函數(shù)的單調(diào)性 ppt課件

1、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?I :一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性注注: : 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的言的. . 有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù), , 而在另一些區(qū)間上而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)可能是減函數(shù). . 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值值 x1, x2, 當(dāng)當(dāng) x1x2 時(shí)時(shí), 都有都有 f(x1)f(x2), 那么就說那么就說 f(x) 在這個(gè)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)區(qū)間上是增函數(shù); 如果對(duì)于屬于定義域

2、如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值值 x1, x2, 當(dāng)當(dāng) x1f(x2), 那么就說那么就說 f(x) 在這個(gè)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間上是減函數(shù). 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù), 那么就說那么就說函數(shù)函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性單調(diào)性, 這一區(qū)間叫做這一區(qū)間叫做函數(shù)函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.二、單調(diào)區(qū)間二、單調(diào)區(qū)間1.取值取值: 對(duì)任意對(duì)任意 x1, x2M, 且且 x10(0, b0) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.xb解解: 函數(shù)函

3、數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?-, 0)(0, +), 典型例題典型例題函數(shù)函數(shù) f(x) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f f (x)=a- = , (x)=a- = , bx2ax2-b x2函數(shù)函數(shù) f(x) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-, - ) (-, - ) 與與 ( , +), ( , +), abab函數(shù)函數(shù) f(x) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- , 0) (- , 0) 與與 (0, ). (0, ). abab令令 f (x)0 得得: x2 - x0 或或 0 x0 得得: x2 x ; ababab 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性

4、學(xué)習(xí)中的最基本的問題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性學(xué)習(xí)中的最基本的問題, 但必須注意但必須注意, 如果函數(shù)的解析式含有參數(shù)如果函數(shù)的解析式含有參數(shù), 而且參數(shù)的取值而且參數(shù)的取值影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 這時(shí)必須對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論這時(shí)必須對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論. 注注: : 這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性十分重要這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性十分重要, , 應(yīng)用非常廣泛應(yīng)用非常廣泛, , 它它的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :oyx2 ab-2 ab -2 ab baba- -2.試討論函數(shù)試討論函數(shù) y=2log2 x-2log x + 1 的單調(diào)性的單調(diào)性.1212解解: 令令 t=log x, 那么

5、那么 t 關(guān)于關(guān)于 x 在在 (0, +) 上單調(diào)遞上單調(diào)遞減減.12而而 y=2t2-2t+1 在在 (-, 上單減上單減, 在在 , +) 上單增上單增,1212又由又由 t得得 x , 1222由由 t 得得 0 x , 1222故函數(shù)故函數(shù) y=2log2 x-2log x+1 在在 , +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, 在在 (0, 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.12122222 3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)當(dāng)當(dāng) k 為何值時(shí)為何值時(shí), 函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0, 4); (2)當(dāng)當(dāng) k 為何值時(shí)為何值時(shí), 函數(shù)函數(shù)

6、f(x) 在在(0, 4)內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減.不等式不等式 f (x)0 的解集為的解集為(0, 4), 0 與與 4 是方程是方程 kx2+2(k-1)x=0 的兩根的兩根,即即 kx2+2(k-1)x0 的解集為的解集為(0, 4), 故由根與系數(shù)的關(guān)系可求得故由根與系數(shù)的關(guān)系可求得 k 值為值為 . 13(2)命題等價(jià)于命題等價(jià)于 kx2+2(k-1)x0 對(duì)對(duì) x(0, 4) 恒成立恒成立, 設(shè)設(shè)g(x)=kx+2(k-1), 等價(jià)于等價(jià)于 kx+2(k-1)0 對(duì)對(duì) x(0, 4) 恒成立恒成立, 由于由于 g(x) 為單調(diào)函數(shù)為單調(diào)函數(shù), g(0)0 g(4)0 k . 13那么

7、那么 ( (或分離變量或分離變量 k k0 得得: x-1 或或 0 x1; 由由g(x)0 得得: -1x1. 故故 g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-, -1) 與與 (0, 1);單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是 (-1, 0) 與與 (1, +).4.知知 f(x)=8+2x-x2, 假設(shè)假設(shè) g(x)=f(2-x2), 試確定試確定 g(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 5.已知已知f(x)是定義在是定義在R上的增函數(shù)上的增函數(shù), 對(duì)對(duì)xR有有f(x)0, 且且f(5)=1, 設(shè)設(shè)F(x)=f(x)+ , 討論討論 F(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性, 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.

8、f(x) 1 分析分析: 這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題, 應(yīng)該用單調(diào)性定義解決應(yīng)該用單調(diào)性定義解決. 解解: 在在 R 上任取上任取 x1, x2, 設(shè)設(shè) x1f(x1) 且且:F(x2)-F(x1)=f(x2)+ -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)-f(x1)1- . f(x1)f(x2) 1f(x) 是是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù), 且且 f(5)=1, 當(dāng)當(dāng) x5 時(shí)時(shí) 0f(x)5 時(shí)時(shí) f(x)1.假設(shè)假設(shè) x1x25, 那么那么 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)0, F(x2)F(x1); 1- x15, 那么

9、那么 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 綜上綜上, F(x) 在在 (-, 5) 上為減函數(shù)上為減函數(shù), 在在 (5, +) 上為增函數(shù)上為增函數(shù).f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1). f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- 0, f(x1)f(x2) 1 6.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?(-, 0)(0, +), 且滿足條件且滿足條件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)時(shí), f(x)0. (1)求證求證: f(x)為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式

10、求不等式 f(x)+f(x-3)2的的解集解集.(1)證證: 在在中令中令 x=y=1, 得得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令令 x=y=-1, 得得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令再令 y=-1, 得得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 為偶函數(shù)為偶函數(shù). 先討論先討論 f(x) 在在 (0, +) 上的單調(diào)性上的單調(diào)性, 任取任取x1, x2, 設(shè)設(shè)x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在在 (0, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 由由 (1) 知知, f(x) 在在(-, 0) 上是減函數(shù)上是減函數(shù). 偶函數(shù)圖象關(guān)于

11、偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, (2)解解: 在在中令中令 y=, 得得: x1由由知知 f( )0. x2 x1 1, 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 那么那么 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由由 、 得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)假設(shè)假設(shè) x(x-3)0, f(x) 在在 (0, +) 上為增函數(shù)上為增函數(shù), 由由 fx(x-3)f

12、(4) fx(x-3)f(4) 得得: : 2)假設(shè)假設(shè) x(x-3)0 x(x-3)4 x3 -1x4 -1x4 -1x0 -1x0 或或 3x4; 3x4; x(x-3)0 x(x-3)-4 0 x3. 0 x3. 0 x3 xR 原不等式的解集為原不等式的解集為-1, 0)(0, 3)(3, 4. -1, 0)(0, 3)(3, 4. 注注 抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題, 其基其基本方法是變量代換、換元等本方法是變量代換、換元等, 應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn). 法二法二 原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于 f|x(x

13、-3)|f(4)(xf|x(x-3)|f(4)(x0, x-30, x-30), 0), 由由 f(x) f(x) 在在 (0, +) (0, +) 上為增函數(shù)得上為增函數(shù)得: |x(x-3)|4. : |x(x-3)|4. 再進(jìn)再進(jìn)一步求得解集一步求得解集. .(1)證證: 由已知由已知, 對(duì)任意的對(duì)任意的 x1, x2(-, +) 且且 x10, f(x2- x1)1. x2-x10, f(x2- x1)1. f(x2- x1)-10. f(x2- x1)-10. f(x2)-f(x1)0 f(x2)-f(x1)0 即即 f(x2)f(x1). f(x2)f(x1). f(x) f(x)

14、是是 R R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù). .(2)解解: f(4)=5, 令令 a=b=2 得得: f(4)=f(2)+f(2)-1, 從而從而 f(2)=3.原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于 f(3m2-m-2)f(2).f(3m2-m-2)f(2).f(x) f(x) 是是 R R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù), , 3m2-m-22, 3m2-m-22, 即即 3m2-m-40. 3m2-m-40. 解得解得: -1m . 4343故不等式故不等式 f(3m2-m-2)0 時(shí)時(shí), 有有 f(x)1. (1)求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù); (2)假設(shè)假設(shè) f(4)=5, 解不等式解不等式 f(3m2-m-2)0. 解得解得: -1x0. f(x1)-f(x2)= - +log2 -log2 0. 1x2 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 又對(duì)任意的又對(duì)任意的 x1, x2(0, 1) 且且 x10, 且有且有: 1x1 1x2 1+x21+x10;