直線的傾斜角與斜率教案

1、 直線的傾斜角與斜率教學(xué)課題 直線的傾斜角與斜率教學(xué)目標(biāo)與過程1、知識與技能（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念；（2）體驗(yàn)用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程；（3）掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式及應(yīng)用； (4)通過小結(jié)把具體知識（斜率公式）的掌握深化成一種數(shù)學(xué)思 想（數(shù)形結(jié)合）。2、過程與方法 通過講述小故事，培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)新知識的親切感，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，拉近知識與生活的距離。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 在教學(xué)中首先讓學(xué)生從源頭上了解知識的脈絡(luò)，然后充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)形美的統(tǒng)一，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的精神。教學(xué)重點(diǎn)1、初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想；2、直線的傾

2、斜角和斜率的概念；3、過兩點(diǎn)的直線的斜率公式；教學(xué)難點(diǎn)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式的導(dǎo)出課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)用具 板書 教學(xué)方法情景教學(xué)法、講授法、直觀教學(xué)法昆明市第一中學(xué) 趙燕艷教學(xué)設(shè)計(jì)思路 講述笛卡爾開創(chuàng)解析幾何的傳奇故事，把知識植根于生活，使學(xué)生對即將學(xué)習(xí)的解析幾何知識有親切感，同時(shí)也用笛卡爾在艱難波折生活中，堅(jiān)持不懈、積極探索的精神鼓舞學(xué)生。用在黑板上固定一根棍子的簡單生活實(shí)例，引出坐標(biāo)系內(nèi)確定直線位置的幾何要素。在探究確定直線位置的過程中，給出傾斜角的定義，并由定義歸納出傾斜角的范圍。由生活中坡度的實(shí)例，引出斜率的數(shù)學(xué)概念。再由斜率的定義推導(dǎo)出用直線上的兩點(diǎn)表示出斜率的公式。最后，通過對

3、斜率公式的深入觀察和分析，深化數(shù)形結(jié)合的思想。 具體教學(xué)過程1、 新課導(dǎo)入同學(xué)們好，今天我們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支解析幾何。同學(xué)們知道，在幾何問題的研究中，我們主要依據(jù)幾何圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)。現(xiàn)在，我們要采用另外一種方法坐標(biāo)法，就是以坐標(biāo)為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形。我舉個(gè)通俗的例子，同學(xué)們?nèi)绻覇柲?，你們家住哪兒，你可以帶領(lǐng)我去，嗯，這是最原始的辦法；你可以畫張圖告訴我,那類似幾何方法，當(dāng)然，一般你們是告訴我住址，其實(shí)住址就是一個(gè)位置坐標(biāo)。這就是幾何問題代數(shù)化最簡單的生活實(shí)例。 為了使同學(xué)們更好的理解解析幾何這門課，我們一起來分享解析幾

4、何的開山鼻祖 笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的小故事。 笛卡爾一生生活顛沛，命運(yùn)波折。但他一生酷愛研究，涉獵甚廣。諸如物理學(xué)、天文學(xué)、機(jī)械學(xué)、醫(yī)學(xué)都有深入的研究，數(shù)學(xué)研究對世界文明的貢獻(xiàn)最大。 20歲時(shí)，他已大學(xué)畢業(yè)，做了一名戰(zhàn)士。就是在軍旅生涯中，一次偶然機(jī)會，他解決了數(shù)學(xué)教授別克曼的一道難題，成了別克曼的朋友，從此與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣。他進(jìn)入數(shù)學(xué)王國不久就意識到傳統(tǒng)幾何也就是我們所說的歐氏幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷，同時(shí)代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力。不過，想歸想，這時(shí)的他，畢竟不是一名職業(yè)科學(xué)家，只是一名法軍中的小戰(zhàn)士。過了三年，也就是1619年，曾經(jīng)的法國小戰(zhàn)士，23的笛卡爾又出現(xiàn)在了

5、美麗的多瑙河畔的一座德國的軍營里。此時(shí)，他正躺在病床上，不知是生病了，還是受傷了?？傊?，他此時(shí)此刻不用打戰(zhàn)了，可以安心的思考他的問題。笛卡爾本身就不是一個(gè)想當(dāng)將軍的好士兵，想的肯定不是打戰(zhàn)的事，他在想什么呢？他仰望著病房的天花板，一只機(jī)靈的小蜘蛛從墻角慢慢地爬了過來，口絲結(jié)網(wǎng)忙個(gè)不停，從東爬到西，從南爬到北，正在結(jié)網(wǎng)。小小的蜘蛛結(jié)一張網(wǎng)，該走多少路??！仁慈而偉大的笛卡爾突發(fā)奇想，想算一算蜘蛛走過的路程。他首先把蜘蛛看成一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)離墻角多遠(yuǎn)？離墻的兩邊有多遠(yuǎn)？他思考著，計(jì)算著，病中的他睡著了夢中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁，好像悟出了什么，又看到了什么，大夢醒來的笛卡爾茅塞頓開，一種新的思想

6、初露端倪：在互相垂直的兩條直線下，一個(gè)點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個(gè)數(shù)來表示，這個(gè)點(diǎn)的位置就被確定了。用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)系起來了。這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光，沿著這條思路前進(jìn)，在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折，建立了解析幾何學(xué)。這個(gè)故事聽起來，傳奇、浪漫。有點(diǎn)像牛頓的蘋果，阿基米德的浴盆，有點(diǎn)后人附會杜撰的意味，但他給了我們的啟示是深遠(yuǎn)的。執(zhí)著、熱情是取得成就的重要性格因素。只有熱情地對待自己的事業(yè)，執(zhí)著地思考，我們才能把來自外部世界的些許感受深華為事業(yè)突破的靈感。這個(gè)故事讓我們明白了要確定一個(gè)點(diǎn)的位置和研究它的運(yùn)動(dòng)，最好的辦法是建立一個(gè)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來

7、確定點(diǎn)的位置，用點(diǎn)的坐標(biāo)的變化來刻畫點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律?？茖W(xué)研究需要奔放的激情，更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和知識的點(diǎn)滴積累。好了，書歸正傳，我們以嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度做笛卡爾的跨世紀(jì)粉絲開始解析幾何的學(xué)習(xí)。2、 探究新知（以一根棍子作為直線的模型進(jìn)行比劃），如果要將這根棍子固定在黑板上至少要幾顆釘子？再設(shè)想如果一顆釘子，位置固定嗎？我們把剛剛的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)可以確定一條直線；過平面內(nèi)一點(diǎn)，可以做無數(shù)條直線。 我們看，顯然這些直線的區(qū)別在于直線的傾斜程度不一樣。為了表示直線的傾斜程度，我們引入傾斜角這個(gè)幾何概念。 （板書傾斜角的概念）傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方

8、向之間所成的角（指著圖講解）根據(jù)傾斜角的定義，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，它們分別是銳角、直角、鈍角，我們再看一種特殊情形（做出直線），既然是特殊情況，特事特辦，規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為（板書）。 （指著圖講解，進(jìn)行歸納） 由此，我們得出直線的傾斜角的取值范圍為： 現(xiàn)在同學(xué)們明白了，傾斜角就是表示直線傾斜程度的一個(gè)幾何元素。 同學(xué)們思考一個(gè)問題：只給定直線的傾斜角，我們得到無數(shù)條相互平行的直線,（用教具演示）若給定直線上一點(diǎn)和直線的傾斜角，那直線是唯一確定的。由此，我們得出，直線上一定點(diǎn)和直線的傾斜角可以確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線的位置。 說到傾斜角我

9、們自然聯(lián)想到實(shí)際生活中的坡度問題。比如，我們國家公路建設(shè)中有一個(gè)建筑規(guī)范：城市二級公路坡度5%，意思是水平方向前進(jìn)100米，豎直上升值不能超過5米。因此,同學(xué)們看，有的地方立交橋的立交處比較高，那引橋修得比較長,目的在于減少坡度。(舉例，講解立交橋的例子)橋面距地面的高度AB=15米，引橋C點(diǎn)的選址應(yīng)距B點(diǎn)多遠(yuǎn)？ 得 BC 同學(xué)們明白，坡度比是工程技術(shù)上的叫法。在數(shù)學(xué)上,叫做什么？（等同學(xué)們回答）叫做傾斜角 的正切值，我們把它叫做直線AC的斜率。（板書）斜率：直線的傾斜角 的正切值 ，特別地，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在。 我們知道在傾斜角 的取值范圍內(nèi)()，傾斜角的大小與傾斜角的正切值是一一對應(yīng)的

10、，換句話說，傾斜角的大小與斜率是一一對應(yīng)的。進(jìn)一步得到：（板書）直線上一點(diǎn)和直線的斜率同樣能確定一條直線?，F(xiàn)在進(jìn)入本節(jié)課的核心內(nèi)容（板書及作圖）：由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率 (2) 在中，（板書并講解例題）（1） 在中， （2） 當(dāng)?shù)奈恢米兓瘯r(shí)，成立，舉一隅而反三隅，這點(diǎn)請同學(xué)們課后自己驗(yàn)證。由此我們得到斜率公式：我們看一個(gè)特例，（3）當(dāng)時(shí)， ，這一點(diǎn)我們也可以由斜率公式得到。當(dāng)時(shí)，直線和軸平行或重合，此時(shí)。接下來，我們看一下斜率公式的具體應(yīng)用。（板書并講解例題）例1、如圖，已知，求直線的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。把點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式即可求得相應(yīng)直線的斜率，比較簡單，

11、不用多講解。（問），由，得到直線BC的傾斜角為鈍角的結(jié)論同學(xué)們清楚嗎？ 由正切函數(shù)的圖象：可以看出，當(dāng)斜率大于0時(shí)，即傾斜角的正切值大于0時(shí)，傾斜角，當(dāng)斜率小于0時(shí)，即傾斜角的正切值小于0時(shí)，傾斜角（板書并講解）例2、畫過點(diǎn)（-1,2），斜率為-3的直線。分析：兩點(diǎn)確定一條直線，還有一點(diǎn)如何找?不妨設(shè)是直線上一點(diǎn)，我們運(yùn)用斜率公式得到一個(gè)關(guān)于的二元一次方程，給定的值解出的值，由此得到點(diǎn)B的坐標(biāo)。解：設(shè)是直線上一點(diǎn)，根據(jù)斜率公式有即 令點(diǎn)的坐標(biāo)為直線上兩點(diǎn)確定了，我們就可以畫出這條直線。四、課堂練習(xí) 課本練習(xí)2五、小結(jié)我們認(rèn)識了確定一條直線位置的兩個(gè)幾何要素，傾斜角和斜率。并掌握用直線上兩點(diǎn)刻畫斜率的表達(dá)式，即我們再看一下，這個(gè)斜率的表達(dá)式的特點(diǎn)，左邊刻畫的是直線的神態(tài)，即直線的傾斜程度，右邊包含了兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)信息，即兩對有序?qū)崝?shù)對?？芍^數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)形結(jié)合是研究解析幾何的重要思想，也是我們這節(jié)課的靈魂。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！备俚刂赋觥皵?shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！笨梢姅?shù)形結(jié)合的思想非常重要，是解決數(shù)學(xué)問題的非常強(qiáng)大的思想武器，換句非常時(shí)髦的話說，數(shù)形結(jié)合非常給力！五、板書 3.1.1 直線的傾斜角與斜率傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向