工程力學(xué)第四章

1、第四章第四章 平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系：各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系又不相互平行的力系。1、力的平移定理FdFMMB)(4-14 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化可以把作用在剛體上點(diǎn)可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力的力F平行移平行移到任一點(diǎn)到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新對(duì)新作用點(diǎn)作用點(diǎn)B的矩的矩.一個(gè)力一個(gè)力和一個(gè)力偶2、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢和主矩)(1111FMMFFo)(20222FMMFF)(0nn

2、nnFMMFFO點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，而主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，而主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)主矢主矢主矩主矩iiRFFF)(iOiOFMMM移動(dòng)效應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)思考：主矢與簡(jiǎn)化中心主矢與簡(jiǎn)化中心有關(guān)嗎？有關(guān)嗎？主矩與簡(jiǎn)化中心主矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān)嗎？有關(guān)嗎？xixixRxFFFFyiyiyRyFFFF如何求出主矢如何求出主矢? ?主矢大小主矢大小22)()(yxRFFF方向方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF作用點(diǎn)作用點(diǎn)作用于簡(jiǎn)化中心上作用于簡(jiǎn)化中心上如何求出主矩如何求出主矩? ?主矩主矩)(iOOFMM)()(ixiiyiioOFyFxFMM3

3、、 平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析ROFMddFMRoRRRFFF 其中其中)33()()(iOORoFMMFM合力矩定理合力矩定理若為若為O1點(diǎn)，如何點(diǎn)，如何? ?0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后結(jié)果最后結(jié)果說(shuō)明說(shuō)明0OM合力合力合力合力合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心0RF合力作用線距簡(jiǎn)化中心合力作用線距簡(jiǎn)化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)例題例題 圖示力系，求（圖示力系，求（1）向）向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果 （2）合力的大小及其作用線位置。）合力的大小及其作用線位置。xyF1(2,1)51

4、2cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)mNMNFNFNF.500502100130321，已知：OxyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O力系的力系的主矢主矢F/Rx = FiX=F1cos -F2cos45o + F3 = 70NF/Ry= Fiy= F1sin + F2sin45o = 150NNFFFRyRxR53.1651507022大?。?95.6453.16570arccosarccosRRFF方向：F/R1、簡(jiǎn)化結(jié)果、簡(jiǎn)化結(jié)果xyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13

5、F2(-3,2)450MF3(0,-4)OF/R求力系的求力系的主矩主矩MO = mO(Fi)= F1 sin 2 - F1 cos 1 + F2 sin 450 (- 3 )+F2 cos 450 2+M+F3 4=580N.m因?yàn)橹魇?、主矩均不?，所以簡(jiǎn)化的最終結(jié)果為一個(gè)合力，此合力的大小和方向與主矢相同。F1XF1yF2XF2yMOxyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OF/RF1XF1yF2XF2yMO2、求合力的作用線位置：、求合力的作用線位置：mFMdR50. 353.1655800所以簡(jiǎn)化的最終結(jié)果為一個(gè)合力FR 。F

6、Rd平面任意力系平衡的充要條件是：平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零 00oRMF4-2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析條件是：平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零. 00oRMF投影方程力矩方程例例：已知已知AB梁長(zhǎng)為梁長(zhǎng)

7、為l，其上受有均布載荷，其上受有均布載荷q， 求：固定端求：固定端A的約束力的約束力yx簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心： R簡(jiǎn)化最終結(jié)果簡(jiǎn)化最終結(jié)果:合力合力RmAdlqlqlRFMdiA2121)(2RR =xlqdxql l0dx221ql xqdx l0qlR )(iAFM矩形載荷相當(dāng)于一個(gè)集中力作用在矩形的中點(diǎn)。集中力的大小等于矩形的面積。簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心：主矢主矢qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqdxlxxmLlA簡(jiǎn)化最終結(jié)果簡(jiǎn)化最終結(jié)果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=qlR21 三角形載荷相當(dāng)于一個(gè)集中力作用在離頂點(diǎn)2/3處。集中力的大小等于三角形的面積

8、。平面固定端約束平面固定端約束=例例：已知已知AB梁長(zhǎng)為梁長(zhǎng)為l，其上受有均布載荷，其上受有均布載荷q， 求：梁求：梁A端的約束力端的約束力AMAxFAyF0, 0AxxFF解：解：研究研究AB梁，畫(huà)受力圖梁，畫(huà)受力圖。qlFqlFFAyAyy, 0, 02221, 021, 0qlMqlMMAAA例題例題 平面剛架平面剛架ABCD受力如圖所示受力如圖所示, q1=5kN/m, q2=10kN/m, M =20kN.m 。 求固定端求固定端A的約束力。的約束力。12m8m5mABCDMq1q2解解: 取平面剛架取平面剛架ABCD為研究對(duì)象為研究對(duì)象,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖MAFAyFAx Fx =

9、0FAx = -60kN Fy = 0FAy= 40kN MA = 0MA = 420kN.m列平衡方程列平衡方程求解求解:xy0FAxFAyMAFR18m5mABCDMq1q2012212qFAxFR2081 qFAy0)821(8)1231(122112MqqMA負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。平面任意力系平衡方程的其他形式平面任意力系平衡方程的其他形式一一矩矩式式000AyxMFF二矩式二矩式000BAxMMF兩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直兩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直BA,三矩式三矩式000CBAMMM三點(diǎn)，不得共線三點(diǎn)，不得共線CBA,說(shuō)明：說(shuō)明：1 1、任意列出第四個(gè)方程，為恒、任意列出第

10、四個(gè)方程，為恒 等式，可用來(lái)校核結(jié)果的正確性。等式，可用來(lái)校核結(jié)果的正確性。作業(yè)：41 ，3補(bǔ)充：補(bǔ)充：例例 已知：已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力。平面一般力系的解題技巧：平面一般力系的解題技巧：1.選投影軸及矩心：盡可能使投影軸與未知力垂直，矩心盡選投影軸及矩心：盡可能使投影軸與未知力垂直，矩心盡可能選在未知力的交點(diǎn)上，以使每個(gè)方程中的未知量的數(shù)目可能選在未知力的交點(diǎn)上，以使每個(gè)方程中的未知量的數(shù)目最少。最少。2.列方程求解：應(yīng)先列只含一個(gè)未知量的方程，避免解聯(lián)立列方程求解：應(yīng)先列只含一個(gè)未知量的方程，避免解聯(lián)立方程

11、。方程。3. 計(jì)算力矩時(shí)要善于應(yīng)用合力矩定理。計(jì)算力矩時(shí)要善于應(yīng)用合力矩定理。 0 xF平面平行力系的方程為兩個(gè)平面平行力系的方程為兩個(gè)00AyMF00BAMM兩點(diǎn)連線不得與各力平行兩點(diǎn)連線不得與各力平行BA,2 2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程000AyxMFF例例3-4已知：已知：求：求：支座支座A、B處的約束力。處的約束力。解：取解：取AB梁，畫(huà)受力圖。梁，畫(huà)受力圖。解得解得解得解得解得解得例例 高爐上料小車(chē)如圖所示。已知：kN240Pcm100acm140bcm140dcm100e55求料車(chē)勻速上升時(shí)鋼索的拉力F F及軌道對(duì)車(chē)輪A和B的約束力（摩擦不計(jì)）。NAFNBF

12、用“二矩式”解：解：取小車(chē)為研究對(duì)象。0 xF0sinPF0yF0cosPFFNBNA0)F(AM0sincos)(ePaPbaFFdNB解得:6 .19655sin240sinPFkN2 .904 . 2/ ) 155sin240155cos2404 . 16 .196()/()sincos(baePaPFdFNB6 .4755cos2402 .90cosaPFFNBNA 雖然可以這樣解，但盡量是列一個(gè)方程解一個(gè)未知數(shù)，避免聯(lián)立求解。例題：例題：解：解：以AB及重物作為研究對(duì)象；受力分析，畫(huà)出受力如圖；列平衡方程， 0X030cosBCAxFF，0Y030sinQPFFBCAy， 0)(FA

13、MQ QP PBCAD3m1m2mECAEP PQ QDBF FA xF FAP PDQ QB CBA yF FCEA3m1mP PDQ Q2mBCA yF FF FB CF FA xE如圖所示簡(jiǎn)易吊車(chē)，A、C處為固定鉸支座，B處為鉸鏈。已知AB梁重P=4kN，重物重Q=10kN。求拉桿BC和支座A的約束反力。解得：kNFkNFkNFBCAyAx33.1733. 501.15030sinAEQADPABFBC00)(030sin0)(030cos0ABFEBQDBPMAEQADPABFMFFXAyBBCABCAx，F(xiàn)F00)(00)(030sin0)(AEQADPACFMABFEBQDBPMA

14、EQADPABFMAxCAyBBCA，F(xiàn)FF4-5 物體系的平衡靜定和靜不定問(wèn)題一、靜定問(wèn)題，超靜定問(wèn)題靜定：未知量的個(gè)數(shù)平衡方程數(shù)超靜定：未知量的個(gè)數(shù)平衡方程數(shù)靜定超靜定靜定超靜定FDFD二、物體系統(tǒng)的平衡系統(tǒng)平衡，每個(gè)物體 都處于平衡狀態(tài)n個(gè)物體組成的系統(tǒng)，可以列3n個(gè)平衡方程列平衡方程的方法：1：對(duì)每一個(gè)物體都列出3個(gè)平衡方程；2：先整體，再單個(gè)物體 先單個(gè)物體，再整體例例已知：圖示組合梁，求：已知：圖示組合梁，求：A、B、C的約束力。的約束力。AxFAyFMABNF整體：整體：四個(gè)未知力四個(gè)未知力單個(gè)物體：?jiǎn)蝹€(gè)物體：BC桿三個(gè)桿三個(gè)未知力故先分析故先分析BC桿，再分析整體或桿，再分析整

15、體或AC桿，桿，。cxFcyFNBFAxFAyFMAcxFcyFAC桿五個(gè)桿五個(gè)未知未知力力解：解：1、取、取BC桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象 0CM0 xF02PaaFNB22PaPaFNB0yF0NBCyFF2PFFNBCy0CxFNBFcxFcyF2PFNB2PFCy0CxF（）（）FAx= 023PFAyPamA2（）（ ）2、取整體為研究對(duì)象、取整體為研究對(duì)象FAx= 00PFFNBAy23PFPFNBAy 0AM04ANBmPaPaaFPaaFmNBA24 AxFAyFMABNF0 xF0yF例題例題已知已知: :F F=20kN,=20kN,q q=10kN/m,=10kN/m,L

16、L=1m;=1m;求求: :A，B處的約束力處的約束力. .,20mkNMMAAyFAxFBF先取先取BCDBCD桿分析桿分析解得解得解得解得解得解得取整體取整體, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖. .例例已知已知 F，M ，F(xiàn)作用在作用在BCBC桿的中點(diǎn)，桿的中點(diǎn)， 求求 A、C 的約束力的約束力060ABFMC2aaaFC060aB方法一方法一:解：解：以以 每個(gè)物體為研究每個(gè)物體為研究對(duì)象對(duì)象, 畫(huà)其受力圖。畫(huà)其受力圖。MaAyFAxFAMBxFByFCFBxFByF000AyxMFF000ByxMFF060ABFMC解：解：1、研究整體（剛化），畫(huà)受力圖研究整體（剛化），畫(huà)受力圖AyFFMC060

17、aaCFAxFAM2、研究研究BCBC桿，畫(huà)受力圖桿，畫(huà)受力圖3、再研究整體再研究整體 0 xFAxF 0BMCF 0yFAyF 0AMAMFC060aCFBxFByFB方法二：方法二：例3-16已知：P , a ,各桿重不計(jì)；求：B 鉸處約束反力.解：取整體，畫(huà)受力圖0CM20ByFa解得0ByF取DEF桿，畫(huà)受力圖0DMsin4520EFaFa得sin452EFF0ixFcos450EDxFF得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得2DxFF對(duì)ADB桿受力圖0AM20BxDxFaFa得BxFF 已知：,200,70012kNkNPP尺寸如圖；求：（1）起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒，平

18、衡載重P3；（2）P3=80kN，軌道AB給起重機(jī)輪子的約束力。解：(1)取起重機(jī)，畫(huà)受力圖.滿載時(shí)，, 0AF為不安全狀況1231028PPP解得 P3min=75kN例題4mkNkN350753 P(2) 當(dāng)P3=180kN時(shí) 0AM041424123BFPPP解得FB=870kN 0yF0321PPPFFBA解得 FA=210kN空載時(shí)，, 0BF為不安全狀況4 4P P3 32 2P P2 2解得 F3max=350kN例題：平面剛架自重不計(jì)，受力、尺寸如例題：平面剛架自重不計(jì)，受力、尺寸如圖。試求圖。試求A A、B B、D D處的約束力。處的約束力。ByFBxFNAFNDF1、先取A

19、C桿分析yFCxFC 0CMKNFFqNANA20442121NAFByFBxFNAFNDF2、再取整體分析 0BMKNFqFBxBx4041KNFqqFFNDNAND3260362446210yFKNFqFFFByNDNABy340620 xF例題：在圖示結(jié)構(gòu)中，例題：在圖示結(jié)構(gòu)中，A A、E E為固定鉸支座，為固定鉸支座，B B為為滾動(dòng)支座，滾動(dòng)支座，C C、D D為中間鉸。已知為中間鉸。已知F F及及q q，其中其中q a=F，試求試求A A、B B 、E E 處的約束力。處的約束力。 AEyFAxFNBFExFAyFEyFExFEyFExFyFCxFCyFDxFD1、先取CDE桿分析

20、0DMKNFFaFaFExEx202 0CMKNFaFaFaFEy00222Ey2、先取DE桿分析AEyFAxFNBFExFAyF3、整體分析 0BM0 xFKNFFFFFAxExAx20)(202232KNFFaFaFaaqaFAyAy0yFKNFaqFFFNBNBy250A例題例題: :支架由直桿支架由直桿ADAD與直角曲桿與直角曲桿BEBE及定滑輪及定滑輪D D組成，組成，已知：已知：AC=CD=AB=1mAC=CD=AB=1m，R=0.3mR=0.3m，Q=100NQ=100N，A A、B B、C C處均用鉸連接。繩、桿、滑輪自重處均用鉸連接。繩、桿、滑輪自重均不計(jì)。試求支座均不計(jì)。試

21、求支座A A，B B的約束反力。的約束反力。AxFAyFBxFByFCAxFAyFCxFCyFT1、先取ACD+滑輪 0CM)(1000)3 . 01 (3 . 01AyNQFQTFAyAxFAyFBxFByF2、再取整體進(jìn)行分析 0BM0 xFNFFFBxBxAx2300)(23003 . 21NFQFAxAx0yFNQFQFFByByy20020A、例題例題; ;圖示結(jié)構(gòu)由不計(jì)桿重的圖示結(jié)構(gòu)由不計(jì)桿重的AB、AC、DE三桿組成，三桿組成，在在A點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)鉸接。已知點(diǎn)鉸接。已知：試求試求B、C約束反力（要求用最少的方程數(shù)）。約束反力（要求用最少的方程數(shù)）。 LQP,CxFCyFNBFAxF

22、AyFNBF1、先取AB桿分析 0AM2045cos45cos200QFLQLFBNNBCxFCyFDxFDyFNBF 0DM2、再取ABC桿分析QPFLFLLQPLLFCyBNCy0)45cos12)45cos2(00（CxFCyFNBF3、最后整體分析 0EMQPFLLFLLQLPLFCxBNCx2320)45cos23()45cos3(200ExFEyFBDCFAEF例題例題; ;圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu), ,不計(jì)桿重不計(jì)桿重, ,mEFmCDABAC8 . 02 . 1，KNF12求求A A，B B處的約束力處的約束力AxFAyFBxFByF例題BxFByFAxFAyF作業(yè)：4-16，18，2

23、04-4 4-4 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變。工程中的桁架結(jié)構(gòu)工程中的桁架結(jié)構(gòu)北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng) 航空港內(nèi)鋼結(jié)構(gòu)飛 機(jī)庫(kù)。 錢(qián)塘江橋。全長(zhǎng)1453 米。中國(guó)第一座現(xiàn)代 化公路鐵路兩用雙層 鋼桁架梁橋。 武漢長(zhǎng)江大橋。全長(zhǎng) 1679米。于1957年建 成?？缍?28米。 英國(guó)福斯灣橋。鋼懸 臂桁架雙線鐵路橋。 跨度521米。1890年 建成。 底部斜框架輕易地跨越了大街，車(chē)流人流在塔下暢通無(wú)阻，更顯底部斜框架輕易地跨越了大街，車(chē)流人流在塔下暢通無(wú)阻，更顯鐵塔的雄偉壯觀。艾菲爾鐵塔可謂建筑結(jié)構(gòu)完美統(tǒng)一的代表。鐵塔

24、的雄偉壯觀。艾菲爾鐵塔可謂建筑結(jié)構(gòu)完美統(tǒng)一的代表。桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變。1、各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)；2、桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；3、載荷作用在節(jié)點(diǎn)上， 且位于桁架幾何平面內(nèi)；4、各桿件自重不計(jì)或平均分配在桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上在上述假設(shè)下，桁架中每根桿件均為二力桿二力桿關(guān)于平面桁架的幾點(diǎn)假設(shè)：關(guān)于平面桁架的幾點(diǎn)假設(shè)：(c)計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法：計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法：1 1、節(jié)點(diǎn)法、節(jié)點(diǎn)法取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，用平面取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，用平面匯交力系平衡方程求解。匯交力系平衡方程求解。2 2、截面法、截面法適當(dāng)?shù)剡x取一截面，假想把桁架截開(kāi)