yè)習(xí)題2，寫出4階三對(duì)角矩陣的LU分解公式直接計(jì)算LU分解方法 例1112212110431021uuAlu111243uu100.51L4300.5ULU分解矩陣21211120.54alu222221 121 1.50.5ual u 111203uu212111?alu0321BLU分解： 不是所有矩陣都可分不是所有矩陣都可分解為解為A=LUA=LU！更一般形式：更一般形式：PALU思考：思考：Matlab中中l(wèi)u為為L(zhǎng)U分解函數(shù)。分解函數(shù)。

17、 調(diào)用方式：調(diào)用方式：“L,U,P = lu(A)” 利用利用 “ help lu” 查看查看lu函數(shù)的幫助文檔，函數(shù)的幫助文檔，說(shuō)明其中說(shuō)明其中L, U, P 各是什么矩陣。各是什么矩陣。 L, U, P, A如何構(gòu)成等式。如何構(gòu)成等式。正定對(duì)稱矩陣 正定矩陣：一個(gè)矩陣正定矩陣：一個(gè)矩陣 A 稱為正定陣，如果稱為正定陣，如果 對(duì)任對(duì)任意非零向量意非零向量 x 都成立。都成立。 0Tx Ax 正定陣的判定：正定陣的判定： A 1 亦對(duì)稱正定，且亦對(duì)稱正定，且 aii 0 A 的順序主子陣的順序主子陣 Ak 亦對(duì)稱正定亦對(duì)稱正定 A 的特征值的特征值 i 0 det ( Ak ) 0正定對(duì)稱矩陣

18、 若若A為為n n階滿秩方陣階滿秩方陣，則有則有 A T A為對(duì)稱正定矩陣為對(duì)稱正定矩陣() ()0TTTx A AxAxAx 1、 A T A為對(duì)稱矩陣0TTx A Ax 2、 根據(jù)正定矩陣定義： 由于A滿秩，即方程 A x = 0 只有0解，所以任意任意非零向量有：對(duì)稱正定矩陣Cholesky分解： Cholesky 分解：A 為對(duì)稱正定矩陣，則有：TAC C112200*.0*uBLDu令：11000.000nnuDu1ALULDD U則：11122*0.*00uCD Uu111()TTTTTTBCC BCB C BC BB CIA 對(duì)稱，則上三角上三角下三角下三角所以有：TTBCAC C需要引理需要引理對(duì)稱正定矩陣Cholesky