數(shù)學物理方法第7章

1、第七章第七章 數(shù)學物理方程定解問題數(shù)學物理方程定解問題7.2 7.2 定解條件定解條件7.3 7.3 數(shù)學物理方程的分類數(shù)學物理方程的分類7.1 7.1 數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的導出第二篇第二篇 數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程7.4 7.4 達朗貝公式、定解問題達朗貝公式、定解問題數(shù)學物理方程：數(shù)學物理方程： 通常是指從物理問題導出的函數(shù)方程，主要指通常是指從物理問題導出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程，本課程僅限于討論二階線偏微分方程和積分方程，本課程僅限于討論二階線性偏微分方程。性偏微分方程。普遍性普遍性 共性共性特殊性特殊性 個性個性邊界條件邊界條件初始條件初始條件泛定方程泛定方

2、程定解問題定解問題1 1、均勻弦的微小橫振動、均勻弦的微小橫振動xx+ x1T2T1M2M12)t , x(uxudsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu7.1 7.1 數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的導出考慮小振動考慮小振動22)()(dudxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTdx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuuTuT)()(12xx+ x1T2T1M2M12xudxxu2)/(11cos11cos2ttxxdxxx

3、dxuuuT)(dxudxxuTttxttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau記記 若受到外加橫向力的作用，每單位長度弦所受橫向力若受到外加橫向力的作用，每單位長度弦所受橫向力為為F(x,t),則：則：ttdxudxtxFTT),(sinsin1122/ ),(),(txFtxf),(2txfuauxxtt稱為受迫振動方程稱為受迫振動方程2 2、均勻桿的縱振動、均勻桿的縱振動將細桿分成許多段將細桿分成許多段t時刻，時刻，B段兩端的段兩端的位移分別為：位移分別為：),(),(,tdxxtxu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段伸長段伸長

4、相對伸長相對伸長dxtxutdxxu),(),(xu相對伸長是位置的相對伸長是位置的函數(shù)，函數(shù)，x和和x+dx的相的相對伸長分別為：對伸長分別為：xxudxxxu相對伸長相對伸長由胡克定律，由胡克定律，B兩端的兩端的張應(yīng)力（單位橫截面張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為xxudxxxuxxuYdxxxuYB段運動方程為段運動方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxdxudxxuYttxF)(xuxxdxx )(dxxuABCttxxuYuttxxuYu/2Ya 02xxttuau記記桿的縱振動方程桿的縱振動方程 若受到外加縱向力的作用，每單位長度單位截面所受若受到外加縱向力的作用

5、，每單位長度單位截面所受縱向力為縱向力為F(x,t),則：則：),(2txfuauxxtt/ ),(),(txFtxf桿的受迫縱振動方程桿的受迫縱振動方程f(x,t)為為每單位桿的質(zhì)量所每單位桿的質(zhì)量所受縱向力受縱向力22)(),()(tuSdxtxFSdxxuYSxuYSxdxx3 3、傳輸線方程（電報方程）、傳輸線方程（電報方程） 設(shè)單位長度傳輸線的導線電阻、線間電漏、電容、設(shè)單位長度傳輸線的導線電阻、線間電漏、電容、電感分別記作電感分別記作R、G、C和和L。 對此回對此回路，應(yīng)用路，應(yīng)用基爾霍夫基爾霍夫第二定律第二定律tjdxLRdxjtdxxvtjdxLRdxj) 2/() 2/(),

6、() 2/() 2/(0),(txv同除同除dx，得：，得：) 1 (0 xvRjtjL 對對A點，點，應(yīng)用基爾應(yīng)用基爾霍夫第一霍夫第一定律定律0),(),()()(txjtdxxjvCdxtGdxv同除同除dx，得：，得：) 2(0tvCGvxj) 4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx(1)、(2)兩兩式改寫成：式改寫成：相減后消去相減后消去v，得到：，得到：0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt相減后消去相減后消去j，得到：，得到：0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt以以x作用于作用于(3)式，式，tCG作用于作用于(4)式式同理以同理以tLR作用于作用于(3)式，式，x

7、作用于作用于(4)式式)4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt若若R、G很小，稱理想傳輸線，上兩式可簡化為：很小，稱理想傳輸線，上兩式可簡化為：LCa1202xxttjaj02xxttvav稱為傳輸線方程（電報方程）稱為傳輸線方程（電報方程）4 4、擴散方程、擴散方程 擴散是由于濃度不同引起的分子運動擴散是由于濃度不同引起的分子運動uDq)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqzD 為擴散系數(shù)，負號表示擴為擴散系數(shù)，負號表示擴散方向與濃度梯度相反散方向與濃度梯度相反 擴散運動的強弱用擴散流強

8、度擴散運動的強弱用擴散流強度q ，即單位，即單位 時間內(nèi)流過時間內(nèi)流過單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量 濃度濃度 u(單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）單位體積內(nèi)的粒子數(shù)） 不均勻的程度用不均勻的程度用 表示表示udydzdtqxxxuDqxyuDqyzuDqzdt 時間流入六面時間流入六面體體x方向左表面方向左表面的流量為的流量為流出流出x方向右表面方向右表面的流量為的流量為dydzdtqdxxxxyzdxdydzo凈流入凈流入量為量為dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdyd

9、zdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內(nèi)無源、無匯，如立方體內(nèi)無源、無匯，dt時間內(nèi)粒子增加數(shù)為時間內(nèi)粒子增加數(shù)為dxdydzuutdtt)(dxdydzduzyx,dxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(zuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一維一維 (1)擴散源強度

10、（單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)或擴散源強度（單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)或單位時間內(nèi)濃度的增量）為單位時間內(nèi)濃度的增量）為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無關(guān)無關(guān)),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut 原子核的鏈式反應(yīng)，單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生原子核的鏈式反應(yīng)，單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為的粒子數(shù)為 b2u ubuaut22022ubuaut 有源或匯的情況：有源或匯的情況： (2)擴散源強度與擴散源強度與 u 成正比成正比 放射性衰變，原有粒子的濃度按指數(shù)減少放射性衰變，原有粒子的濃度按指數(shù)減少teuu0 為半衰變常數(shù)，經(jīng)過為半衰變常數(shù)，經(jīng)過（半衰期）時間后（

11、半衰期）時間后euu002/ )2(ln/)2(ln0teuuueudtdut)/2ln()/2ln(/)2(ln0 單位時間內(nèi)單純由蛻變所導致的濃度變化為：單位時間內(nèi)單純由蛻變所導致的濃度變化為：即放射源強度：即放射源強度：utzyxF)/2ln(),(代入擴散方程：代入擴散方程：02ln2uuaut5、熱傳導方程、熱傳導方程),(),()(txuttxuAdxcQ0t 設(shè)有一根橫截面為設(shè)有一根橫截面為A的均勻細桿，沿桿長有溫度差，的均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側(cè)面絕熱其側(cè)面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時刻溫度時刻溫度， 為桿密度為桿密度 (1)、t 時間內(nèi)時間內(nèi)引起小段引起小段d

12、x溫度溫度升高所需熱量為升高所需熱量為dxdtAucQtx+dxxxxxx+dx (2)Furiers實驗定實驗定理：單位理：單位 時間內(nèi)流時間內(nèi)流過單位面積的熱量過單位面積的熱量 q (熱流強度量）熱流強度量）與與溫度的下降成正比溫度的下降成正比nnukq k 為熱傳導系數(shù)為熱傳導系數(shù) 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqxnukq大小大小Adtqx x方向左表面方向左表面，dt 時間時間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體的熱量為dt 時間時間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為AdtqdxxAdtqAdtqdxxxdt 時間凈流時間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtA

13、dxdtkuxxAdxdtkuxx02xxtuaucka2對于三維情況對于三維情況02uautx+dxxx 如果物體中存在熱源，熱源強度如果物體中存在熱源，熱源強度(單位時間單位體單位時間單位體積中產(chǎn)生的熱量為積中產(chǎn)生的熱量為),(txF),(tzyxF或：或：則：則：dxdtAucQtAdxdttxFAdxdtkuxx),(ctxFuauxxt/ ),(2),(2txfuauxxtctxFtxf/ ),(),(令：令：則：則：對于三維情況對于三維情況),(2tzyxfuaut其中其中f(x,y,z,t)為按單位熱容量計算的熱源強度。為按單位熱容量計算的熱源強度。6、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定濃度分布

14、 如果擴散源強度如果擴散源強度F(x,y,z,t) 不隨時間變化，擴散運動不隨時間變化，擴散運動持續(xù)下去，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，持續(xù)下去，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，ut=0，由擴散方程：，由擴散方程：Fua2),(2tzyxFuaut得：得：這就是泊松方程這就是泊松方程若沒有源若沒有源0u這就是拉普拉斯方程這就是拉普拉斯方程7、穩(wěn)定溫度分布、穩(wěn)定溫度分布 如果熱源強度如果熱源強度F(x,y,z,t) 不隨時間變化，熱擴散運動持不隨時間變化，熱擴散運動持續(xù)下去，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，續(xù)下去，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，ut=0，由熱擴散方程，得：，由熱擴散方程，得：Fua2若沒有熱源若沒有熱源0u電通量的高斯定理電通量的

15、高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V泊松方程泊松方程8、靜電場方程、靜電場方程若若002V拉普拉斯方程拉普拉斯方程7.2 7.2 定解條件定解條件（一）、初始條件（一）、初始條件),(),(0zyxtzyxutt對于波方程，還應(yīng)給出：對于波方程，還應(yīng)給出：初始條件為已知函數(shù)初始條件為已知函數(shù)),(),(0zyxtzyxuttt稱為初始稱為初始“位移位移” ),(zyx),(zyx稱為初始稱為初始“速度速度”x=l / 2xyx=lhx00),(tttxu0),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足2/, 0)/2(lxlh,

16、2/)(2llxllhhtxutt0),(不能寫成：不能寫成：沒有初始條件的問題沒有初始條件的問題例：長為例：長為l的桿，兩端受壓從而長度縮為的桿，兩端受壓從而長度縮為l(1-2(1-2),),寫出寫出初始條件。初始條件。)21 (l0 0lx 解：如圖所示，解：如圖所示，根據(jù)對稱性，根據(jù)對稱性，桿的兩端壓縮的長度桿的兩端壓縮的長度為為l，桿的中點（桿的中點（x=l/2)的位移為零。的位移為零。即左端的位移為即左端的位移為l，右端的位移為，右端的位移為-l)2/(2),(0 xltxut所以：所以：（二）、邊界條件（二）、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊第一類

17、邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊第二類邊界條件界條件第三類邊第三類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx弦的兩端固定弦的兩端固定, ,端點的位移為：端點的位移為：x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）、第一類邊界條件）、第一類邊界條件 細桿熱傳導（擴散）問題，端點溫度細桿熱傳導（擴散）問題，端點溫度（濃度）恒定（濃度）恒定00),(utxuxllxutxu),(l0 x 細桿熱傳導（擴散）問題，端點溫度（濃度）按已細桿熱傳導（擴散）

18、問題，端點溫度（濃度）按已知規(guī)律變化。知規(guī)律變化。)(),(tftxuaxA）如細桿的）如細桿的縱振動，縱振動，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二類邊界條件）、第二類邊界條件如桿端自由如桿端自由 f(t)=0),(000000tzyxfuzyxn0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)()(tfSYulxx在左端在左端 x=0)()(0tfSYuxx0axxu0)(tf 如細桿熱傳如細桿熱傳導端點有熱量導端點有熱量流出流出)(tfaxnaxxkuq如熱量流入如熱量流入B B）熱傳導）熱傳導0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)(tfkulxx在左

19、端在左端 x=0)()(0tfukxx0 x)(tfl)(tf在右端在右端 ：)(tfkulxx在左端在左端 ：)()(0tfukxx)(0tfkuxx)(tfkulxx)(0tfkuxx如細桿熱傳導，如細桿熱傳導，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axaxnuhku 按牛頓冷卻定律，端點熱流強度與桿端和周圍介質(zhì)按牛頓冷卻定律，端點熱流強度與桿端和周圍介質(zhì)溫度溫度之之差成正比差成正比（3 3）、第三類邊界條件）、第三類邊界條件lxxHuu)(),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xl即即 ：在右端在右端 ：)/()(hkHHuuaxn在左端在左端 ：lxxHuu)(0 xlkutf)(

20、若端點與若端點與彈簧連接彈簧連接 axuktf)(則：則： axaxnuktfSYu)()(即：即： 0)(SkYuuaxn在右端在右端 ：0)(SkYuulxx在左端在左端 ：0)(0SkYuuxx 上述所有邊上述所有邊界條件中，當界條件中，當f(t)=0時，稱為時，稱為齊次邊界條件。齊次邊界條件。（4 4）、其它類型邊界條件）、其它類型邊界條件 如右圖所示，桿的一端掛有重物如右圖所示，桿的一端掛有重物而作縱振動，邊界條件為：而作縱振動，邊界條件為：l o M x lxttaxxMuMgYSu熱輻射熱輻射)(404TTQ端點通過熱輻射與外界交換熱量，邊界條件為：端點通過熱輻射與外界交換熱量，

21、邊界條件為：)(44axaxnuku注意：注意：正確區(qū)分邊界條件與泛定方程中的外力或外源正確區(qū)分邊界條件與泛定方程中的外力或外源如：端點有熱流流如：端點有熱流流入，是邊界條件入，是邊界條件)(0tfkuxx)(2tfuauxxt（三）、銜接條件（三）、銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu沒有邊界條件的問題沒有邊界條件的問題例：一根導熱桿由兩段構(gòu)成，兩段例：一根導熱桿由兩段構(gòu)成，兩

22、段熱傳導系數(shù)、比熱、密熱傳導系數(shù)、比熱、密度分別為度分別為kI, cI, I, kII, cII, II, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫出熱傳導問題的定解方程。溫度為零，寫出熱傳導問題的定解方程。解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達朗貝爾公式、定解問題達朗貝爾公式、定解問題（一）、（一）、 達朗貝達朗貝爾爾公式公

23、式02xxttuau考慮弦的振動方程考慮弦的振動方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatxatx02u對對 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a沿沿x正負方向的行波正負方向的行波函數(shù)函數(shù) f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問題考慮定解問題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatx

24、fu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導有求導有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21稱為稱為達朗貝爾公式達朗貝爾公式atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),(cos),(00t

25、tttxuxtxu例例1 1：求定：求定解問題解問題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例例2 2：求定解問題：求定解問題)(),(0 xtxut12102xxxxu2211xxxx12202xxxxu2212xxxx021,xxxx)()(21),(atxatxtxu)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 1x2x0u3tt 例例3 3：設(shè)初始位移為零，：設(shè)初始位移為零，初速為：初速為：)(x)(210 xxx),(021xxxxatxatxdatxu)

26、(21),(由達朗貝爾公式：由達朗貝爾公式：atxatxdada)(21)(21)()(atxatxxdax)(21)()(01xx)()(212101xxxxxa)()(212012xxxxa 的圖像如的圖像如右圖所示右圖所示)(xx1 1xx2)(x振動傳播情況振動傳播情況如下圖所示：如下圖所示：)()(),(atxatxtxut3 3t1 1t2 2t0 0 x1 1x1 1xxxxx2u( (x, ,t) )0(02xuauxxtt研究端點固定的半無限長弦的振動情況研究端點固定的半無限長弦的振動情況)0(0),(0ttxux（二）、端點的反射（二）、端點的反射)(),(0 xtxutt

27、)(),(0 xtxut)0( x 因為在因為在x0 x/ /a) )，達朗貝爾公式里的，達朗貝爾公式里的 失去意義，不能用。失去意義，不能用。atxdatx)(),(進行延拓，由于端點始終不動，故奇延拓進行延拓，由于端點始終不動，故奇延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx 達朗貝爾公式：達朗貝爾公式：atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(當當t x/ /a時時: :0)(21)()(21),(atxdaxatatxtxuatxda0)(210)(21)()(21),(xatdaxatatxtxu對第一個積分式，令對第一個

28、積分式，令: :atxda0)(21atxxatdaxatatxtxu)(21)()(21),( 考慮只有初考慮只有初始位移而沒有始位移而沒有初始速度的情初始速度的情況，振動傳播況，振動傳播情況如右圖所情況如右圖所示示半波損失半波損失xt6 6t0 0t5 5t4 4t3 3t2 2t1 1u(x,t)t7 7)0(02xuauxxtt研究端點自由的半無限長桿的振動情況研究端點自由的半無限長桿的振動情況)0(0),(0ttxuxx)(),(0 xtxutt)(),(0 xtxut)0( x 把這根半無限長桿看作是無限長桿的把這根半無限長桿看作是無限長桿的x0的部分，端的部分，端點自由，相對伸長

29、點自由，相對伸長ux=0，應(yīng)進行偶延拓，應(yīng)進行偶延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx taxtaxdaatxatxtxu)(21)()(21),(當當t x/ /a時時: :00)(21)(21)()(21),(taxtaxdadaxatatxtxutaxdaxatatx0)(21)()(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求定解例：求定解問題問題考慮初始條件與半無限考慮初始條件與半無限長，這一擾動產(chǎn)生的波長，這一擾動產(chǎn)生的波沿沿x正向正向)

30、(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中atx 若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin(aatxA)(sinaxtA0),(txu)/()(sinaxtaxtA),(txu)/(0axt 邊界的振動已邊界的振動已經(jīng)傳到該點經(jīng)傳到該點axt/振動還未傳到振動還未傳到（四）、達朗貝爾解的適定性（四）、達朗貝爾解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有二階導數(shù)有二階導數(shù)， (x)有一階有一階導數(shù)，導數(shù)，達朗貝爾解存在達朗貝爾解存在(1)(1)、存在性、存在性: :(2)(2)、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性: :)(2x0tt)t , x(u)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x（三）、定解問題的整體性（三）、定解問題的整體性(1)(1)有解，有解，(2)(2)解是唯一的，解是唯一的，(3)(3)解是穩(wěn)定的。解是穩(wěn)定的。)(