D6_1定積分概念與性質(zhì)

1、第六章定積分 積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分第一節(jié)一、一、定積分概念的引入定積分概念的引入二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 可積的條件可積的條件定積分的概念及性質(zhì) 第六六章 四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A ( )yf x 矩形面積ahhayOxab磚是直邊磚是直邊的長方體的長方體煙囪的截面煙囪的截面是彎曲的圓是彎曲的圓“直的磚直的磚”砌砌成了成了“彎的圓彎的圓”局部以直代曲局部以直代曲abxyoab

2、xyo 雖然曲邊梯形的準(zhǔn)確面積我們不會計算，但是雖然曲邊梯形的準(zhǔn)確面積我們不會計算，但是我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。 （四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）從中可以得到一個什么樣的啟示？從中可以得到一個什么樣的啟示？1xix1ixxabyO解決步驟解決步驟 :1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似代

3、替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iS 得1()()iiiiiiSfxxxx ),2, 1,nii3) 近似和近似和.1niiSS niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積01limniiSS niiixf10)(lim1xix1ixxabyOi2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點

4、中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個小段過的路程為3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限F 雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，F(xiàn)的變化的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，邊梯形面積的思想，F(xiàn)(x)AB 再看一個變力做功的問題。再看一個變力做功的問題

5、。 設(shè)設(shè) 質(zhì)點質(zhì)點 m 受受力力 的作用，在變力的作用，在變力F的作用下，沿直線由的作用下，沿直線由 A 點點運動到運動到 B 點，求變力作的功點，求變力作的功bat 分割分割用任意的一組分點：用任意的一組分點：011nnattttb把把 a, b 分成分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間 ti-1, ti i=1, 2, , n1itit1t 近似代替近似代替在在 ti-1, ti 上任取一點上任取一點i ，于是在該小區(qū)間，于是在該小區(qū)間上的力上的力 ( )iiiWFt1iiittti作的功作的功 ix,1ixi, )iF(F 求和求和總功總功1( )niiiWFt 取極限取極限令令1max0ii n

6、t 若極限若極限01lim()niiiFt存在，存在，則定義此極限值為力所做的功則定義此極限值為力所做的功Oab x二、定積分定義二、定積分定義 ( ) , ,f xa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分

7、下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定積分的幾何意義定積分的幾何意義:Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和AO1. dxxf)(與 badxxf)(的差別 dxxf)(是 )(xf的全體原函數(shù) 是 函數(shù)族 badxxf)(是一個和式的極限 是一個確定的常數(shù) 注：可積的充分條件可積的充分條件:定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(b

8、axf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點 .,)(可積在baxf可積的必要條件可積的必要條件:定理定理.( ) , f xa b函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界.,)(可積在baxf定理定理3.( ) , ,f xa b函函數(shù)數(shù)在在上上單單調(diào)調(diào).,)(可積在baxf121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定積分表示下列極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni對定積分的對定積分的補(bǔ)充規(guī)

9、定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時，時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)1.dbax2.( )d( )dbbaak f xxkf xx( k 為常數(shù))3. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab幾何意義4.( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx證證: 當(dāng)bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點

10、, 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc區(qū)間可加性abc當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(6. 若在 a , b 上0)(1iinixf則.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1. 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(保號性)保序性推論推論2.xxfbad)(xxfbad)(

11、證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba則)(d)()(abMxxfabmba)(ba 估值不等式絕對值不等式絕對值不等式解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx8. 積分中值定理積分中值定理, ,)(baCxf若則至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.Oxbay)(xfy 說明說明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念